2023年广东省广州市增城区香江中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省广州市增城区香江中学中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州市增城区香江中学中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  在，，，各数中，最大的数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下面四个几何体中，从正面看是三角形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  激昂奋进新时代，推进中国式现代化，年全国两会公布了年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为，，，，单位：万亿，这五个数据的中位数是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如图，在中，直径垂直于弦，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D.
 6.  对于一次函数，下列说法错误的是(    )A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交点为
C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点7.  如图，表示一条跳合滑雪赛道，在点处测得起点的仰角为，底端点与顶端点的距离为米，则赛道的长度为米．(    )A.
B.
C.
D. 8.  关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限9.  关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知二次函数的图象与轴交于点，，且，与轴的正半轴的交点在的下方，下列结论正确的是(    )



．A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  计算：          ．12.  若分式值相等，则的值为______．13.  物理学中，在压力不变的情况下，某物体承受的压强与它的受力面积成反比例函数关系，则表中压强与的大小关系为：           填“”，“”或“” 14.  已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______ ．15.  如图，中，，且：：，则： ______ ．
 16.  如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  解方程组：．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
如图，矩形中，平分，平分求证：≌．
19.  本小题分
已知．
化简；
当满足不等式组的解，且为整数解时，求的值．20.  本小题分
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整．
如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人．
此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．21.  本小题分
“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？22.  本小题分
如图，一次函数图象与轴，轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点、，已知点，点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
结合该图象直接写出满足不等式的解集．
23.  本小题分
如图，是的外接圆，直径，，平分交于点．
尺规作图：在的延长线上取一点，使得，连接；保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中：
证明：是的切线；
求的值．
 
 
 24.  本小题分
如图，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点与点、不重合，平分交边于点，，垂足为点．

当点与圆心重合时，如图所示，则        ；
若，试探究与有何面积关系，并证明；
当与相似时，求的值．25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点为直线下方抛物线上的一动点，于点，轴交于点求线段的最大值和此时点的坐标；
点为轴上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，，
因为，
所以，
所以最大的数是．
故选：．
这四个数都是负数，负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了负数的比较大小，绝对值大的反而小，这是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】【分析】
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【解答】
解：该圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
B.该圆锥的主视图为三角形，符合题意；
C.球的主视图是圆，不符合题意；
D.正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：．  3.【答案】 【解析】【分析】
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】
解：将这组数据从小到大排列为，，，，，
这组数据的中位数为，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
 5.【答案】 【解析】解：如图，连接，
，
，
直径弦，
，
，
故选：．
连接，由圆周角定理可求得，由垂径定理可知，可知，可求得答案．
本题主要考查圆周角定理及垂径定理，掌握同弧所对的圆周角等于心角的一半是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】【分析】
根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解．
此题考查了一次函数的图象和性质与一次函数图象上点的坐标特征，能正确根据判断增减性是解题的关键．
【解答】
解：中，，，
A.，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
B.当时，，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意；
C.，，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D.当时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意；
故选：．  7.【答案】 【解析】解：由题意可得，
，米，
，
，
米，
故选：．
根据题意可以得到，米，然后根据锐角三角函数，即可表示出的长
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 8.【答案】 【解析】【分析】
求出抛物线的对称轴，可知顶点在轴的左侧，根据“关于的一元二次方程没有实数根”，可知开口向上的抛物线与轴没有交点，据此即可判断抛物线的顶点在第二象限．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确确定对称轴和开口方向是解题的关键．
【解答】
解：抛物线的对称轴是：，
的顶点在轴的左侧，
又关于的一元二次方程没有实数根，
开口向上的抛物线与轴没有交点，
抛物线的顶点一定在第二象限．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：不等式，
解得：，
不等式的负整数解只有两个负整数解，

故选：．
表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有，，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式的整数解，弄清题意是解本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：二次函数的图象经过点，
，正确；
二次函数的图象与轴交于点，，且，
抛物线的对称轴．
抛物线图象与轴的两交点分别在原点两侧，与轴的交点在轴正半轴，
抛物线开口向下，即，
，
，即正确；
令，
则方程的两个解为：，，
，即，
又，
，
，即正确；
抛物线图象与轴的正半轴的交点在的下方
，
当时，，即：，
，
，即D正确．
故选D．
由函数图象过点，将点代入到抛物线解析式即可得知正确；结合函数图象与轴的交点横坐标可以得知抛物线对称轴，再由抛物线与轴的交点在轴正半轴得知，解不等式即可得知正确；令，由根与系数的关系即可得出关于的不等式，解不等式得出与之间的关系，将其代入即可得知正确；由抛物线与轴交点坐标的范围可找出的范围，结合抛物线的图象过点，将换成即可得知正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系以及解不等式，解题的关键是依据二次函数图象与系数的关系逐条分析条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练利用二次函数图象与系数的关系解决问题是关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查实数的运算，利用实数的运算法则进行计算即可．
【解答】
解：原式．  12.【答案】 【解析】解：由题知：，
去分母得：，
解得：．
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
根据分式值相等建立方程，去分母，解整式方程，最后检验即可．
本题考查解分式方程，解题关键是转化思想把分式方程转化为整式方程，注意分式方程需要检验．
 13.【答案】 【解析】【分析】
根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例函数的性质即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【解答】
解：压强与它的受力面积成反比例函数关系，设，
依题意，
反比例函数解析式为：，，
随的增大而减小，
，
，
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，解得．
故答案为：．
根据方程有两个相等的实数根可得出，列出关于的方程，求出的值即可．
本题考查的是根的判别式，一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
 15.【答案】： 【解析】解：，且：：，
：：，
∽，
，
，
故答案为：．
证明∽，进而证明，即可解决问题．
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，并能灵活运用、解题．
 16.【答案】 【解析】解：，，
，
平分，
作点关于的对称点，，如图，
则为中点，所以，
连交于点，
，
．
故答案为．
首先找关于的对称点，然后根据轴对称的性质进行计算．
此题主要考查有关轴对称--最短路线的问题，作关于的对称点是关键．
 17.【答案】解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
方程组的解为． 【解析】利用加减消元法消掉，解出，把代入第一个方程即可解出．
本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是选择合适的方法消元．
 18.【答案】证明：矩形中，，，，
，
平分，
，
平分，
，
，
在和中，
，
≌． 【解析】根据角平分线的定义和平行线的判定和性质得，再根据““证明即可．
本题主要考查了矩形的性质及全等三角形的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 19.【答案】解：



；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集：，
取整数，或，
，
，
当时，，
的值为． 【解析】先把分子和分母是多项式的进行因式分解，然后再进行计算即可；
先解不等式组，求出它的整数解，然后再把的值代入的结论进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 20.【答案】   【解析】解：抽取的学生人数为：人，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：，
“良好”等级的人数为人，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如下：

人，
参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人；
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，
选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有种，然后利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 21.【答案】解：设型号自拍杆的进价是元，则型号自拍杆的进价是元，
根据题意得，，
解得，
所以．
答：型号自拍杆的进价是元，型号自拍杆的进价是元；
设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，
根据题意得，，
解得，
答：最多购进型号自拍杆件． 【解析】设型号自拍杆的进价是元，型号自拍杆的进价是元，根据购进件型号和件型号自拍杆共需元，列方程求解即可；
设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据全部售卖完后的总利润不低于元列方程，即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
 22.【答案】解：将代入一次函数，可得，解得，即，
将代入可得：，即，，即；
联立一次函数和反比例函数可得：，
即，
解得，，即，
根据函数图象可得：不等式的解集为或． 【解析】将代入一次函数，求得一次函数解析式和点的坐标，即可求解；
求得点的坐标，结合函数图象，即可求得不等式的解集．
此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的有关性质．
 23.【答案】如图，以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点，
则点即为所求．
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
解：如图，过点作，垂足为，
，平分，
，
，
，
．
，，
∽，
，
，
解得，
，
，
，
∽，
，
． 【解析】以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点即可．
先证，再由是半径即可得结论．先证∽，得出的长，再证∽即可．
本题主要考查了作一条线段等于已知线段、圆的切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，把所学知识融会贯通，灵活运用是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：为的直径，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，平分，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：；
．
证明：，
，
又，
∽，
，
平分，
，
，
，
过点作于，

，
平分，，
，
，
≌，
，
，
，，
．
，
，
与相似，
∽或∽，
当∽时，
则，
，
，
，
，
平分，
，
；
当∽时，
则，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
设，，由勾股定理得出，则，可求出，证出，根据可求出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，过点作于，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，根据三角形面积公式可得出答案；
分两种情况：当∽时，可证得，再根据平分，可得，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；当∽时，则，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函数定义即可求得答案．
本题是圆的综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
 25.【答案】解：将，代入函数中，
得，
，
解析式为，
故抛物线解析式为；
当时，，
，
，
，
，
，
，
，则当最大时，也最大，
设的解析式为，
，
解得，
解析式为，
设，，
，
当时，最大，则，
，
故最大值为，点坐标为；
存在，点的坐标为，，，． 【解析】将，点坐标代入抛物线解析式求出系数，的值，即可得解析式，
数形结合思想找到和的数量关系，求最大值转化为求最大值问题，利用配方法求最值，
分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而求出点坐标．
本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质以及一线三直角模型的应用，最后一问综合应用对于一般学生比较有难度，比较难答全．
【解答】
解：见答案；
见答案；
存在，点的坐标为，，，．
是以为斜边的等腰直角三角形，
设，
如图，过点作轴的垂线，再分别过点和点作直线的垂线，分别交于点和点，

，
，
，
，
，，
≌，
，，
，，
解得，舍去，
，，
如图，过点作轴的垂线，再分别过点和点作直线的垂线，分别交于点和点，

同理：≌，
，，
，
解得，舍去，
，，
如图，点和点重合，点和点重合，此时，

如图，过点作轴的垂线，再分别过点和点作直线的垂线，分别交于点和点，

同理：≌，
，，
，
解得，舍去，
，，
综上所述，点的坐标为，，，．