人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）2

人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）2

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）某人将一枚硬币连掷了次，正面朝上的情形出现了次，若用表示正面朝上这一事件，则的

A. 概率为 B. 频率为 C. 频率为 D. 概率接近

2.（5分）已知向量，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则与的夹角为

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知，，若，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）在中，内角所对应的边分别为，若，且，则的值为 
 

A.  B.  C.  D.

5.（5分）总体数为个，其中带有标记的是个，要从中抽取个入样，用随机抽样的方法进行抽取，则抽取的样本中带有标记的应为个

A.  B.  C.  D.

6.（5分）若复数是纯虚数，则实数的值为

A. 或 B.  C.  D. 或

7.（5分）若复数在复平面内对应的点为，则其共轭复数的虚部是

A.  B.  C.  D.

8.（5分）平面向量，满足，，则与夹角最大值时为

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）给出下列四个命题，其中正确的选项有

A. 非零向量，满足，则与的夹角是
B. 若，则为等腰三角形
C. 若单位向量，的夹角为，则当取最小值时
D. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是

10.（5分）在锐角中，，，为三个内角，，分别为，，所对的三边，则下列结论成立的是

A. 若，则 B. 若，则的取值范围是
C.  D.

11.（5分）如图所示的是一几何体的平面展开图，其中四边形为矩形，，分别为，的中点，则下列结论正确的有

A. 直线与直线异面 B. 直线与直线异面
C. 平面平面 D. 直线平面

12.（5分）如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是

A.  B.
C.  D.

13.（5分）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我同与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自年以来，“一带一路”建设成果显著，如图所示是年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是

A. 这五年，年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多
C. 这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，年进口增速最快

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）从某小区抽取户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在到度之间，频率分布直方图所示，则直方图中的值为______．
 

15.（5分）在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______．

16.（5分）在钝角中，，的对边分别为，，若，为一元二次方程的两个根，，则的弧度数的取值集合为______．

17.（5分）一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有 ______ 个．

18.（5分）已知集合 ，在 中可重复的依次取出三个数 ，则“以 为边恰好构成三角形”的概率是________．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）在中，内角，，的对边分别是，，，已知． 
Ⅰ求角； 
Ⅱ若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

20.（12分）如图，在六面体 中， ．  
 
  求证： ．

21.（12分）设复数，， 
若复数是纯虚数，求的值； 
若复数对应的点在直线 上，求的值．

22.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． 
Ⅰ求角； 
Ⅱ若，的面积为，求的周长．

23.（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知

求；

设为上的点，平分，且，求

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】 
该题考查了古典概型的计算，频率与概率，属于基础题． 
根据题意，进行求解即可． 
 
解：掷硬币次，正面朝上出现了次， 
记事件“正面朝上”， 
所以的频率为． 
而正面朝上的概率为， 
故选B． 

 

2.【答案】C;

【解析】解：根据题意，设与的夹角为， 
若不等式对任意实数恒成立，即恒成立， 
则有恒成立， 
必有， 
故有，即， 
又由，则； 
故选： 
根据题意，设与的夹角为，分析可得恒成立，变形可得恒成立，结合二次函数的性质分析可得，即，结合的范围分析可得答案． 
本题考查向量数量积的计算，涉及二次函数的性质以及应用，属于基础题．
 

3.【答案】A;

【解析】解：，，且，  
，解得，  
，  
 
故选：  
由向量的垂直关系可得值，代入模长公式计算可得．  
该题考查平面向量的垂直关系和模长公式，属基础题．
 

4.【答案】C;

【解析】由正弦定理得，，，又，由余弦定理得，即，又，，求得
 

5.【答案】A;

【解析】

本题的考点是简单随机抽样，属于基础题. 
总体中每个个体被抽到的机会一样，样本的结构和总体的一致，利用此特点求出值．

解：设带有标记的应有 个，则，故 
故选 
 

 

6.【答案】C;

【解析】解：因为是纯虚数， 
则，解得． 
故选C． 
由给出的复数的实部等于虚部不等于列式求解的值． 
此题主要考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．
 

7.【答案】D;

【解析】解：复数在复平面内对应的点为， 
， 
的虚部为 
故选： 
根据已知条件，结合复数的性质，即可求解． 
此题主要考查复数的性质，属于基础题．
 

8.【答案】D;

【解析】解：由，， 
则， 
即， 
设与夹角为， 
则，即，当且仅当，即时取等号， 
即与夹角最大值时为， 
故选： 
由平面向量数量积运算，结合均值不等式的应用求解即可． 
此题主要考查了平面向量数量积运算，重点考查了均值不等式的应用，属基础题．
 

9.【答案】ABC;

【解析】 
此题主要考查了向量的模、向量的夹角、向量的数量积和平面向量的坐标运算。 
由，则四边形为菱形，，，可判断； 
由，则，可判断； 
可判断； 
为锐角，则且与不同向共线，可判断 
解：中，令， 
以，为邻边作平行四边形 
， 
四边形为菱形，，， 
即与的夹角是，故正确． 
中，， 
，故为等腰三角形． 
故正确． 
中， 
 
， 
故取最小值时 
故正确. 
中，， 
， 
又为锐角， 
， 
即， 
 
又当与同向共线时，， 
故当为锐角时，的取值范围是且 
故不正确． 
故选
 

10.【答案】ACD;

【解析】解：因锐角， 
若，即， 
正弦函数在上单调递增， 
，故选项正确； 
若，，而，均为锐角，故，故选项错误； 
由， 
， 
， 
同理， 
故项正确； 
， 
，即， 
， 
，故选项正确． 
故选： 
利用三角形的性质，正弦定理，即可解出． 
此题主要考查了解三角形，正弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】BD;

【解析】 
此题主要考查了简单多面体及其结构特征、空间中直线与直线的位置关系、线面平行和面面垂直的判定. 
先将平面展开图还原成直观图，易知，，，四点共面，依次对各选项进行判定，即可得解． 
 

解：将平面展开图还原成直观图如图所示． 
 

，分别为，的中点， 
又四边形为矩形，，，，，，四点共面． 
直线与直线共面，不是异面直线，故错误；

平面，平面，点不在直线上，平面，

直线与直线为异面直线，故正确；

，平面，平面，平面，故正确；

假设平面平面，即平面平面，

又平面平面，作，垂足为，可得平面， 
但由题中条件无法证得平面，故假设不成立，故错误． 
故选
 

12.【答案】ABD;

【解析】【分析】 
本题考查向量运算，属于中档题通过所给图像，利用平行四边形以及三角形全等，找到向量之间的关系，再逐个判断选项即可. 
【解答】 
解：对于，由题意四边形为平行四边形，从而，故，正确； 
对于，由题意，，从而，正确； 
对于，为平行四边形，从而，又，又，从而，故不正确； 
对于，连接，，由题意，为平行四边形， 
 
从而，故正确.
 

13.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查统计中柱形图，与折线图，属于基础题. 
通过观察图形，可判断出表述正确的选项. 
 
解：由图可知，这五年， 
对于，年出口额最少，正确； 
对于，出口总额比进口总额多，正确； 
对于，出口增速前四年时先增后减，错误； 
对于，年进口增速最快，正确. 
故选
 

14.【答案】0.0044;

【解析】解：由频率分布直方图，得  
 
． 
故答案为：． 
根据频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于，求出的值． 
该题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于，求出解答，是基础题．
 

15.【答案】80π;

【解析】解：如图，设的外接圆的圆心为， 
连接，，，连接． 
由题意可得，且，． 
因为平面平面，且， 
所以平面，且． 
设为三棱锥外接球的球心， 
连接，，，过作，垂足为， 
则外接球的半径满足， 
即，解得， 
从而，故三棱锥外接球的表面积为． 
故答案为：． 
设的外接圆的圆心为，连接，，，连接推导出，平面，设为三棱锥外接球的球心，连接，，，过作，垂足为，外接球半径满足，由此能求出三棱锥外接球的表面积． 
该题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

 

16.【答案】{，π};

【解析】解：因为，为一元二次方程的两个根，可得， 
因为，所以，， 
由正弦定理可得：：，所以， 
由，可得，即， 
因为钝角三角形中，当为钝角时，则，当不是钝角，因为，则为钝角，这时， 
故答案为： 
由题意可得，的值，再由正弦定理可得与，代入已知条件可得的值，再由题意可得的取值集合． 
该题考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

17.【答案】1;

【解析】解：设一条直线和一个平面平行，在直线上任意取一个点，过点做一条与不同的直线和平面平行，  
则直线和直线是两条相交直线，故直线和直线确定一个平面． 
再根据平面内有条相交直线和直线平行于，，故过直线至少有一个平面和平行．  
下面说明过此直线和这个平面平行的平面只有个：  
假设过此直线和这个平面平行的平面还有一个是，显然和都平行于，故有，这与 相矛盾，  
故假设不对，过此直线和这个平面平行的平面只有个，  
故答案为 ． 
在直线上任意取一个点，过点做一条与不同的直线和平面平行，直线和直线确定一个平面再根据平面内有条相交直线和直线平行于，  
可得，故过直线至少有一个平面和平行．再用反证法证明的唯一性．  
这道题主要考查两个平面平行的判定，用反证法证明数学命题，属于中档题．
 

18.【答案】;

【解析】

该题考查了古典概型的计算与应用．

根据题目条件，找出基本事件总数和不满足条件的基本事件数，然后利用古典概型的计算得结论．

解： “在中可重复的依次取出三个数，，”的基本事件总数为，

事件“以，，为边不能构成三角形”分别为：

，，共个，

所以．

故答案为．
 

19.【答案】解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得， 
因为sinA≠0， 
所以． 
由A+B+C=180°，可得， 
故． 
因为， 
故， 
因此B=60°． 
（Ⅱ）由题设及（1）知△ABC的面积． 
由正弦定理得． 
由于△ABC为锐角三角形， 
故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°， 
由（1）知A+C=120°， 
所以30°＜C＜90°， 
故， 
所以1＜a＜4， 
从而． 
因此，△ABC面积的取值范围是．;

【解析】 
Ⅰ由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用结合，，可求，进而可求的值． 
Ⅱ由题设及正弦定理，可求，结合，可求，可求范围，进而根据三角形的面积公式即可求解面积的取值范围． 
这道题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

20.【答案】证明：因为，

          平面，平面，

              所以平面．

              又平面，平面平面，

              所以．同理得，

              所以​;

【解析】

略
 

21.【答案】解：由题意复数是纯虚数， 
可得， 
解得或； 
由题意复数， 
复数对应的点在直线 上， 
可得，解得;

【解析】 
利用复数是纯虚数，复数的实部为，虚部不为，即可求的值； 
利用复数对应的点在直线 上，点的坐标满足方程，即可求的值． 
此题主要考查复数的基本概念、基本运算，考查计算能力．
 

22.【答案】解：Ⅰ在三角形中，， 
由正弦定理得：， 
可得：， 
， 
解得：． 
． 
可得：． 
Ⅱ，， 
由余弦定理：，可得：， 
又的面积为，解得：， 
，解得：， 
的周长．;

【解析】该题考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换的应用，考查转化思想与计算能力，属于中档题． 
Ⅰ，由正弦定理得：，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得，结合范围解得． 
Ⅱ利用余弦定理，三角形的面积公式可求的值，即可计算得解三角形的周长． 

 

23.【答案】解：， 
由正弦定理得：， 
， 
又， 
， 
， 
，， 
又， 
； 
由知，因为平分， 
， 
在中，， 
由余弦定理得，， 
即，即， 
， 
又， 
， 
又， 
 
;

【解析】此题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题． 
由正弦定理得，所以，又，所以，从而求出角； 
由知，因为平方，所以，在中，由余弦定理求出，所以，，而，再利用两角差的正弦公式即可求出结果．