2023年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年国务院政府工作报告中提出，过去一年经济保持恢复发展，国内生产总值达到万亿元，用科学记数法可以表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中不等于的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  关于的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 根的情况与的取值有关

8.  小高有三件运动上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条运动裤，分别是黑色和红色，一天他准备去运动场锻炼，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则弧的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在边长为的正方形中，点从点出发，沿匀速运动到点，若点是的中点，则的面积与点运动的路程之间形成的函数关系图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：______．

12.  二元一次方程组的解为______ ．

13.  已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为______．

14.  在甲、乙两位射击运动员的次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是______ 填“甲”、“乙”中的一个．

15.  如图，等边的面积为，顺次连接各边的中点得，顺次连接各边的中点得，，如此下去，则的周长为______

16.  为等腰直角三角形，，，动点在边上运动以为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形如图为中点，为三等分点，，连接，则线段的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，菱形中，过点分别作边，上的高，，求证：．

19.  本小题分
已知．
化简；
若点在反比例函数的图象上，求的值．

20.  本小题分
某校九年级体育期末检测自选项目有篮球、跳绳、立定跳远，每个学生任选一项为自选考试项目．
求学生甲与乙至少有一个人自选篮球的概率；
除自选项目以外，长跑为必考项目，校内体育活动表现是必查项目，王明与张强的期末体育各项成绩百分制的统计图表如图所示：

补全条形统计图；
如果期末体育考试按自选项目占，长跑占，校内体育活动表现占计算成绩百分制，分别计算学生甲与乙的期末体育成绩．

21.  本小题分
为了减少工人在搬运化工原料受到危害，某物流公司引进机器人，一个机器人比一个工人每小时多搬运，机器人搬运所用的时间与个工人搬运所用的时间相等．
求一个机器人与一个工人每小时分别搬运多少化工原料？
现在需要搬运化工原料，有个机器人参与搬运，问至少还需要安排多少个工人才能在个小时内搬运完毕？

22.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，▱的边在轴上，反比例函数的图象经过点和边的中点．
求的值和点的坐标；
若一次函数经过，，根据图象回答：当为何值时，？可直接写出答案．

23.  本小题分
如图，是的直径，点在上．
尺规作图：作弦，使得点不与重合，连接，延长、交于点；保留作图痕迹，不写作法；
在条件下，
求证：；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，为的直径，弦于点，为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接、、、为常数，且．
求证：；
求的值用含的式子表示；
设，．
求与的数量关系；
当，且时，求的值．

25.  本小题分
已知抛物线与轴交于和两点点在点右侧，且，与轴交于，过点的直线：与该抛物线交于另一点，与线段交于点过点的直线：与轴正半轴交于点．
求抛物线的解析式；
若，求点的坐标；
设，是否存在实数，使有最小值？如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
由数轴上在的右侧可得与的大小关系．
本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿元亿元元元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据积的乘方运算、合并同类项法则、完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、合并同类项法则、完全平方公式以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解当，在每一象限内随的增大而增大．
；
解得．
故选：．
反比例函数都随的增大而增大，则，从而可以确定的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，当时，都随的增大而增大．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据锐角三角函数的定义解答即可．本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【解答】
解：在中，是斜边上的高，
，
又，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，
关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的结果，恰好恰好都是红色的有种情况，
随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为．
故选：．
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是红色的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是直径，
，
，
．
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
，
弧的度数为
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算求得的度数，即可求得弧的度数．
本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质，难度适中．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由已知知，正方形的边长为，，
当时，点在上，
此时；
当时，点在上，
此时；
当时，点在上，
此时；
当时，点在上，
此时



．
故选：．
分，，，四种情况讨论，由三角形的面积公式求出与的函数解析式．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题关键是分类讨论求出函数解析式．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用提取公因式法分解因式即可．
此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，得：，即，
将代入，得：，
解得：，
所以方程组的解为．
故答案为．
直接利用加减消元法求解可得问题的答案．
本题考查的是解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组化为一元方程是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线长为，
则圆锥的底面周长为，
则该圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：．
 

14.【答案】乙 

【解析】解：两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，
，
考核成绩更为稳定的运动员是乙；
故答案为：乙．
根据方差较小的更稳定选择即可．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
的面积为，
，
解得：，
的周长为，
顺次连接各边的中点得，
的周长，
同理：的周长的周长，
的周长的周长，
的周长的周长，
故答案为：．
根据等边三角形的面积求出周长，根据三角形的中位线得到后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半，根据此规律进行解答．
本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

、为等腰直角三角形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
因为点在上运动，
所以点在直线上运动，
当时
为三等分点，，
此时，
为中点，
为中点，
，
故答案为：．
连接，证明≌，可得，，
证明，得出点始终在过点垂直于的射线上，当时，最小，根据三角形中位线定理可得，结合已知条件即可得线段的最小值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是判断出≌．
 

17.【答案】解：
由得；
由得；
则不等式组的解集为   ． 

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数较大的数，那么解集为介于两数之间．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，分别边，上的高，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由菱形的性质得到，，根据全等三角形的定理证得≌，由全等三角形的性质可得．
本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的性质和判定，由菱形的性质结合三角形全等的判定定理定理证得≌是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：

；
点在反比例函数的图象上，
，
． 

【解析】原式利用完全平方公式与平方差公式，以及单项式乘以多项式法则的计算，合并即可得到结果；
根据图象上点的坐标特征对称，代入中的化简的式子即可．
此题考查了整式的混合运算，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：把篮球、跳绳、立定跳远分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中学生甲与乙至少有一个人自选篮球的结果有种，
学生甲与乙至少有一个人自选篮球的概率为；
补全条形统计图如下：

甲的期末体育成绩为：分，
乙的期末体育成绩为：分． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中学生甲与乙至少有一个人自选篮球的结果有种，再由概率公式求解即可；
由统计表中的结果补全条形统计图即可；
由加权平均数的定义列式计算即可．
本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和加权平均数．树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设一个工人每小时搬运化工原料，则一个机器人每小时搬运化工原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：一个机器人每小时搬运化工原料，一个工人每小时搬运化工原料；
设需要安排个工人搬运，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少还需要安排个工人才能在个小时内搬运完毕． 

【解析】设一个工人每小时搬运化工原料，则一个机器人每小时搬运化工原料，利用工作时间工作总量工作效率，结合机器人搬运所用的时间与个工人搬运所用的时间相等，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可求出一个工人每小时搬运化工原料的重量，再将其代入中，即可求出一个机器人每小时搬运化工原料的重量；
设需要安排个工人搬运，根据个小时至少搬运化工原料，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
点是的中点，
点的纵坐标为，
点在的图象上，
；
由图象可知，当或时，． 

【解析】利用待定系数法求出，再利用点是的中点，推出点的纵坐标为，进而即可求得点的坐标；
根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，为所作；

证明：，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
解：在中，，
设，，
，
即，
解得，
，
，
，
平分，
平分，
即，
，，
∽，
：：，即：：，
解得． 

【解析】先以点为圆心，为半径画弧交于点，然后延长和，它们相交于点；
先由得到，再根据圆周角定理得到，则根据等角的余角相等得到，接着根据圆内接四边形的性质得到，所以，从而得到结论；
在中利用正切的定义得到，则设，，所以，解得，然后证明∽，利用相似比可求出的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

直径弦，
，
，
是的直径，
，
，
，
即；
解：由垂径定理可得，垂直平分，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
在中，，则，
，
；
解：如图，设、交于点，连接，，，过点作于点，过点作于点，则，

垂直平分，
，，
又，
≌ ，
，
，
，
由 知∽，
，
，
，
，
，
；
，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
由结论可得，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
即，
，
，
∽，
，
即，
在中，，
在中，，
，
． 

【解析】達接，由垂径定理可得，则，由圆周角定理及邻补角定义可得，再计算角度差即可证；
由垂径定理可得，于是，由∽，可得，解可得，据此即可得解；
设、交于点，连接，，，过点作于点，过点作于点，则，
由垂直平分，可得，，则≌，根据全等三角形的性质得出，由∽，可得，由可得，再由，便可解答；
由可得，则，由是等腰直角三角形可得，由，可得，由可得∽，于是，勾股定理求得，即可解笞．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，正确作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：因为抛物线与轴交于和两点点在点右侧，且，
，
，解得，
抛物线的解析式为；
，令，得，
．
过点的直线：与轴正半轴交于点．
，解得，
，
连接交于点，则．
，
，
，
，
，
过作于，则，

在中，，
，
，
在中，，
，
设，
，
解得或舍去，
点的坐标为；
分别过，点作轴于，轴于，则，

因为点，，
设直线的解析式为，
代入，，
得，
解得，
直线的解析式为，
过点的直线：与该抛物线交于另一点，
直线的解析式为：，
联立，
解得，
，
联立，
得，
，，
当时，，．
，
所以，
即，
要使取得最小值，只要取得最大值．
此时当时，取得最大值，
存在实数，使有最小值，． 

【解析】由且，得到，利用待定系数法代入和，可求得抛物线的解析式；
令，求得抛物线与轴的交点坐标，由得直线：，点，并连接交于点，证明，过作于，得到，在中，解得，即，设，根据正切的定义列式，解此二元一次方程即可解题；
分别过，点作轴于，轴于，可得，由待定系数法解得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，解得，则，联立，解得，再由，得到比例线段，即，最后利用二次函数的性质解题即可．
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、正切、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，掌握相关知识是解题关键．