人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）

人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若复数满足其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.（5分）一个直立圆柱的侧视图是面积为的正方形，则该圆柱的体积为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知平面平面，直线，直线，且与相交，则和的位置关系是

A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 上述三种都有可能

4.（5分）已知三棱锥的四个顶点都在同一个球的球面上，，，，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知直线，及平面，，下列命题中正确的是

A. 若，，且，则
B. 若，，且，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则

6.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的外接圆半径

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知，则在方向上的投影为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）在平行四边形中，为对角线上一点，且，则

A.  B.
C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）从装有个红球和个白球的口袋中任取个球，那么互斥而不对立的事件是

A. 恰有个红球与恰有个红球 B. 至少有个白球与都是红球
C. 恰有个红球与恰有个白球 D. 至少有个红球与至少有个白球

10.（5分）如图，已知在棱长为的正方体中，点，，分别是，，的中点，下列结论中正确的是 
 
 

A. 平面 B. 平面
C. 三棱锥的体积为 D. 直线与所成的角为

11.（5分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是

A. 直线与是异面直线
B. 在棱上存在点，使平面
C. 平面与平面的交线 平面
D. 当时，四棱锥的体积为

12.（5分）在正方体中，点是棱上的动点，则过，，三点的截面图形是

A. 等边三角形 B. 矩形
C. 等腰梯形 D. 正方形

13.（5分）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 

A. 这天复工指数和复产指数均逐日增加
B. 这天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C. 第天至第天复工复产指数均超过
D. 第天至第天复产指数增量大于复工指数的增量

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）直三棱柱的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为，则该三棱柱体积的最大值为______．

15.（5分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为______． 
 
 

16.（5分）在直角三角形中，，为斜边延长线上靠近的一点，若的面积为，则______．

17.（5分）已知不重合的直线，和平面，且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确的命题是_______填序号

18.（5分）已知一组样本数据，，，，的极差为若，则其方差为 ______.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知中，，，，分别取边，的中点，，将沿折起到的位置，使，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足． 
Ⅰ求证：平面； 
Ⅱ求三棱锥的体积．
 

20.（12分）如图，半圆的半径为，为直径延长线上一点，，为半圆上任意一点，以为一边做等边三角形，设． 
当时，求四边形的面积； 
求线段长度的最大值，并指出此时的值．
 

21.（12分）如图，四棱锥中，底面，，，．  
 
Ⅰ求证：平面；  
Ⅱ若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．

22.（12分）已知复数，，，为虚数单位． 
若在复平面内对应向量，将绕点顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； 
若是关于的方程的一个根，求实数与的值．

23.（12分）已知中，角，，的对边分别是，，，． 
若，求的值； 
若的平分线交于点，且，求周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】解：由， 
得， 
则在复平面内对应的点的坐标为：，位于第三象限． 
故选：． 
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标得答案． 
该题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】A;

【解析】解：一个直立圆柱的侧视图是面积为的正方形， 
该圆柱的底面圆直径和高都是， 
则该圆柱的体积为 
故选： 
该圆柱的底面圆直径和高都是，由此能求出该圆柱的体积． 
此题主要考查圆柱体积的求法，考查直立圆柱的侧视图、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题. 
从选项出发，假设直线，平行或相交，推出矛盾，即可得到结论. 
 
解：若与平行， 因为，所以，与与相交矛盾，所以错 
若和相交，因为直线，直线，平面平面， 
则和都和相交且在同一点处， 这与矛盾， 所以错 
因为两条直线的位置关系有平行， 相交， 异面这三种情况， 故和只能异面 
故选
 

4.【答案】C;

【解析】解：三棱锥的四个顶点都在同一个球的球面上，，，，则为直角三角形． 
三棱锥体积的最大值为，所以，解得， 
所以设外接球的半径为，则，解得， 
故球的表面积为 
故选： 
首先利用锥体的体积公式的应用求出锥体的高，进一步利用勾股定理的应用求出外接球的半径，进一步求出球的表面积． 
此题主要考查的知识要点：锥体的体积公式的应用，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

5.【答案】D;

【解析】解：若，，且，，，  
 
故A不正确；  
若，，且，则不正确，  
如两个面相交，两个相交的墙面，直线，都平行于交线，  
也满足，，，所以不正确；  
若，，且，则有可能，不一定，所以不正确；  
若，，且可以判断是正确的，因为可以设两个平面的，，可得数量积为零，  
，所以可判断是正确的，故D 正确，  
故选：  
根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．  
本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断．
 

6.【答案】A;

【解析】解：由余弦定理可得，即，解得， 
根据正弦定理可得， 
故， 
故选：． 
先根据余弦定理求出，再由正弦定理可求得． 
该题考查正余弦定理的应用，属于中档题．
 

7.【答案】C;

【解析】【分析】 
本题考查向量的数量积，考查向量的投影，属于基础题． 
通过向量的垂直得到向量的数量积的值，然后求解在方向上的投影． 
【解答】 
解：因为，，且， 
所以，所以， 
则在方向上的投影为 
故选：
 

8.【答案】A;

【解析】解：如图所示： 
 
， 
故选：． 
根据三角形法则和平行四边形法则即可求解． 
该题考查了平面向量基本定理，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】AC;

【解析】解：从装有个红球和个白球的口袋中任取个球， 
对于，恰有个红球与恰有个红球不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故正确； 
对于，至少有个白球与都是红球是对立事件，故错误； 
对于，恰有个红球与恰有个白球不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故正确； 
对于，至少有个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故错误． 
故选： 
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 
此题主要考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
 

10.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查线面平行、线面垂直的判定，棱锥的体积以及异面直线所成的角，属于中档题. 
根据题意逐项进行分析判定即可. 
 
解：，如图 ， 
 
因为在正方体中，，平面，所以 平面，故正确； 
，如图，连接，在正方形中，， 
 
又因为平面，平面，所以， 
又，、平面， 
所以平面， 
因为平面，所以， 
同理可证， 
又，、平面， 
所以平面，故正确； 
，如图， 
 
， 
所以三棱锥的体积为，故错误； 
，如图，取的中点，连接，，则， 
 
又，所以，所以即为直线与所成的角， 
在中，，， 
， 
所以，即直线与所成的角为，故正确. 
故选 

 

11.【答案】ABC;

【解析】此题主要考查空间几何体中线面平行、线面垂直的判定，考查三棱锥的体积求解问题，属于较难题． 
根据空间中异面直线的概念即可推出选项正确；取的中点，根据线面垂直的判定定理即可推出选项成立；根据线面平行的判定定理和性质定理即可得选项正确；根据面面垂直的性质定理可证得平面，计算四棱锥的体积，继而可判断出选项的正误． 
解：如图所示， 
 
选项：因为平面，平面，，平面， 
所以根据异面直线的概念可知选项正确； 
选项：取的中点，连接，，连接对角线，相交于点 
侧面为正三角形， 
 
又底面为菱形，， 
是等边三角形， 
又为中点， 
 
又，、平面 
平面，故选项正确； 
选项：因为底面为菱形， 
所以， 
又平面，平面， 
所以平面 
设平面与平面的交线为， 
因为平面，平面，平面平面， 
所以 
又因为平面，平面， 
所以平面，故选项正确； 
选项：由选项的证明过程可知， 
又因为平面平面，平面平面，平面， 
所以平面 
因为为正三角形，， 
所以 
底面为菱形，，， 
所以菱形的面积为： 
所以四棱锥的体积为：， 
故选项错误． 
故选
 

12.【答案】ABC;

【解析】 
此题主要考查几何体的截面问题，以及简单多面体结构特征，线面平行的应用. 
利用简单多面体的结构特征，线面平行的性质，分别讨论点的位置，即可得解. 
 
解：由点在线段上移动， 
当点与点重合时，截面图形为等边三角形； 
当点与点重合时，截面图形为矩形； 
当点不与点，重合时，截面图形为等腰梯形． 
理由如下： 
如图所示： 
 
因为，平面， 
过点作， 
所以， 
显然，易证和全等， 
则， 
所以四边形为等腰梯形. 
故选
 

13.【答案】CD;

【解析】 
此题主要考查折线图表示的函数的认知和理解，属于中档题． 
通过复工和折线图中都有递减的部分来判断；根据第一天和第十一天两者指数差的大小来判断；根据图象结合复工复产指数的意义和增量的意义可判断； 
 
解：由图可知，这天的复工指数和复产指数有增有减，故A错； 
由折线的变化程度可见这天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误； 
第天至第天复工复产指数均超过，故C正确； 
第天至第天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确； 
故选：． 

 

14.【答案】;

【解析】 
此题主要考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题． 
设三棱柱底面直角三角形的直角边为，，则棱柱的高，由外接球的体积为求得半径，可得，即，则，得到，代入三棱柱的体积公式得答案． 
 
解：设三棱柱底面直角三角形的直角边为，，则斜边长为， 
即棱柱的高， 
设外接球的半径为，则，解得， 
上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，且侧棱长等于底面三角形的斜边长， 
则， 
，则， 
当且仅当时“”成立． 
三棱柱的体积． 
即该三棱柱体积的最大值为． 
故答案为：． 

 

15.【答案】;

【解析】 
该题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题． 
取的中点，连接，，由于，则即为异面直线与所成的角，再用余弦定理即可． 
 
解：取的中点，连接，． 
 
由于， 
则即为异面直线与所成的角， 
设， 
则，，，． 
故答案为． 

 

16.【答案】-1;

【解析】解：如图：过作，垂足为， 
，， 
，， 
 
 
 
 
 
． 
故答案为： 
如图：过作，垂足为，根据的面积为，可得，再根据向量数量积以及三角函数知识可得． 
此题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．

 

17.【答案】①④;

【解析】

 
此题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题. 
根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，线面垂直面面垂直的判定定理逐一判断即可. 
 

解：①因为若，则，因为，则；正确；

②若，则或异面；故错误；

③若，则，的位置关系不确定；故错误；

④若，因为，则，又则，故正确.

故答案为①④.
 

18.【答案】3.2;

【解析】解：根据题意，样本数据，，，，的极差为，而， 
则必有或， 
解可得或，又由，则， 
数据为，，，，，其平均数， 
则其方差； 
故答案为： 
根据题意，由数据的极差分析可得的值，进而由方差公式计算可得答案． 
此题主要考查数据的方差、极差的计算，注意求出的值，属于基础题．
 

19.【答案】（Ⅰ）证明：取A1E中点F，连接MF，CF， 
∵M为棱A1D的中点， 
∴MF∥DE且MF=，而△ABC中，D，E为边AB，AC的中点， 
则DE∥BC，且DE=， 
∴MF∥BC，MF∥NC且MF=， 
∴四边形MFCN为平行四边形                       ……（4分） 
∴MN∥FC，……（5分） 
∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC， 
∴MN∥平面A1EC．……（6分） 
（Ⅱ）取BD中点H，连PH． 
∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥DA1，DE⊥BD， 
∵DB⊥DA1，DE∩BD=D，∴DA1⊥面BCDE， 
∵PH∥A1D，∴PH⊥面BCDE， 
∴PH为三棱锥P-NCE的高．  ……（9分） 
∴PH=，． 
 
 
∴VN-PEC=VP-NCE==   ……（12分）;

【解析】 
Ⅰ取中点，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，从而得出结论平面；  
Ⅱ取中点，连，易证为三棱锥的高，代入公式即可． 
该题考查了线面平行的判定和几何体体积计算，构造平行线和找到题中的垂直关系是解题关键．
 

20.【答案】解：（1）在△OAB中，由余弦定理得AB2=1+4-2×1×2×cos=3， 
∴AB=， 
∴S△ABC==，S△AOB==， 
∴四边形OACB的面积为+=． 
（2）由余弦定理得AB2=1+4-2×1×2×cosθ=5-4cosθ， 
∴AB=，∴AC=， 
由正弦定理得，即sin∠OAB==， 
∴cos∠OAB=， 
∴cos∠OAC=cos（∠OAB+）=-， 
由余弦定理得：OC2=4+5-4cosθ-2×2××（-）=5+2sinθ-2cosθ=5+4sin（θ-）． 
∵θ∈（0，π）， 
∴当θ=时，OC最大，OC的最大值为3．;

【解析】 
利用余弦定理计算，分布求出和的面积即可；  
根据余弦定理、正弦定理用表示出，，计算，利用余弦定理得出关于的函数，根据三角恒等变换求出最值． 
该题考查了正弦定理和余弦定理，解三角形的应用，三角恒等变换，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ，为等腰三角形，再由，． 
再由底面，可得． 
而，故BD平面． 
Ⅱ侧棱上的点满足， 
三棱锥的高是三棱锥的高的． 
的面积． 
三棱锥的体积 
．;

【解析】 
Ⅰ由等腰三角形的性质可得，再由底面，可得再利用直线和平面垂直的判定定理证明平面． 
Ⅱ由侧棱上的点满足，可得三棱锥的高是三棱锥的高的求出的面积，再根据三棱锥的体积，运算求得结果． 
这道题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．
 

22.【答案】解：（1）依题意可知， 
∴． 
（2）由条件可知：（m-i）2-n（m-i）+10=0，整理得：（-nm+9）-（2m-n）i=0， 
∵m，n∈R， 
∴，解得m=3，n=6或m=-3，n=-6．;

【解析】 
根据已知条件，先求出，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解． 
将代入方程，再结合复数的相等性准则，即可求解． 
此题主要考查复数的性质，考查转化能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：（1）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=120°． 
若a=2b， 
所以sinA=2sinB，整理得：sinA=2sin（180°-120°-A）， 
整理得：sinA=， 
解得tanA=． 
（2）∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=1， 
利用三角形的面积： 
所以， 
整理得， 
所以=1++1≥2+2=4， 
当且仅当a=b=2时，等号成立． 
所以=+-2abcos120°，解得c=， 
所以△ABC周长的最小值为2+2+2=4+2．;

【解析】 
直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果．  
利用三角形的面积和余弦定理的应用及基本不等式的应用求出结果 
该题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．