数学八年级上册2 一定是直角三角形吗课堂检测

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1.2 一定是直角三角形吗（同步训练） 北师大版八年级上册
一．选择题
1 ．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．6，7，8 C．，， D．，2，
2 ．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（　　）

A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．无法确定
3 ．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．13，14，15
4 ．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5 ．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．60°
6 ．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
7 ．如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8 ．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝25°，∠B＝75°
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
9 ．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（　　）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠C＝∠A+∠B
10 ．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形

二．填空题
11 ．如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝　 　．

12 ．某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是　 　米2．

13 ．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是　 　 cm．
14 ．如图所示，点D为△ABC的边BC上一点，AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则S△ABC＝　 　．

15 ．如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝　 　．


三．解答题
16 ．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，，，△ABC是直角三角形吗？
小亮的解答如下：
解：△ABC不是直角三角形．理由如下：
因为，
所以a2≠b2+c2，
所以△ABC不是直角三角形．
请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
17 ．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，CD＝8，AD＝6．
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积．

18 ．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

19 ．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，连接BD，BC＝10．CD＝6，BD＝8．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．

20 ．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．


参考答案与试题解析
一．选择题
1 ．【解答】解：A．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵62+72＝36+49＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵（）2+（）2＝+＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵（）2+22＝3+4＝7，（）2＝5，
∴（）2+22≠（）2，
∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2 ．【解答】解：连接CD，BC，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝12+32＝1+9＝10，AC2＝12+32＝1+9＝10，AD2＝12+22＝1+4＝5，CD2＝12+22＝1+4＝5，
所以BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，
即△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，
所以∠BAC＝∠DAC＝45°，
故选：C．
3 ．【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，32＝9，
∴12+22≠32，
∴以1，2，3为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以5，12，13为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵132+142＝169+196＝365，152＝225，
∴132+142≠152，
∴以13，14，15为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
4 ．【解答】解：∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，
∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，
∵a：b：c＝：：，
∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，
∴a2≠b2+c2，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形
故选：C．
5 ．【解答】解：连接AB，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AM2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，BM2＝12+32＝10，
∴AM＝AB，AM2+AB2＝BM2，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
6 ．【解答】解：连接AC，
则AC＝BC＝＝，
AB＝＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故选：C．

7 ．【解答】解：如图，分情况讨论：

①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个．
故共有3个点，
故选：C．
8 ．【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵∠A＝25°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a＝，b＝，c＝，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵a＝6，b＝10，c＝12，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
9 ．【解答】解：∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝90°＝∠A，
故选：A．
10 ．【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．

二．填空题
11 ．【解答】解：如图，
由勾股定理得，
EB2＝12+22＝5，
EC2＝12+22＝5，
BC2＝12+32＝10，
∴EB2+EC2＝BC2，
∴△EBC是直角三角形，
∵EB＝EC，
∴△EBC是等腰直角三角形，
由SAS可证△BME≌△ANC，
∴∠α＝∠EBA，
∴∠α+∠β＝∠EBA+∠β＝45°．
故答案为：45°．

12 ．【解答】解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3米，BC＝4米，∴AC＝5米，
∵CD＝12米，DA＝13米，
∴△ACD为直角三角形，
∴草坪的面积等于＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36米2．
故答案为36．

13 ．【解答】解：如图：设AB＝25是最长边，AC＝15，BC＝20，过C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∵S△ACB＝AC×BC＝AB×CD，
∴AC×BC＝AB×CD
15×20＝25CD，
∴CD＝12（cm）；
故答案为：12．

14 ．【解答】解：在△ABD中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵AC＝15，
∴CD＝＝＝9，
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14，
∴S△ABC＝BC•AD
＝×14×12
＝84，
故答案为：84．
15 ．【解答】解：∵直角△ABC的两直角边分别为6，8，
∴AB＝＝10，
∵以BC为直径的半圆的面积是 π（）2＝8π，
以AC为直径的半圆的面积是 π（3）2＝，
以AB为直径的面积是 ×π（5）2＝，
△ABC的面积是 AC•BC＝24，
∴阴影部分的面积是8π++24﹣＝24cm2．
故答案为24．

三．解答题
16 ．【解答】解：小亮的解答不正确．
正确的解答过程如下：
△ABC是直角三角形，理由如下：
因为，，
所以a2+c2＝b2，
所以△ABC是直角三角形．
17 ．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AC＝10，CD＝8，AD＝6
∴AD2+CD2＝AC2，即62+82＝102，
∴△ACD是直角三角形，
∴CD⊥AB，
∵在Rt△BCD中，CD＝8，BC＝17，
∴BD＝＝15；

（2）由（1）可知BD＝15，
∴AD+BD＝6+15＝21，
∴S△ABC＝AB•CD＝（AD+BD）•AD＝84，
答：△ABC的面积是84．
18 ．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△BCD和△ACD都是直角三角形，
∴CD＝＝12，AD＝＝16；
（2）△ABC为直角三角形，
理由：∵AD＝16，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∵AC2+BC2＝202+152＝625＝252＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
19 ．【解答】解：（1）△ABD是直角三角形，
理由：在△CBD中，BC＝10．CD＝6，BD＝8，
∵CD2+BD2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝90°，
∴△ABD是直角三角形；
（2）设AD＝x，则AC＝x+6，
∵AB＝AC，
∴AB＝x+6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴82+x2＝（x+6）2，
∴x＝，
∴AB＝AC＝x+6＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝，
∴△ABC的周长为．
20 ．【解答】解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，
∵32+42＝52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；
故答案为：m2+n2，2mn，m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，
∴a2＝b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．