人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）5

人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）5

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）在中，面积，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分），，若与共线，则

A.  B.  C.  D.

3.（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩，如图，要测量，两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出，两点的距离为
 

A.   B.    C.    D.   

4.（5分）如图，在三棱柱中，点，，，分别为，，，的中点，为的重心．从，，，中取一点作为，使得该棱柱恰有条棱与平面平行，则为  
 
 
 

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题错误的是

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

6.（5分）已知复数满足，则在复平面上对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7.（5分）已知点，，向量，若，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知向量，，且，则

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知球的半径为，球心在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦的长为，为的中点，四面体的体积为，则正确的是

A. ，，，四点共圆 B.
C.  D. 的最大值为

10.（5分）若，为互斥事件，，分别表示事件，发生的概率，则下列说法正确的是

A.  B.
C.  D.

11.（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

12.（5分）在中，，分别是线段，上的点，与交于点，若，则

A.  B.  C.  D.

13.（5分）已知向量，，，设的夹角为，则

A.  B.  C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）将一个骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则两数之和是的倍数的概率是__________.

15.（5分）在中，角，，所对边分别为，，，若，，，则_________.

16.（5分）已知，且，则与的夹角大小为 ______ ．

17.（5分）记的内角，，的对边分别为，，，若，则______，______.

18.（5分）已知向量，，两向量的夹角为，则______．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）设复数， 
Ⅰ若是实数，求的值； 
Ⅱ若对应的点位于复平面第四象限，求的取值范围．

20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，为的中点，为的中点． 
求证：平面； 
求证：平面； 
求三棱锥的体积．
 

21.（12分）如图，在正方体中，为底面的中心，，分别为，的中点．求证： 
平面平面． 
求异面直线与所成角的余弦值；
 

22.（12分）已知正四棱锥中，与交于点，是棱锥的高，若，，求正四棱锥的体积．
 

23.（12分）如图，在多面体中，为等边三角形，，，，点为边的中点． 
求证：平面； 
在上找一点使得平面平面，并证明．
 

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：由余弦定理得：化简，利用三角形的面积公式求出，两者相等得；  
，  
，  
两边平方，再根据同角三角函数间的基本关系得：，  
解得．  
故选B  
由余弦定理得：化简，利用三角形的面积公式求出，两者相等，利用同角三角函数的基本关系即可求出． 
考查学生会利用余弦定理化简求值，会利用三角形的面积公式求面积，以及灵活运用条件三角函数间的基本关系化简求值．
 

2.【答案】B;

【解析】解：与共线，． 
， 
， 
， 
则． 
故选：． 
与共线，可得可得，化简即可得出． 
该题考查了向量共线定理、三角函数基本关系式求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

3.【答案】A;

【解析】解：在中，，， 
， 
， 
由正弦定理得：，即， 
整理得：， 
故选： 
在中，利用内角和定理求出的度数，利用正弦定理即可求出的长． 
此题主要考查了解三角形的实际应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
 

4.【答案】C;

【解析】解：若点为， 
 
 
则棱柱至少有三条棱与平面平行，故不正确 
若点为， 
平面平面 
平面，平面，平面 
则棱柱至少有三条棱与平面平行，故不正确 
若点为， 
则棱柱中仅有、与平面平行，故正确 
若点为， 
则棱柱中只有平面平行，在平面内，故不正确 
故选 
此题主要考查的知识点是棱柱的结构特征，及空间中直线与平面之间的位置关系，要求满足条件的点，我将可以对、、、四个点逐一进行分析，找出棱柱中与平面平行的棱的条数，即可得到答案． 
判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义无公共点；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质定理；④利用面面平行的性质线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
 

5.【答案】C;

【解析】解：设平面，，的法向量分别为， 
对于，由得，，而，则，有，即，于是得，正确； 
对于，因，，则，令直线的方向向量为，又，于是得，有正确； 
对于三棱柱的三个侧面，，分别视为平面，，， 
显然平面平面，平面，有， 
即满足中命题的条件，但平面与平面相交，不正确： 
对于，因，，则，因此，向量共面于平面，令直线的方向向量为，显然， 
而平面，即不共线，于是得，所以，正确． 
故选： 
设出，，的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断，，；举例说明判断作答． 
此题主要考查了空间中的位置关系，属于基础题．
 

6.【答案】C;

【解析】解：由，得 
，对应的点位于第三象限． 
故选：． 
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 
此题主要考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】A;

【解析】解：，，，向量，  
，  
 
 
故选A． 
利用向量的坐标公式求出 的坐标，利用向量垂直，数量积为，列出方程，求出的值．  
解决三点共线问题常转化为以三点为始点、终点的两个向量共线，利用向量垂直的充要条件找等量关系；两个向量共线的充要条件是：数量积为．
 

8.【答案】D;

【解析】解：， 
， 
， 
， 
故选：． 
把原式用坐标展开得到关于的方程，易解． 
该题考查了向量数量积，属容易题．
 

9.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查了球的几何性质的应用，正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查了学生的空间想象，运算能力等，属于较难题. 
利用球的几何性质，正弦定理，余弦定理，基本不等式等依次验证每个选项的正误，进而得到答案.解：因为公共弦在棱上，连结，，，，， 
则，故正确， 
因为二面角的两个半平面分别截球面得两个圆，，为球心， 
所以，，又平面，平面，所以，， 
故，，，四点共圆，故选项正确 
因为为弦的中点，故，，故即为二面角的平面角， 
所以，由正弦定理得，故选项错误， 
设，，在中， 
由余弦定理可得，， 
所以，故，所以， 
当且仅当时取等号，故选项正确. 

 

10.【答案】BD;

【解析】解：，为互斥事件，，分别表示事件，发生的概率，  
，，  
故A错误，B正确，C错误，D正确．  
故选：． 
利用互斥事件概率加法公式和互斥事件的性质直接判断． 
此题主要考查命题真假的判断，考查互斥事件概率加法公式和互斥事件的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】BC;

【解析】解：：由题意得， 
由正弦定理得， 
所以，唯一，不符合题意； 
：由正弦定理得， 
所以， 
由得， 
故有两角，符合题意； 
由正弦定理得， 
所以， 
由得， 
故有两解，符合题意； 
由正弦定理得，， 
所以， 
由得， 
故有一解，不符合题意． 
故选： 
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角分别检验各选项即可判断． 
此题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在三角形解的个数判断中的应用，属于中档题．
 

12.【答案】AD;

【解析】解：设，， 
由， 
可得，， 
，，共线，，，共线， 
，， 
故，， 
即， 
故选： 
利用平面向量的基本定理，平面向量的线性运算得到，，再利用三点共线的性质，列出方程组求解即可． 
此题主要考查平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，三点共线的应用，属于中档题．
 

13.【答案】AD;

【解析】解：向量，， 
所以，，， 
所以，所以，所以正确； 
，，所以不正确； 
，，所以不正确； 
，， 
所以，所以正确； 
故选： 
利用压痛及求解，利用向量的数量积是否为，判断；求解向量的模判断；向量是否共线判断；然后求解两个向量的夹角判断 
本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模以及焦距的求法，是基础题．
 

14.【答案】;

【解析】试验发生包含的事件是一颗骰子抛掷次，观察向上的点数，共有种结果，满足条件的事件是点数之和是的倍数，有，，，，，，，，，，，有种结果，根据古典概型概率公式得到
 

15.【答案】;

【解析】 
此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于中档题. 
由已知得，可得，且、都为锐角，根据三角形面积公式得到，进而得到，根据余弦定理求解的值，从而得到的值. 
 
解：在中，由，得， 
所以，且、都为锐角， 
可得， 
解得， 
则， 
由余弦定理得，， 
解得， 
则 
故答案为
 

16.【答案】;

【解析】解：，  
，  
，，  
，  
与的夹角大小为．  
故答案为：．  
对两边平方，得出与的关系，代入夹角公式计算即可．  
该题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

17.【答案】6 ;略;

【解析】解：由正弦定理及，得，所以， 
由余弦定理知， 
故答案为：； 
利用正弦定理化角为边，可得，从而知的值，再利用余弦定理，可得的值． 
此题主要考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解答该题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】解：因为向量，，两向量的夹角为； 
． 
故答案为： 
直接根据向量夹角的计算公式把已知条件代入即可求解 
该题考查向量的夹角，考查向量的模长以及计算，考查计算能力．
 

19.【答案】解：Ⅰ复数是实数， 
，即，解得或． 
Ⅱ对应的点位于复平面第四象限， 
，即， 
解得， 
故．;

【解析】这道题主要考查了复数的概念及其几何意义，熟练掌握复数的意义和性质是解答该题的关键． 
Ⅰ若是实数，则其虚部必为，解出即可； 
Ⅱ若对应的点位于复平面第四象限，则其实部，虚部，据此解出即可． 

 

20.【答案】证明：平面，平面， 
四边形这菱形且，为正三角形， 
为的中点， 
又，平面； 
证明：设为线段的中点，连接、，则 
为的中点，，且，且， 
四边形为平行四边形， 
平面，平面 
平面； 
解：，， 
;
 

【解析】 
利用线面垂直的性质，可得，再利用线面垂直的判定，可得线面垂直； 
设为线段的中点，连接、，可得四边形为平行四边形，从而可得，利用线面平行的判定，可得线面平行； 
利用三棱锥的体积公式，即可求得结论． 
此题主要考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：（1）证明：连接PQ、BD，由已知得四边形PABQ为平行四边形， 
∴AP∥BQ， 
∵AP⊂面AOP，BQ⊄面AOP， 
∴BQ∥面AOP，…（2分） 
同理可证D1B∥面AOP， 
又∵BQ∩D1B=B，BQ⊂面BQD1，BD1⊂面BQD1， 
∴面BQD1∥面AOP．…（6分） 
说明：直接用线线平行到面面平行时扣（2分） 
（2）连接OC，CP， 
∵CP∥QD1， 
∴异面直线QD1与AO所成角为∠ACP， 
∵设正方体ABCD-A1B1C1D1，的边长为1， 
在△ACP中，可得：AP==，AC==，PC==， 
∴由余弦定理可得：cos∠ACP===， 
即异面直线QD1与AO所成角余弦值为．;
 

【解析】 
连接、，四边形为平行四边形，从而，进而面，同理可证面，由此能证明面面． 
连接，，由，可求异面直线与所成角为，设正方体，的边长为，可求，，的值，由余弦定理可得的值，即可得解． 
这道题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，平面和平面平行的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由已知有MC=3，VC=5，则VM=4，AB=BC=3， 
所以正四棱锥V-ABCD的体积为V==24．;

【解析】 
求出棱锥的高，然后求解几何体的体积即可． 
该题考查棱锥的体积的求法，考查计算能力．
 

23.【答案】证明：（1）取EC中点M，连接FM，DM， 
∵AD∥BC∥FM，， 
∴ADMF是平行四边形，∴AF∥DM， 
∵AF⊄平面DEC，DM⊂平面DEC，∴AF∥平面DEC． 
 
（2）点G为BC的中点．证明：连接FG，AG， 
因为G、F分别是BC，BE的中点，所以GF∥CE， 
又GF⊄平面DCE，CE⊂平面DCE，所以GF∥平面DCE， 
又因为AD∥BC，，所以AD∥GC且AD=GC， 
即四边形ADCG是平行四边形，所以DC∥AG， 
因为AG⊄平面DCE，所以AG∥平面DCE． 
又因为AG∩GF=G，所以平面AFG∥平面DCE． 
;

【解析】 
取中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； 
先由题意，确定点为的中点；再给出证明，连接，，根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立． 
此题主要考查了空间中的平行关系的证明，属于中档题．