辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度（下）
沈阳市五校协作体期中考试
高二年级数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-12题 60分）
第二部分：非选择题型（13-22题 90分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题
1. 等差数列的前n项和为．若（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列定义，先求出，再求出，最后得到.
【详解】设等差数列的公差为,则，,
故选：C.
2. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为，故选D．
3. 现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（）匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）（ ）
A. 7750里 B. 7752里
C. 7754里 D. 7756里
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的前项和公式计算.
【详解】，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，
故这17匹马的日行路程之和为
（里）．
故选：B.
4. 口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　）
A. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C. E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D. E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【答案】A
【解析】
【分析】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解．
【详解】当时，ξ的可能取值为1，2，3，
，，，
∴，；
当时，η可取1，2，3，4，
，，
，，
∴，
；
∴，．
故选：A．
【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
5. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
6. 32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
【答案】A
【解析】
【分析】由二项分布及其期望计算即可.
【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；
设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．
X所有可能取值为0，1，2，，n，则，；
Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，，
所以获胜的业余棋手总人数的期望，解得．
故选：A．
7. 已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数结合题意可知，在上单调递减，又，结合单调性定义可得不等式的解集．
【详解】由可得.
而，∴，∴在上单调递减，
又，则，
所以，则，
故不等式的解集为．
故选：D．
8. 若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解.
【详解】令，则，
当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，
所以，解得，
此时在上递增，则恒成立，
当时，减函数，且函数在区间内单调递增，
所以，无解，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
二、多选题
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点
C. 相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D. 已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B不互斥
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项：结合百分位数定义即可求解；
对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；
对于C选项：根据相关系数的性质即可判断；
对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.
【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；
对于B选项：线性回归方程不一定经过点，，，中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即，所以B选项错误；
对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于，所以C选项正确；
对于D选项：因为，则，
则事件与相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；
故选：ACD.
10. 设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 是数列中的最大值
D. 若，则n最大为4038．
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，判断D即可.
【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列，
∴，，∴，
因为，∴，故A正确；
对B，∵，∴，故B正确；
对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列，
因为，，所以是数列中的最大项，故C错误；
对D，，因为，，故，，故，即，故n最大为4038，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）．
A. 有两个极值点 B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A选项，对求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造，判断的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接求出切点坐标即可判断结果；
【详解】对于A选项，由，定义域为，可得，
令，可得，
因为，得或，，得，
所以，在单调递减，在，单调递增，
所以，是有极大值点，是有极小值点，故A选项正确；
对于B选项，由A可知极大值为，
极小值，，
所以，根据的单调性和零点存在定理可知，在，，各存在1个零点，即函数有3个零点，故B错误；
对于C选项，
可设，得，则为奇函数，所以图象关于对称，
将向上平移1个单位可得，故函数关于对称，故C选项正确；
对于D选项，由A知，令，解得，则，，
由于切点，均不满足，
故D选项错误；
故选：BD
12. 如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（ ）

A. 数列{}是首项为3，公比为4的等比数列
B. 数列{}是首项为3，公比为的等比数列
C. 数列是首项为，公比为的等比数列
D. 当n无限增大时，趋近于定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合图形规律得，即可判断A,根据第个图形的边长为 ，即可判断B，根据，利用累加法及等比数列的前项和公式求出．
【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且 故A正确，
第个图形的边长为 ，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确，
因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是
，
同理，对是在每条边上再生出一个小正三角形，
于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积，
即，

于是可以利用累加的方法得到




将上面式子累加得

当时， ，故C错误，D正确，
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题
13. 记为数列的前项和，若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】对和分类讨论，结合，，计算得出数列是等比数列，并写出通项公式，得到，即可得出.
【详解】当时，
当时

所以数列是首项为，公比为2的等比数列
则

即
故
【点睛】形如，常用构造等比数列：
对变形得（其中），则是公比为的等比数列，利用它可求出．
14. 随机变量的分布列如下表所示，则方差的取值范围是_________.

0
1
2





【答案】
【解析】
【分析】结合概率之和为1求出与之间的关系，进而用表示出期望公式和方差公式，最后结合二次函数性质即可求解.
【详解】由题意可知，，则，，
故随机变量的数学期望，
从而，
因为，
所以由二次函数性质可知，，
故方差的取值范围是.
15. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数ξ，使得，其中ξ称为拉格朗日中值.则在区间上的拉格朗日中值ξ=___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可.
【详解】，则由拉格朗日中值的定义可知，函数在区间上的拉格朗日中值满足，
所以，
所以，则
故答案为：
16. 在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得.
【详解】至少射击4次合格通过的概率为，
所以，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时得最大值，故．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：用表示至少射击4次合格通过的概率，并利用导数研究在上的最值即可.
四、解答题
17. 已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可解；
（2）利用错位相减法求数列前项和
【小问1详解】
由题可知.
因为，
所以，得.
设等比数列的公比为，则，
所以，
，即的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得，
则，
，
两式相减得


故.
18. 设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.
（1）求的单调区间；
（2）若在闭区间上的最大值为10，求的值.
【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是
（2）4
【解析】
【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；
（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.
【小问1详解】
，由已知得，
得，解得．
于是，
由，得或，由，得，
可知是函数的极大值点，符合题意，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.
【小问2详解】
由（1）知，
因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，
又，
所以的最大值为，解得.
19. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
天数
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人数
4
15
33
31
11
6

（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：
性别
活动天数
合计
[0，15]
（15，30]
男生



女生



合计



并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：；；.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）476人
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；
（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.
【小问1详解】
由频数分布表知
，则，，
，
，
参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.
【小问2详解】
由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：
列联表如下：
性别
活动天数
合计


男生
20
30
50
女生
32
18
50
合计
52
48
100
零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关

依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；
而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.
20. 已知数列和满足，数列的前项和分别记作，且.
（1）求和；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定，再根据解得答案.
（2）计算，得到，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.
【小问1详解】
，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以其前项和，又因为，
所以，，
【小问2详解】
当时，.
当时，也适合通项公式，
故.
所以，
所以
.
21. 已知函数.
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，
（2）将问题等价转化成在有唯一实数解.构造函数，和利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.
【小问1详解】
当时，，
且，
函数在点处的切线方程，
即.
【小问2详解】
在其定义域上有唯一零点，
方程，
即在有唯一实数解.
设，则.
令，即
的两个根分别为
（舍去），.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，取最小值，
要使在有唯一零点，则须即

设函数当时是增函数，至多有一解.
方程的解为，即，解得，
实数的值为.
【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.
22. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
（1）求的分布列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的期望.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出.
【小问1详解】
（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：

0
1
2




【小问2详解】由全概率公式可知：




，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
【小问3详解】
由全概率公式可得：



,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.