2023年江苏省宿迁市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省宿迁市中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 实数−2023的绝对值是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. −12023
2. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. 3a−2a=1
C. (−2a4)3=−8a12D. a6÷a2=a3
3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，直线a//b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1=48°，则∠2的度数是( )
A. 20°B. 32°C. 42°D. 48°
5. 如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则CE的长度为( )
A. 3B. 52C. 2 2D. 112
6. 若a>b，则下列四个选项中一定成立的是( )
A. a2>b2B. −3a>−3bC. a4b+2
7. 在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是( )
A. 9.3，9.6B. 9.5，9.4C. 9.5，9.6D. 9.6，9.8
8. 定义：max{a,b}=a(a≥b)b(aA. −1B. 0C. −3D. 3
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 分解因式：ax2−a=______．
10. 国家统计局发布数据显示，全国2022年全年出生人口约为9560000人.数9560000用科学记数法表示为______ ．
11. 如图，函数y=kx+b(k<0)的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b<3的解集为______ ．
12. 若关于x的一元二次方程mx2+nx−2022=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n+1的值是______ ．
13. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为______ ．
14. 《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四尺，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线DC交井口AB于点E，BE的长为4尺，则水面距井口距离为______ 尺.
15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠D=62°，则∠BAC= ．
16. 如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若DP=2，则正方形的边长为______ ．
17. 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，反比例函数y= 34x(x>0)的图象经过线段DC的中点N，连接AN交OD于点M，若AC=2，则MN的长为______ ．
18. 如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的⊙O上一动点，连接BP，以BP为边作等边三角形BPQ，连接OQ，若AB=2，则线段OQ的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算： 4−sin30°−(π−1)0+2−1．
20. (本小题8.0分)
解方程：x−1x+1−4x2−1=1．
21. (本小题8.0分)
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
(1)用尺规作图，作AC的垂直平分线，分别交边AD、BC于点E、F；
(2)求证：四边形AECF是菱形．
22. (本小题8.0分)
某区教育局对某校八年级学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)请把条形统计图补充完整；
(2)合格等级所占百分比为______ %；不合格等级所对应的扇形圆心角为______ 度；
(3)若该校八年级共有学生1200人，请你根据所抽取的部分学生成绩情况，计算该校八年级参加本次国家义务教育质量检测达到良好及以上等级的共有多少人？
23. (本小题8.0分)
在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个词，分别为“健康”、“吉祥”、“如意”.现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下文字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下文字．
(1)第一次抽到写有“健康”的卡片的概率是______ ；
(2)用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上词为“吉祥”、“如意”的概率．
24. (本小题8.0分)
如图，在坡角α为30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为18米，求大树AB的高.(结果精确到0.1米， 2≈1.414， 3≈1.732)
25. (本小题8.0分)
如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
(1)求证：AB=BC；
(2)若⊙O的直径AB为9，sinA=13，求线段BE的长．
26. (本小题8.0分)
“五一”前某商场购进甲种水果60箱，乙种水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲种水果比乙种水果每箱多盈利5元．
(1)求甲、乙两种水果每箱各盈利多少元？
(2)甲、乙两种水果全部售完后，为迎接“五一”小长假，该商场又购进一批甲种水果，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
27. (本小题8.0分)
在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，正方形OPQG绕点O旋转．

(1)当点O为AC中点时，
①如图1，正方形OPQG的边OP、OG分别与AB、BC交于点E、F，连接EF，猜想线段AE，CF与EF之间存在的等量关系(无需证明)；
②如图2，正方形OPQG的边OP、OG分别与AB、BC的延长线交于点E、F，连接EF，判断①中的猜想是否成立.若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，当点O不是AC中点时，正方形OPQG的边OP、OG分别与AB、BC交于点E、F，若AOAC=13，求OEOF的值．
28. (本小题8.0分)
定义：若一个函数图象上存在到坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”.例如，点(1,1)和(−13,13)是函数y=12x+12图象的“等距点”．
(1)判断函数y=x2+2x的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数y=−4x图象的“等距点”为A、B，函数y=−x+b图象的“等距点”为C，若△ABC的面积为2 3时，求函数y=−x+b的表达式；
(3)若函数y=−x2+(2+m)x+2m+2图象恰存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，−2023的绝对值等于2023．
故选：A．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义，即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5≠a6，本选项不符合题意；
B、3a−2a=a≠1，本选项不符合题意；
C、(−2a4)3=−8a12，本选项符合题意；
D、a6÷a2=a4≠a3，本选项不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可．
此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】C
【解析】解：如图，∵a//b，∠1=48°，
∴∠1=∠BAC=48°，
又∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠ABC=90°−48°=42°，
∴∠2=∠ABC=42°．
故选：C．
根据平行线的性质可得∠1=∠BAC=48°，再利用三角形的内角和定理可求∠ABC=90°−48°=42°，最后根据对顶角相等即可求出结果．
本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理及对顶角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，
∴AB= AC2+BC2=10，
根据作图可知BD=BC=6，EF垂直平分AD，
∴AD=AB−BD=10−6=4，AF=FD=12AD=2，∠AFE=90°，
∴csA=AFAE=ACAB，
即2AE=810，
解得：AE=52
∴CE=8−52=112，
故选：D．
勾股定理得出AB=10，根据作图可知BD=BC=6，EF垂直平分AD，根据csA=AFAE=ACAB，求得AE，进而即可求解．
本题考查了余弦的定义，作线段，作垂线，勾股定理，熟练掌握基本作图是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、当a=0，b=−1时，a2=0B、若a>b，则−3a<−3b，故本选项错误，不符合题意；
C、若a>b，则a4>b4，故本选项错误，不符合题意；
D、若a>b，则a+2>b+2，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】C
【解析】解：这10次射击成绩从小到大排列是：8.8，9.0，9.2，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，9.8，
∴中位数是(9.4+9.6)÷2=9.5(环)，
9.6出现的次数最多，故众数为9.6环．
故选：C．
将折线统计图中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查众数与中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．
8.【答案】C
【解析】解：当−x−1≥x2−2x−3，即−1≤x≤2时，y=max{−x−1,x2−2x−3}=−x−1，
∵−1<0，
∴当x=2时，该函数的值最小，最小值为−3；
当−x−12时，y=max{−x−1,x2−2x−3}=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，
∵1−(−1)>2−1，
∴当x=2时，该函数的值最小，最小值为−3；
综上所述，该函数的最小值为−3．
故选：C．
分两种情况讨论：当−x−1≥x2−2x−3，即−1≤x≤2时，当−x−1≤x2−2x−3，即x≤−1或x≥2时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可．
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
9.【答案】a(x+1)(x−1)
【解析】解：ax2−a，
=a(x2−1)
=a(x+1)(x−1)．
应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
10.【答案】9.56×106
【解析】解：9560000=9.56×106．
故答案为：9.56×106．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】x>−1
【解析】解：观察一次函数图象可知，当y<3时，x的取值范围是x>−1，
则不等式kx+b<3的解集为x>−1，
故答案为：x>−1．
观察一次函数图象，可知当y<3时，x的取值范围是x>−1，据此即可得到答案．
本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题关键．
12.【答案】2023
【解析】解：∵一元二次方程mx2+nx−2022=0(m≠0)的一个解是x=1，
∴m+n−2022=0，
∴m+n=2022，
∴m+n+1=2023．
故答案为：2023．
把x=1代入原方程，可得m+n=2022，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
13.【答案】845π
【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
∴CD=AC×BCAB=3×45=125，
∴该几何体的表面积为：12×2×125π×(3+4)=845π．
故答案为：845π．
先求出直角三角形斜边AB的长，然后再求出斜边上的高，最后根据扇形面积公式进行求解即可．
本题主要考查了勾股定理，圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，准确计算．
14.【答案】54
【解析】解：∵井口直径为5尺，
∴AB=5，
∵BE=4，
∴AE=1，
∵竖立一根5尺长的木杆在井口，
∴BD=5，
∵AC//BD，
∴△ACE∽△BDE，
∴ACBD=AEBE，
∴AC5=14，
解得AC=54．
故答案为：54．
根据题意得到△ACE∽△BDE，然后利用相似三角形的性质代入求解即可．
此题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判断是解题的关键．
15.【答案】28°
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠B=62°，利用直角三角形的两个锐角互余即可解答．
【解答】
解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=62°，
∴∠B=∠D=62°，
∴∠BAC=90°−∠B=28°，
故答案为：28°．
16.【答案】6
【解析】解：连接AP，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD，∠B=∠C=∠D=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC，
由翻折的性质可得：AB=AF，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，
∴AD=AF，∠D=∠AFP=90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
AP=APAF=AD，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL)，
∴DP=FP，
设BE=x，则EC=x，BC=DC=2BE=2x，EP=x+2，PC=2x−2，
在Rt△PCE中，PC2+EC2=EP2，
∴(2x−2)2+x2=(x+2)2，
解得：x=0(舍)或x=3，
∴BC=2×3=6，
故答案为：6．
连接AP，根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠B=∠C=∠D=90°，再由翻折的性质可得AB=AF，BE=EF，∠AFE=∠B=90°，从而可证Rt△AFP≌Rt△ADP，即可得DP=FP，设BE=x，则EC=x，EP=x+2，PC=2x−2，利用勾股定理可得x=3，即可求出结果．
本题考查正方形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及解一元二次方程，综合运用相关知识是解题的关键．
17.【答案】 33
【解析】解：如图，取OC的中点E，连接NE，

∵四边形ABCD是菱形，AC=2，
∴OA=OC=12AC=1，
∴点C的坐标为(1,0)，OE=12，
∵点N为CD的中点，
∴NE//OD，
∴NE⊥x轴，
∴点N的横坐标为12，
把x=12代入y= 34x得：y= 32，
∴点N的坐标为(12, 32)，
∴NE= 32，
∴AN= AE2+NE2= 3，
∵NE//OM，
∴AMMN=OAOE，
即 3−MNMN=112，
解得：MN= 33．
故答案为： 33．
取OC的中点E，连接NE，根据菱形的性质可得OA=OC=12AC=1，从而得到点C的坐标为(1,0)，OE=12，再由三角形中位线定理可得NE//OD，从而得到NE⊥x轴，可求出点N的坐标为(12, 32)，然后根据勾股定理可得AN= AE2+NE2= 3，再由NE//OM，可得AMMN=OAOE，即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理是解题的关键．
18.【答案】 5+1
【解析】解：连接OB、OP，将OB绕点B逆时针旋转60°得到O′B，连接O′Q，

∵OB绕点B逆时针旋转60°得到O′B，
∴OB=O′B，∠OBO′=60°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴PB=QB，∠PBQ=60°，
∴∠OBO′−∠PBO′=∠PBQ−∠PBO′，即∠OBP=∠O′BQ，
在△OBP和△O′BQ中，
OB=OB′∠OBP=∠O′BQPB=QB，
∴△OBP≌△O′BQ(SAS)，
∵AB=2，四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=2，则OA=OP=1，
∴OP=O′Q=1，
∴点Q在以点O′为圆心，O′Q为半径的圆上运动；
∴当点O，O′，P三点在同一直线上时，OQ取最大值，
在Rt△OAB中，根据勾股定理可得：OB= OA2+AB2= 5，
∵OB=O′B，∠OBO′=60°，
∴△OBO′为等边三角形，
∴OO′=OB= 5，
∴OQ=OO′+O′Q= 5+1，
故答案为： 5+1．
连接OB、OP，将OB绕点B逆时针旋转60°得到O′B，连接O′Q，通过证明△OBP≌△O′BQ(SAS)，得出OP=O′Q=1，从而得出点Q在以点O′为圆心，O′Q为半径的圆上运动；则当点O，O′，P三点在同一直线上时，OQ取最大值，易证△OBO′为等边三角形，求出OO′=OB= 5，即可求出OQ=OO′+O′Q= 5+1．
本题主要考查看瓜豆模型—圆生圆模型，确定从动点Q的运动轨迹，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
19.【答案】解： 4−sin30°−(π−1)0+2−1
=2−12−1+12
=1．
【解析】先算算术平方根，特殊角的三角函数值，零次幂和负整数指数幂，再按照有理数的加减混合运算即可求出答案．
本题考查的是实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零次幂和负整数指数幂以及算术平方根，熟练掌握以上的概念和公式是解题的关键．
20.【答案】解：去分母得：(x−1)2−4=x2−1，
整理得：x2−2x+1−4=x2−1，
解得：x=−1，
经检验x=−1是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】(1)解：如图：EF即为所求作的图形．

(2)证明：如图，在平行四边形ABCD中，AD//BC，

∴∠CAE=∠ACF，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AE=CE，
在△AOE和△COF中，
∠CAE=∠ACFAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)分别以点A和点C为圆心，大于12AC为半径画弧，两弧相交于两点，连接两弧的交点，分别交边AD、BC于点E、F，EF即为所求；
(1)根据垂直平分线的性质，得出AO=CO，AE=CE，证明△ACE≌△COF，则AE=CF，即可得出四边形AECF是平行四边形，则四边形AECF是菱形．
本题主要考查了尺规作图：作垂直平分线，垂直平分线的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握垂直平分线的作图方法，以及有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
22.【答案】30 36
【解析】解：(1)抽取总人数为：12÷40%=30(人)，
优秀人数为：30−12−9−3=6(人)．
条形统计图如下：

(2)合格等级：930×100%=30%．
不合格等级：330×360°=36°．
故答案为：30；36．
(3)6+1230×1200=720(人)，
答：该校八年级参加本次国家义务教育质量检测达到良好及以上等级的共有720人．
故答案为：720人．
(1)根据良好等级所占的百分比和人数求出抽取总人数，即可求出抽取的优秀人数，即可补全图形．(2)由合格的等级人数除以抽取的人数即为合格等级所占的百分比；用360°乘以不合格等级所占的比例即可求出圆心角度数．(3)用总人数乘以优秀和良好总共所占的比例即为答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图，解题的关键在于是否能通过统计图获得已知信息，从而求出答案．
23.【答案】13
【解析】解：(1)∵在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个词，分别为“健康”、“吉祥”、“如意”，
∴P第一次抽到写有“健康”的卡片=13，
故答案为：13；
(2)画树状图：

共9种等可能的结果，其中吉祥、如意有2个结果，
∴P(卡片上是吉祥、如意)=29．
(1)根据概率公式求解即可；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，画树状图(或列表)求概率，掌握概率公式、画树状图(或列表)是解题的关键．
24.【答案】解：过C点作CD垂直于AB的延长线于点D，垂足为D.由题意得，CD平行于水平地面，

∴∠BCD=α=30°，∠ACD=45°．
在Rt△BCD中，BD=BC⋅sin30°=18sin30°=9，CD=BC⋅cs30°=18cs30°=9 3，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴CD=AD，
即9 3=9+AB，
∴AB=9 3−9≈6.6，
答：大树AB的高约为6.6米．
【解析】过C点作CD垂直于AB的延长线于点D，垂足为D.由题意得，CD平行于水平地面，在Rt△BCD中，求得BD=9，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，可得CD=AD，即9 3=9+AB，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OD，如图，

∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD//BC，
∴∠ODA=∠C，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
∴∠A=∠C．
∴AB=BC．
(2)连接BD，则∠ADB=90°，如图，

在Rt△ABD中，
∵sinA=BDAB=13，AB=9，
∴BD=3．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，
∴∠A=∠FDB．
∴sin∠A=sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF=BFBD=13，
∴BF=1．
由(1)知：OD//BF，
∴△EBF∽△EOD，
∴BFOF=BFOD，
即：BEBE+92=192．
解得：BE=97．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质得出OD⊥DE，再由平行线判定得出OD//BC，利用其性质及等角对等边即可证明；
(2)连接BD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再由正弦函数得出BD=3，利用等边对等角及等量代换得出∠A=∠FDB，再由相似三角形的判定和性质求解即可．
题目主要考查圆的切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
26.【答案】解：(1)设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利(x+5)元，
根据题意，得：60(x+5)+40x=1300，
解得：x=10，
∴x+5=15，
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．
(2)设甲种水果降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，
由题意得：w=(15−a)(100+20a)=−20a2+200a+1500=−20(a−5)2+2000，
当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元．
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【解析】(1)设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利(x+5)元，根据题意列出一元一次方程求解即可；
(2)设甲种水果降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意表示出w=−20(a−5)2+2000，然后根据二次函数的性质求解即可．
此题考查了二次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
27.【答案】解：(1)①如图，

在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵O是AC的中点，
∴BO⊥AC，∠OBE=∠OBC=45°，BO=OC，
∴∠BOC=90°，
在正方形OPQG中，∠POG=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△OBE和△OBE中，
∠OBE=∠OCFOB=OC∠BOE=∠COF，
∴△OBE≌△OCF(ASA)，
∴BE=CF，
∵AB=BC，
∴AE=BF，
在Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
②成立
如图，连接OB，

在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∵O是AC的中点，
∴BO⊥AC，∠OBC=45°，BO=OC，
∴∠BOC=90°，
在正方形OPQG中，∠POG=90°，
∴∠BOE=∠COF，
∵∠OBE=∠OBC+∠EBC=135°，∠OCF=∠OCD+∠DCF=135°，
∴∠OBE=∠OCF，
在△OBE和△OBE中，
∠OBE=∠OCFOB=OC∠BOE=∠COF，
∴△OBE≌△OCF(ASA)，
∴BE=CF，
∵AB=BC，
∴AE=BF
在Rt△BEF中，BF2+BE2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2．
(2)分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N．

∴∠AMO=∠ONC=90°
在正方形ABCD中，∠BAC=∠BCA=45°，
∴△AMO∽△CNO，
∴OMON=AOCO，
∵AOAC=13，
∴AOOC=12，
∴OMON=12
∵∠B=90°，∠AMO=∠ONC=90°，
∴∠MON=90°，
在正方形OPQG中，∠POG=90°，
∴∠MOE=∠NOF，
∴△MOE∽△NOF，
∴OEOF=OMON=12．
【解析】(1)①连接OB，根据正方形的性质可得∠BOE=∠COF，可证得△OBE≌△OCF，可得BE=CF，从而得到AE=BF，在Rt△BEF中，根据勾股定理，即可；②连接OB，根据正方形的性质可得∠BOE=∠COF，∠OBE=∠OCF，可证得△OBE≌△OCF，可得BE=CF，从而得到AE=BF，在Rt△BEF中，根据勾股定理，即可；
(2)分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M、N.证明△AMO∽△CNO，可得OMON=AOCO，再由AOAC=13，可得OMON=12，再根据△MOE∽△NOF，即可．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28.【答案】解：(1)存在“等距点”，
令x2+2x=x，
解得x1=0，x2=−1，
∴函数y=x2+2x的图象上有两个“等距点”(0,0)或(−1,−1)，
令x2+2x=−x，
解得x1=0，x2=−3，
∴函数y=x2+2x的图象上有两个“等距点”(0,0)或(−3,3)，
综上所述，函数y=x2+2x的图象上有三个“等距点”(0,0)或(−1,−1)或(−3,3)；
(2)令−4x=−x，
解得x1=−2，x2=2，
则A(−2,2)，B(2,−2)，
∴AB=4 2
令−x+b=x，
解得x=b2，则C(b2,b2)，
∴OC= 22|b|，
∵AB⊥OC，
∴S△ABC=12AB⋅OC，
即2 3=12×4 2× 22|b|，
解得，b=± 3
∴y=−x+ 3或y=−x− 3，
(3)令x=−x2+(2+m)x+2m+2，整理得，x2−(1+m)x−2m−2=0.Δ=(1+m)2+4(2m+2)=m2+10m+9，
当m<−9或m>−1时，Δ>0，
此时在一、三象限有2个“等距点”．
令−x=−x2+(2+m)x+2m+2，整理得，x2−(3+m)x−2m−2=0Δ=(3+m)2+4(2m+2)=m2+14m+17=m2+14m+17，
当m<−7−4 2或m>−7+4 2时，Δ>0，
此时在二四象限有2个“等距点”．
∵函数y=−x2+(2+m)x+2m+2图象恰存在2个“等距点”，
∴−7−4 2【解析】(1)根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；
(2)先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；
(3)根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
本题考查新定义题型的理解，掌握一次函数，二次函数及反比例函数理解题意是解题关键．