人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）6

人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）6

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若，则的虚部为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）已知复数是纯虚数其中是虚数单位，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知，，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知，为非零向量，若，则

A. ，方向相同，且
B. ，方向相反，且
C. ，方向相同，且
D. ，方向相反，且

5.（5分）设，，向量，，，且，，则等于  

A.  B.  C.  D.

6.（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则这样的三角形有

A. 个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个

7.（5分）已知两点，，则与向量同向的单位向量是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）若圆台的上、下底面面积分别为，则圆台中截面的面积为

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）若复数满足，则

A.  B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 为纯虚数

10.（5分）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点则 
 

A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点与点到平面的距离之比为

11.（5分）如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是
 

A.  B. 平面
C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值

12.（5分）在中，角，，所对的边的长分别为，，，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是

A.  B.
C.  D.

13.（5分）如图，在中，，，，，分别在边，，上与线段端点可重合，且，则下列结论正确的是
 

A. ：的值是定值 B. 的范围是
C. 面积的最小值为 D. 的周长最大值为

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）对某市“四城同创”活动中名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可得： 
年龄组对应小矩形的高度为 ______ ； 
据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为 ______ .
 

15.（5分）一个圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为______．

16.（5分）已知，则与方向相同的单位向量______．

17.（5分）已知复数满足，则______，______.

18.（5分）将编号为，，的三个小球随机放入编号为，，的三个盒子每个盒子中均有球，则编号为的球不在编号为的盒子中的概率为______．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）如图，在三棱锥中，，，，， 
证明：平面平面； 
已知为棱上一点，若，求线段的长．
 

20.（12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标进行检测，一共抽取了件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标有关，具体见表．

以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标的平均值保留两位小数； 
用分层抽样的方法从上述样本中先抽取件产品，再从件产品中随机抽取件产品，求这件产品的指标都在内的概率； 
已知该厂产品的维护费用为元次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？

21.（12分）设复数，若为实数，求实数

22.（12分）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点在棱上． 
Ⅰ求证：平面平面； 
Ⅱ若直线平面，求此时直线与平面所成角的正弦值．
 

23.（12分）已知一个球的外切圆台的上、下底面半径分别为、，求出该球的表面积.

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：， 
， 
的虚部为 
故选： 
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及虚部的定义，即可求解． 
此题主要考查复数的运算法则，以及虚部的定义，属于基础题．
 

2.【答案】B;

【解析】解：为纯虚数， 
则，解得 
故选： 
先对化简，再结合纯虚数的定义，即可求解． 
此题主要考查复数的运算法则，以及纯虚数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】A;

【解析】解：由已知条件可得，， 
因此， 
故选： 
利用向量的数量积的运算法则，求解即可． 
本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
 

4.【答案】B;

【解析】解：若，，方向相反，且 
故选：． 
直接利用向量共线的基本性质判断即可． 
该题考查了向量共线的基本性质，是基础题．
 

5.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查向量模长的计算，结合向量垂直和向量平行的坐标公式求出坐标是解决本题的关键，属于基础题． 
根据向量垂直和向量平行的坐标公式求出，的值，结合向量模长公式进行计算即可． 
 
解：若，， 
则，且， 
得且， 
即，， 
则， 
则， 
故选：．
 

6.【答案】B;

【解析】解：在中，，，，  
由正弦定理得：，  
，，  
的度数有两解，  
则这样的三角形有两个．  
故选：． 
由，，的值，利用正弦定理求出的值，利用三角形边角关系及正弦函数的性质判断即可得到结果．  
此题主要考查了正弦定理，正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
 

7.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查了单位向量，平面向量的坐标运算，属于基础题. 
与同向的单位向量为，求得，，代入可得结果. 
 
解：因为与同向的单位向量为， 
， 
， 
所以 
故选
 

8.【答案】C;

【解析】解：根据题意知，圆台的上、下底面半径分别为，， 
所以圆台的轴截面是上底为，下底为的等腰梯形， 
因为圆台的中截面平行于上下底，且与上下底等距离， 
所以这个截面圆在圆台轴截面上截得的直径是等腰梯形的中位线， 
根据梯形中位线公式，得该截面圆的直径等于， 
所以该中截面圆的半径为， 
所以中截面面积为：， 
故选： 
由中截面是过圆台高的中点且与上下底面平行的截面，由此可得该截面与圆台轴截面相交所得的直径是轴截面等腰梯形的中位线，结合题中数据可算出该截面圆的面积． 
此题主要考查了圆台的结构特征与中截面面积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

 

9.【答案】BD;

【解析】解：，， 
，，在复平面内对应的点位于第二象限，为纯虚数， 
可得：正确． 
故选： 
利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义即可判断出正误． 
此题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】BCD;

【解析】 
此题主要考查的是正方体的几何特征，考查空间中线线的位置关系，线面平行的判定以及面面平行的判定和性质等知识，属于中档题. 
利用反证法即可判断；通过面面平行可以判断；先确定平面形状，然后根据该形状特征求解，可判断；利用等体积法可以判断； 
 
解：取的中点，连接， 
易知， 
若，则易证明平面 
所以，这显然不成立 
所以选项错误； 
 
取的中点为，连接、， 
 
则，， 
，平面，，平面， 
所以可得平面，平面， 
又，，平面， 
易证平面平面， 
又平面， 
从而平面，选项正确； 
 
 
选项，因为截面为梯形， 
， 
， 
所以梯形的高为， 
则截面面积为，故正确； 
 
在中，记点与点到平面的距离分别为，， 
因为， 
又因为， 
所以， 
故正确. 
 
故选
 

11.【答案】ABD;

【解析】解：由正方体的结构特征可知，平面，而平面，则， 
又为正方形，， 
，且D、平面，平面， 
平面，，故A正确； 
，平面，平面， 
平面，而在上，平面，故B正确； 
点到的距离为正方体的棱长，到的距离大于棱长，则的面积与的面积不相等，故C错误； 
如图所示，连接，交于，则为三棱锥的高， 
，， 
则为定值，故D正确． 
故选：． 
证明线面垂直，可得线线垂直判断；由直线与平面平行的判定定理判断；由点和点到的距离不相等，可得的面积与的面积不相等，判断C错误；连接，交于，则为三棱锥的高，利用等体积法证明三棱锥的体积为定值判断． 
此题主要考查立体几何的综合，涉及线面的位置关系、棱锥的体积公式等，考查空间想象能力与推理论证能力，考查运算求解能力，是中档题．

 

12.【答案】ACD;

【解析】解：在中，， 
对于，， 
， 
即， 
在中，，， 
，， 
三角形为直角三角形，故正确； 
对于，由正弦定理得，，整理得：，故或，即为等腰三角形或直角三角形，故错误； 
对于，由正弦定理与降幂公式可将化为：， 
整理得：， 
即， 
，， 
三角形为直角三角形，故正确； 
对于，在中，由得：， 
整理得：，其中，故，， 
三角形为直角三角形，故正确； 
综上所述，满足上面条件的三角形一定为直角三角形的是， 
故选： 
对于，利用两行和的正弦公式，可将化为，从而可判断的正误； 
对于，利用正弦定理可将化为，从而可判断的正误； 
对于，由正弦定理与降幂公式可将化为：，整理得，从而可判断的正误； 
对于，在中，由可得，从而可判断的正误； 
此题主要考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与三角恒等变换的应用，考查等价转化思想与综合运算能力，综合性强，属于难题．
 

13.【答案】ACD;

【解析】解：因为，，所以以点为原点建立平面直角坐标系，则 
 
，，，，，，， 
则， 
，， 
所以，，， 
则 
对于，， 
 
则，所以正确． 
对于，因为， 
，所以错误． 
对于，面积为： 
 
，当时，面积的最小值为 
所以正确． 
对于，的周长为： 
，当时， 
的周长最大值为： 
所以正确． 
故选： 
以点为原点建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，设，，通过求出，则，，求出的范围，对各选项一一验证即可． 
此题主要考查三角形中的计算，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】0.04；440;略;

【解析】解：设年龄在内对应小长方形的高度为， 
则，解得：； 
这名志愿者中年龄在内的频率为， 
这名志愿者中年龄在内的人数为 
故答案为：， 
根据所有矩形的面积和为，建立等式关系式，可求出年龄在内对应小长方形的高度； 
先利用矩形的宽乘以高求出年龄在内的频率，然后根据频数频率样本容量，从而求出所求． 
此题主要考查了频率分布直方图，以及所有矩形的面积和为，频数频率样本容量，同时考查了识图的能力，属于基础题．
 

15.【答案】;

【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为， 
则，解得，， 
高， 
． 
故答案为：． 
设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解． 
该题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的侧面积、底面积、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】（）;

【解析】解：， 
， 
与方向相同的单位向量 
故答案为： 
先求出，由此能求出与方向相同的单位向量． 
该题考查单位向量的求法，考查平面向量坐标法则、单位向量的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】 ;略;

【解析】解：由题意得，， 
化为：，， 
所以 
故答案为：； 
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论． 
此题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】解：将三个球放入三个盒子中，所有的方法为 
编号为的小球放入到编号为的盒子中的放法有， 
编号为的球不在编号为的盒子放法有， 
由古典概型的概率公式得， 
故答案为： 
利用排列的计数方法求出将三个球放入三个盒子中所有的方法及编号为的球不在编号为的盒子中的放法，再利用古典概型的概率公式求出概率． 
利用古典概型求事件的概率时，关键是求出事件所含的基本事件个数，求基本事件个数的方法有：排列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法．
 

19.【答案】（1）证明：取AC的中点M，连接SM，BM， 
∵∠ABC=∠ASC=90°，AC=2， 
∴BM=SM=1，又SB=， 
∴SM2+BM2=SB2，则BM⊥SM， 
∵AB=BC，∴BM⊥AC， 
又AC∩SM=M，∴BM⊥平面SAC， 
而BM⊂平面ABC， 
∴平面SAC⊥平面ABC； 
（2）解：由已知，， 
由（1）知BM⊥平面SAC，且，则． 
∵，∴， 
则， 
∴．;
 

【解析】 
取的中点，连接，，由已知求得，又，利用勾股定理证明，再由，利用线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定得平面平面； 
由已知求出三角形的面积，结合求出的体积，结合已知利用四棱锥与三棱锥的体积比求得，进一步求解线段的长． 
该题考查平面与平面垂直的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
 

20.【答案】解：指标的平均值为：． 
由分层抽样法知，先抽取的件产品中， 
指标在内的有件，记为，，， 
指标在内的有件，记为，， 
指标在内的有件，记为， 
从件产品中，随机抽取件产品，共有基本事件个，分别为： 
，，，，， 
，，， 
，，，，， 
，，， 
其中，指标都在内的概率为． 
不妨设每件产品的售价为元，假设这件样品每件都不购买该服务， 
则购买支出为元，其中有件产品一年内的维护费用为元件， 
有件产品一年内的维护费用为元件， 
此时平均每件产品的消费费用为元． 
假设为这件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为元， 
一年内只有件产品要花费维护，需支出元， 
平均每件产品的消费费用： 
元， 
该服务值得购买．;

【解析】 
由样本数据能估计该厂产品的质量指标的平均值指标． 
由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标在内的有件，记为，，，指标在内的有件，记为，，指标在内的有件，记为，从件产品中，随机抽取件产品，共有基本事件个，由此能求出指标都在内的概率． 
不妨设每件产品的售价为元，假设这件样品每件都不购买该服务，则购买支出为元，其中有件产品一年内的维护费用为元件，有件产品一年内的维护费用为元件，由此能求出结果． 
此题主要考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：由已知可得=（1+i）（x+2i）=x-2+（x+2）i， 
因为为实数， 
所以x+2=0，解得x=-2．;

【解析】 
化简，然后令的系数为即求解． 
此题主要考查了复数的运算性质，考查了复数为实数的条件，属于基础题．
 

22.【答案】解：Ⅰ证明：平面，， 
，，， 
由，可得， 
， 
，， 
，平面， 
平面，平面平面； 
Ⅱ以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴， 
建立空间直角坐标系， 
则，，，，， 
连结，与交于点，连结， 
平面，为平面与平面的交线， 
，， 
在四边形中，，∽， 
，，， 
， 
，，， 
设平面的法向量， 
则，取，得， 
设直线与平面所成角为， 
则． 
直线与平面所成角的正弦值为．;
 

【解析】该题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 
Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明平面平面． 
Ⅱ以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值． 
 

 

23.【答案】解：如图所示圆台及内切球的轴截面ABCD、O1、O2、O分别为上、下底面中心及球心， 
设球半径为x，则O1 O2=2x，过C作CE⊥AB于E，则CE=2x， 
BE=R-r，BC=R+r…（4分） 
∴在Rt△CBE中，由CB2=BE2+CE2， 
得（R+r）2=（R-r）2+（2x）2， 
=Rr，…（10分） 
∴球的表面积为4π=4πRr．…（12分）;
 

【解析】 
如图所示圆台及内切球的轴截面、、、分别为上、下底面中心及球心，设球半径为，则，过作于，则，通过求解三角形，推出，然后求解球的表面积． 
此题主要考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．