数学九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：先让学生尝试说一说已学过的解一元二次方程的方法及步骤，并让他们选择一种喜欢的方法解一元二次方程，进一步巩固已学知识.

 想一想：我们学过哪几种解一元二次方程的方法？它们的步骤是怎样的？

预设：①配方法  ②公式法

配方法基本步骤：

①化：二次项系数化为 1 ；

②移：将常数项移到等号右边；

③配：配方，使等号左边成为

完全平方式；

④开：等号两边开平方；

⑤解：求出方程的解.

公式法基本步骤：

①化：化已知方程为一般形式；

②确定系数：确定a，b，c的值；

③计算判别式的值: b2-4ac的值；

④代入:把有关数值代入公式计算；

⑤解：求出方程的解.

解一元二次方程：2x2 - 8x - 10 = 0，提问：你会选哪种方法呢？

预设：

我会用配方法：

方程两边都除以 2，得x2 - 4x - 5= 0.

移项，得 x2 - 4x = 5

配方，得 x2 - 4x +4= 5+4    

即  (x - 2)2 = 9

两边开平方，得  x -2= ±3

∴  x1= 5，x2= -1

我会用公式法：

∵a=2,b=-8,c=-10

∴b2 -4ac = (-8)2-4×2×(-10)

                 =64+80

                 =144>0

∴  x1= 5，x2= -1

思考并举手回答.

选择自己喜欢的方法解

复习已学的解一元二次方程的方法及步骤，并通过相应的练习进一步巩固旧知，为新课的学习做准备.

环节二 探究新知

【探究】

教师活动：通过对学校荒地改造方案的设计，引导学生建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.

问题  如图，在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？

想一想，你会怎么设计这片荒地？

看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？

小明的设计方案：

如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.

解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：

即 x2 - 14x + 24 = 0.

解方程得 x1 = 2 , x2 = 12.

将x =12 不符合题意舍去.

所以小路的宽为2m.

结论：小明的这样设计是可行的，但是结果不能取小路的宽为12m.

小亮的设计方案：

如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.

问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？

解：设扇形半径为 x m, 根据题意得：

，

即 πx2 = 96.

解方程得 x1 =，x2 =(舍去).

所以扇形半径约为5.5m.

结论：小亮的设计方案是可行的.

小颖的设计方案：

如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.

问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？

解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：

即 x2 - 28x + 96 = 0.

解方程得x1 = 4 , x2 = 24,

x =24 不符合题意舍去.

所以小路的宽为4m.

结论：小颖的设计方案是可行的.

【延伸】

思考：你还有其他的设计方案吗？

预设：

其他的设计方案：

其他的设计方案不止这4种，可以充分调动学生的参与性，只要合理即可.并让学生试着自己验证这些方案的合理性？ 

思考并尝试设计

独立解答，交流讨论

思考并动手尝试，交流讨论

引导学生试着将已学的配方法和公式法求解一些一元二次方程，把这些技能寓于实际问题的解决过程中，让学生深刻体会学有所用.

给出了三种设计方案，让学生学会利用已学的基本技能验证方案的合理性.

本题具有较大的开放性，充分发挥学生的想象力，对于不同的方案无论是否用到了一元二次方程都应给予肯定和鼓励，因为它同样表明了学生对解决问题的思考.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？ 

分析：动画演示：

设水渠宽为x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.

解：设水渠的宽应挖 x m .

 (92-2x)(60 -x)= 6×885

解得 x1=1，x2=105(舍去).

所以水渠的宽应挖 1 m.

师强调：结果应符合实际意义.

总结：利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).

明确例题的做法

让学生在探究过程中进一步理解用公式法解一元二次方程的基本思路及步骤，培养学生的应用意识.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.在一幅长 90 cm、宽 40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的 72%，那么金边的宽应该是多少？

2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m.

(1)鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？  

(2)鸡场的面积能达到 250 m2 吗？

3.如图，圆柱的高为 15 cm，全面积(也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？

答案：

1.解:设金色纸边的宽度是 x cm．

解得x1＝-70(舍去)，x2＝5

所以，金色纸边的宽度是 5cm．

2.解: (1)设鸡场的宽为x m．由题意，得

40 - 2x > 0，40 - 2x ≤ 25，

解得：7.5 ≤ x ＜ 20．

当鸡场的面积为180 m2时，列方程得：

             x(40-2x)＝180，

解得

，            

即鸡场宽为 () m 时，鸡场面积达到 180 m2．

当鸡场的面积为200 m2时，列方程得：        

x(40-2x)＝200，

解得 x1＝x2＝10．

即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m2．

(2)当鸡场的面积为250 m2时，列方程得：x(40-2x)＝250，方程无解．

即鸡场面积达不到 250 m2．

3.解: 设圆柱底面半径为 r cm．

2πr2＋15×2πr ＝ 200π

解得 r1＝-20(舍去)，r2＝5．

所以，圆柱底面半径为 5 cm．

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习，及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第45页 题2.6 第4题

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.