广东省普宁市普师高级中学2023届高三二模数学试题（含答案）

广东省普宁市普师高级中学2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点一定在（    ）

A．实轴上 B．虚轴上

C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上

3．设数列的前n项和为，，为常数列，　　

A． B． C． D．

4．设是单位向量，，，，则四边形是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

5．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（   ）

A．36 B．40 C．42 D．48

6．已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知定义在上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小值是2 B．的最小值是1

C．的最小值是4 D．的最大值是

10．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上增函数

C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数

D．，若恒成立，则的最小值为.

11．下列命题中，正确的命题是（    ）

A．数据1，3，4，5，6，8，10的第60百分位数为5

B．若随机变量，，则

C．若随机变量，则取最大值时或4

D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.5

12．如图，已知正方体棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点，则（    ）

A．满足平面的点P的轨迹长度为

B．满足的点P的轨迹长度为

C．存在点P满足

D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为

三、填空题

13．已知，则f(8)＝________．

14．的展开式中含项的系数为___________.

15．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________.

16．已知函数，，设，且函数的零点均在区间内，则的最小值为________．

四、解答题

17．已知：为的前项和，且满足.

（1）求证：成等比数列；

（2）求.

18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．

(1)求角的大小；

(2)若边，求的取值范围．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA⊥平面ABCD，PA＝4．

(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；

(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

20．2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(单位：)与尺寸x(单位： )之间近似满足关系式(b､c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；

②已知优等品的收益z(单位：千元)与x，y的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？(精确到0.1)

附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.

21．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作，垂足为M，求面积的最大值．

22．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若，，是的两个零点.证明：

（i）；

（ii）.

参考答案：

1．A

2．D

3．B

4．B

5．A

6．C

7．A

8．D

9．AD

10．ACD

11．BCD

12．AD

13．7

14．

15．2

16．9

17．（1）证明见解析；（2）

18．(1)

(2)

19．(1)

(2)

20．（1）分布列答案见解析，数学期望为；（2）① ；② .

21．(1)

(2)2

22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.