人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）4

人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）4

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）复数的虚部为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）一圆锥侧面积是其底面积的倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为

A.  B.  C.  D.

（5分） 
 

3.九章算术中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为，，，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为
A.  B.  C.  D.

4.（5分）设是直线，、是两个不同的平面，且，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.（5分）在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则过，，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）设实数a∈R且（a-i）•i（其中i是虚数单位）为正实数，则a的值为（  ）

A. -1 B. 0 C. 0或-1 D. 1

7.（5分）已知向量，，，若向量，，则向量与的夹角为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）一台风中心在港口南偏东方向上，距离港口千米处的海面上形成，并以每小时千米的速度向正北方向移动，距台风中心千米以内的范围将受到台风的影响，则港口受到台风影响的时间为

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）在中，若，，，则可能是

A.  B.  C.  D.

10.（5分）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是
 

A. 三棱锥的体积不变 B. 平面
C.  D. 平面平面

11.（5分）如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是

A. 若存在实数，使得，则
B. 对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C. 若向量与共线，则
D. 若向量与垂直，则

12.（5分）已知甲、乙两名同学在高三的次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是

A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B. 若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定

13.（5分）在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的有

A. 直线与互相垂直
B. 直线平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 三棱锥体积为定值

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）在中，已知，，则______ .

15.（5分）在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为_________.

16.（5分）已知一个圆锥的底面半径与高均为，且在这个圆锥中有一个内接圆柱当此圆柱的侧面积最大时，此圆柱的体积等于___________.

17.（5分）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为则其外接球的体积为______．

18.（5分）三棱锥中，面，，，则三棱锥的外接球表面积为  ______ ．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． 
求； 
设为边上一点，且：：，求中边上的高．

20.（12分）如图，中，，是边长为的正方形，平面底面，若，分别是，的中点． 
求证：底面； 
求证：平面平面； 
求几何体的体积．
 

21.（12分）如图，在中，已知点在边上，满足，，， 
 
 
 
求的长； 
求的面积．

22.（12分）某校名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： 
 
求图中的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生数学成绩的平均分； 
若这名学生数学成绩在某些分数段的人数与语文成绩相应分数段的人数之比如表所示，求语文成绩在之外的人数．

23.（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知   
求的值；   
若，，，为垂足，求的长

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：， 
复数的虚部为 
故选： 
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

2.【答案】A;

【解析】解：设母线长为，底面半径为， 
底面周长，底面面积，侧面面积， 
侧面积是底面积的倍， 
，，． 
故选：． 
设出圆锥的母线与底面半径，利用已知条件列出方程求解即可． 
该题考查圆锥的展开图，扇形和圆锥的相关计算，考查空间想象能力以及计算能力．
 

3.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查多面体及其内切球，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 
作出过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为，由等面积法求得半径，则三棱柱的高可求． 
 
解：如图， 
 
是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为， 
由，，可得， 
由等面积法可得：，解得． 
此石材的高为． 
故选：． 

 

4.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查了空间中直线与平面的位置关系 ，充分条件、必要条件的判定，属于基础题． 
根据直线与平面的位置关系的判定可得，时“，”和“”两个没有必然的联系，即可得结论． 
 
解：“、”推不出“”， 
 “、”也推不出“”， 
“”是“”的既不充分又不必要条件． 
故选 

 

5.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查多面体的几何特征，属于基础题型. 
画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置，延长、与相交于，连接交于，延长、与 相交于，连接交于，可得所求为截面五边形的周长. 
 
解：如图 
 
延长、与相交于，连接交于， 
延长、与 相交于，连接交于， 
可得截面五边形， 
是边长为的正方体，且分别是棱，的中点， 
 
， 
截面的周长为 
故选
 

6.【答案】B;

【解析】解：∵（a-i）•i=1+ai 是正实数，则a的值为 0， 
故选B．
 

7.【答案】D;

【解析】解：，；  
，；  
；  
向量与的夹角为． 
故选：． 
根据条件可以求出向量的坐标，从而可以求出的值，这样根据即可求出，从而得出向量与的夹角．  
考查向量坐标的加法、减法，及数乘运算，以及根据向量坐标求向量长度，向量数量积的坐标运算，向量夹角余弦的计算公式．
 

8.【答案】C;

【解析】解：如图，将港口视为点，台风中心视为点，则， 
过作垂直正东线于点，则，， 
台风中心千米的范围都会受到台风影响， 
在线上取点使得千米， 
千米，千米，是直角， 
根据勾股定理得千米， 
影响距离是千米， 
又台风速度为每小时千米， 
港口受到台风影响的时间小时 
故选： 
将港口视为点，台风中心视为点，可知的长度，过作垂直正东线于点，解得，，在上取点，使得千米，根据勾股定理求得，乘以，再除以速度即可得答案． 
此题主要考查解三角形的实际应用，考查考生运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题．

 

9.【答案】AC;

【解析】 
此题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题． 
由已知结合正弦定理可求，从而可求的值． 
 
解：，，， 
由正弦定理可得，，即， 
所以， 
， 
， 
则或， 
故选
 

10.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题． 
对于，的面积是定值，，到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积不变；对于，，，从而平面平面，进而平面；对于，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出和不垂直；对于，分别求出平面平面的法向量和平面的法向量，利用向量法推导出平面和平面不垂直． 
 
解：对于，的面积是定值，， 
平面，平面， 
到平面的距离为定值，三棱锥的体积不变，故正确； 
对于，，，，， 
平面平面， 
平面，平面，故正确； 
对于，以为原点，建立空间直角坐标系， 
 
设正方体的棱长为， 
设，，， 
则，，， 
，， 
则， 
和不垂直，故错误； 
对于，设，，， 
则，，，，， 
，，，， 
设平面平面的法向量， 
则，取，则，，，得， 
设平面的法向量， 
则，取，得， 
不一定为， 
平面和平面不垂直，故错误． 
故选： 

 

11.【答案】AC;

【解析】解：：若，有一个不为，不妨设不等于，则， 
与共线，这与，不共线矛盾，，正确， 
：根据平面向量基本定理可知， 
如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，错误， 
：与共线，， 
，，正确， 
：与垂直，， 
，，错误． 
故选： 
根据向量共线判断，，根据平面向量基本定理判断，根据向量垂直判断 
本题考查平面向量定理的判断，向量共线，垂直的应用，属于中档题．
 

12.【答案】ACD;

【解析】 
此题主要考查折线图和样本的数据特征，属于基础题. 
根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误. 
 
解：由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，正确； 
甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以错误，正确； 
极差为数据样本的最大值与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以正确. 
故选：
 

13.【答案】ABD;

【解析】解： 
 
选项：正方体中，平面，平面， 
则直线与互相垂直，判断正确； 
选项：正方体中，，，，则平面， 
又平面，则， 
同理，，，则平面， 
又平面，则， 
又，则直线平面，判断正确； 
选项：连接，， 
 
正方体中，，为等边三角形， 
则直线与所成角范围是， 
则异面直线与所成角的取值范围是，判断错误； 
选项：正方体中，， 
又平面，平面，则平面， 
又点在线段上运动，则点到平面的距离为定值， 
则三棱锥体积为定值．判断正确． 
故选： 
利用线面垂直的性质定理即可得到直线与互相垂直，从而选项正确；利用线面垂直判定定理即可证明直线平面，从而选项正确；求得异面直线与所成角的取值范围判断选项；求得动点到平面的距离不变，进而得到三棱锥体积为定值，从而选项正确． 
此题主要考查了空间中的垂直关系，三棱锥体积的计算以及异面直线所成角的范围问题，属于中档题．
 

14.【答案】2;

【解析】解：利用正弦定理化简得：， 
， 
故答案为： 
利用正弦定理化简，将的值代入求出的长即可． 
此题主要考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
 

15.【答案】;

【解析】 
此题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，属于基础题. 
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算和二次函数的性质即可求解. 
 
解： 
 

如图示，以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系，则：

不妨设

则

的最小值为，当且仅当时取得.

故答案为：
 

16.【答案】 
;

【解析】 
此题主要考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题． 
设圆柱的底面半径为，根据相似比求出与圆柱高的关系，代入侧面积公式，利用二次函数的性质求出侧面积最大时的值，代入体积公式即可． 
 
解：该几何体的轴截面如图所示， 
 
则，设圆柱的底面半径为， 
则，所以圆柱的侧面积， 
所以当时，取得最大值，此时圆柱的体积为 
故答案为 

 

17.【答案】;

【解析】解：是等腰直角三角形，为截面圆的直径， 
外接球的球心在截面中的射影为的中点， 
当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大， 
棱锥的最大高度为， 
，解得， 
设外接球的半径为，则，， 
在中，， 
由勾股定理得：，解得． 
外接球的体积． 
故答案为：． 
求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积． 
该题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

 

18.【答案】8π;

【解析】解：三棱锥中，面，，， 
可知，三棱锥是长方体的一部分如图： 
长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，外接球的半径为： 
， 
所以三棱锥的外接球的表面积为：． 
故答案为：． 
判断几何体的形状，三棱锥扩展为长方体，通过长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，求出球的半径，然后求解外接球的表面积即可． 
此题主要考查几何体的外接球的表面积的求法，求解外接球的半径是解答该题的关键．

 

19.【答案】解：（1）∵2sinC=5sinA，∴2c=5a，又a=2，解得c=5． 
∴cosB==，又B∈（0，π）． 
∴B=． 
（2）∵BD：AD=3：2，AB=5， 
∴BD=3． 
∴CD2=22+32-2×2×3×=7，解得CD=． 
∴CD边上的高h===．;

【解析】 
又，利用正弦定理可得：，又，解得利用余弦定理即可得出． 
又：：，，可得利用余弦定理可得根据三角形面积计算公式可得：边上的高． 
该题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：证明：连接，如下图所示． 
 
为正方形， 
，且是的中点， 
又是的中点， 
，又平面，平面， 
平面． 
证明：为正方形，， 
又平面平面，平面平面，平面， 
平面，． 
又， 
， 
． 
又，平面． 
取的中点，连，， 
，且，又平面平面， 
平面，．;

【解析】 
连接，证明，即可证明平面． 
证明利用直线与平面垂直的判定定理证明平面． 
取的中点，连，说明平面，然后利用体积个数求解即可． 
该题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．
 

21.【答案】解：因为，，且， 
所以 
又， 
在中，， 
即， 
解得或， 
由于，所以 
在中，， 
又由，得， 
所以， 
则 
因为， 
所以在中，， 
则， 
所以 
则的面积;

【解析】此题主要考查了解三角形中余弦定理，三角形面积公式的应用，涉及到三角函数诱导公式和利用三角函数求值的应用. 
根据条件，利用诱导公式，得到，结合余弦定理，得到长； 
在中，由正弦定理得到，从而得到，利用直角三角形，求出，得到，长，利用三角形面积公式，得到结果.
 

22.【答案】解：依题意得，，解得， 
这名学生的数学平均分为：分； 
语文成绩在的人数为：人，  
语文成绩在的人数为：人，    
语文成绩在的人数为：人，  
语文成绩在的人数为：人，        
所以语文成绩在之外的人数为：人;

【解析】此题主要考查频率分布直方图的应用，考查平均数，考查计算能力，属于基础题． 
利用频率分布直方图，列出方程即可求出然后求解这名学生的数学平均分． 
先求出数学成绩在各个区间的频数，再根据比例求出语文成绩在各个区间的人数即可． 

 

23.【答案】解：， 
 
，， 
即 
，， 
 
则 
，， 
在中，由余弦定理可，得 
，即 
由，得 
 
;

【解析】 
根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果； 
先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求 
此题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题．