2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖北省武汉市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “一箭双雕”这个事件是(    )

A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 确定性事件

3.  现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性下列汉字是轴对称图形的是(    )

A. 吉 B. 祥 C. 如 D. 意

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的个红球和个白球，从中摸出个球不放回，再摸出个球，两次都摸出白球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数单位：与铁块被提起的高度单位：之间的函数关系的大致图象是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  如图，在平行四边形中，为的直径，与相切于点，与相交于点，已知，，则图中阴影部分面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简的结果是          ．

12.  某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是______．

13.  计算的结果是______ ．

14.  一艘在南北航线上的测量船，在点处测得海岛在点的南偏东方向，继续向南航行海里到达点时，测得海岛在点的北偏东方向，那么海岛离此航线的最近距离是______ 结果保留整数参考数据：，

15.  二次函数为常数中的与的部分对应值如表：

；
当时，的值随值的增大而减小；
是方程的一个根；
当时，．
以上结论正确的是______ 填序号．

16.  如图，菱形的边，，是的中点，是边上一点，将四边形沿直线折叠，的对应点为，当的长度最小时，的长是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答．
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

原不等式组的解集是______ ．

18.  本小题分
如图，是的角平分线，点在上，且．
求证：；
若，，求的大小．

19.  本小题分
某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为，，，四个小组，并制作了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
平均每天课外阅读时间频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题．
直接写出，，的值；
该校现有名学生，请估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于小时．

20.  本小题分
如图，是的内心，的延长线与的外接圆相交于点．
求证：
；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点，，的圆交于点，点在上，其中，是格点仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
在的下方画出正方形；
画出圆心；
画出的中点；
画出线段绕点逆时针旋转后的对应线段．

22.  本小题分
某商场经营某种商品，该商品的进价为元件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量单位：件与售价单位：元件为正整数之间满足一次函数的关系，表记录的是某三周的有关数据．

求关于的函数关系式不求自变量的取值范围；
若某周该商品的销售量不少于件，求这周该商场销售这种商品获得的最大利润；
规定这种商品的售价不超过进价的倍，若商品的进价每件提高元时，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，正方形的顶点在矩形的边上运动．

如图，点在上，求的大小；
如图，若是的中点，求证：；
如图，若，，设，，直接写出与的函数解析式不需要写自变量的取值范围．

24.  本小题分
如图，抛物线经过和两点，直线：交抛物线于，两点．

直接写出抛物线的解析式；
如图，若，，的面积是，求的值；
如图，若是直角，求原点到距离的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：“一箭双雕”这个事件是随机事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，选项中的方块字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的方块字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接根据积的乘方计算即可得出结果．
本题考查了积的乘方，掌握积的乘方的运算法则：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有种，
两次都摸出白球的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，
当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，
当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，
故选：．
根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
图象在一、三象限，在每一支上，随的增大而减小，
当点、在图象的同一支上，
，
或，
解得或，
当点、在图象的两支上，
，
，
无解，
故选：．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点、在图象的同一支上时，当点、在图象的两支上时．
此题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接、，如图，
与相切于点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
，
图中阴影部分面积

．
故选：．
过点作于点，连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，则，再判断四边形为矩形得到，，接着计算出，所以，通过证明为等边三角形得到，所以，然后根据梯形的面积公式、扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积进行计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和扇形面积的计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，、是关于的方程的两个实数根，
，，






，
故选：．
由，，可得，、是关于的方程的两个实数根，故，，把所求式子变形再整体代入可算得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而这两个数据分别为、，
所以这组数据的中位数是，
故答案为：．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
先把异分母分式通分成同分母分式，再利用同分母分式加减法进行计算．
本题主要考查异分母分式的加减，利用因式分解进行通分，化成同分母分式是本题解题关键．
 

14.【答案】海里 

【解析】解：如图：过点作，垂足为，

由题意得：海里，，，
设海里，
在中，海里，
在中，海里，
，
，
，
海里，
海岛离此航线的最近距离是海里，
故答案为：海里．
过点作，垂足为，根据题意可得：海里，，，然后设海里，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后根据，列出关于的方程进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图表中数据可得出抛物线开口向下，；
故正确；
二次函数开口向下，且对称轴为，
当时，的值随值的增大而减小，故错误；
时，，
是方程的一个根，故正确；
时，，
时，，
时，，且函数有最大值，
当时，，故正确．
故答案为：．
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作关于的对称点，连接，，过点作于点，

四边形为菱形，，
，，
是的中点，
，
根据折叠的性质可知，，，
在中，，
当点在上时，取得最小值，此时，
当点在上时，如图，设交于点，

在中，，，
设，，
在中，，
，
解得：，舍去，
，，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作关于的对称点，连接，，过点作于点，根据折叠的性质可知，，根据三角形三边关系可得，以此得到当点在上时，取得最小值，此时，设交于点，，可设，，根据勾股定理建立方程，求得，，则，再根据勾股定理求得，于是可得，根据等边对等角即可解答．
本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、三角形三边关系、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，利用折叠的性质和三角形的三边关系推理论证出当点在上时，取得最小值是解题关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

原不等式组的解集是．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：是的角平分线，
，
，
，
，
．
解：，，
，
是的角平分线，
，
，
． 

【解析】根据是的角平分线，客车，根据，可得，进一步即可得证；
根据三角形内角和定理，可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质可得的度数．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，，；
名，
答：估计该校有名学生平均每天课外阅读时间不少于小时． 

【解析】根据组的频数和所占的百分比，可以求得的值，然后即可计算出、的值；
根据频数分布表中的数据，可以计算出该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于小时．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：连接，
平分，平分，
，，
又，
，
，
，，
，
；
解：连接，，，交于点，
，
，
垂直平分．
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】连接根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理得到求得根据等腰三角形的性质即可得到结论；
连接，，，交于点根据等腰三角形的判定定理得到，推出垂直平分解直角三角形即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，正方形即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求；
如图，线段即为所求．
 

【解析】根据正方形的定义画出图形；
由题意速度直径，取的中点即可；
利用网格特征，作交于点，点即为所求；
设交于点，连接，延长交于点，连接，延长交的延长线于点，线段即为所求．
本题考查作图旋转变换，正方形的判定和性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是掌握旋转变换，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设与的函数关系式为，
将分别代入，
可得，
解得：
关于的函数关系式为；
设这周该商场销售这种商品获得的利润为，
某周该商品的销售量不少于件，
，
解得：，
，
，在对称轴直线的左侧，函数值随自变量的增大而增大，
，
时，有最大值，最大值为；
这周该商场销售这种商品获得的最大利润为元；
若商品的进价每件提高元时，则进价为元，
，
，抛物线对称轴为直线，
当时，该商场每周销售这种商品的利润才随售价的增大而增大，
这种商品的售价不超过进价的倍，
，
解得：，
． 

【解析】设与的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；
设这周该商场销售这种商品获得的利润为，根据某周该商品的销售量不少于件可得的取值范围，再根据“利润售价进价销售量”得出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可；
根据题意可得，该抛物线，对称轴为直线，当时，以此得到该商场每周销售这种商品的利润才随售价的增大而增大，再由这种商品的售价不超过进价的倍可得不等式，以此即可求解．
本题主要考查二次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质，解题关键是读懂题意，根据等量关系或不等关系正确列出函数关系式和不等式．
 

23.【答案】解：四边形是正方形，四边形是矩形，
，，．
又，
．
≌．
．
．
；
证明：如图，分别延长与交于点．

，，，
≌，
．
，
．
又，，
≌．
；
解：在上取点，使，连接，交于，连接，，

则和都是等腰直角三角形，
，，
，
∽，
，
点在上运动，其中．
如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

，
，
由知，，
则，
，，
，，．
． 

【解析】利用证明≌，得，则，即可得出答案；
分别延长与交于点首先利用得出≌，得，再利用证明≌，得；
在上取点，使，连接，交于，连接，利用∽，得，可知点在上运动，其中过点作于点，过点作于点，过点作于点，表示出和的长，即可解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过和两点，
，解得，
抛物线解析式是；
如图，设直线交轴于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，设，两点的横坐标分别为，．

的面积是，，
，
直线：交抛物线于，两点．，，
，
，
联立方程组得，
，，
，即，
，
；
如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，

，，
是直角，
，
，
∽，
，
设，两点坐标分别为，，
则，
化简得，
联立方程组得，
，．
，
，
直线的解析式为，即，
故直线经过定点，
连接，过点作的垂线，垂足为，则，
故原点到距离的最大值是． 

【解析】利用待定系数法即可求解；
如图，设直线交轴于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，设，两点的横坐标分别为，根据的面积是可得，联立方程组可得，即可得求解；
如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，证明∽，根据相似三角形的性质得，联立方程组得，由根与系数的关系得，求得直线的解析式为，则直线经过定点，连接，过点作的垂线，垂足为，即可得原点到距离的最大值．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特点、二次函数的性质、三角形的面积，相似三角形的判定和性质、根与系数的关系等知识，具有一定的综合性，灵活应用数形结合思想是解题的关键．