2022-2023学年福建省泉州市泉港区部分学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市泉港区部分学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图象中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在平行四边形中对角线和交于，若，，则边长的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如下图，同一坐标系中，直线和的图象大致可能。(    )

A.  B.
C.   D.

5.  下列四个选项中，不符合直线的性质特征的选项是(    )

A. 经过第二、三、四象限 B. 随的增大而减小
C. 与轴交于 D. 与轴交于

6.  如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

7.  如图，将▱沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在▱中，于点，于点若，，且▱的周长为，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若点，，在反比例函数图象上，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，线段，是线段上方的一点，，在的同制作等边、等边和等边，则下列结论：；；四边形是平行四边形；四边形面积的最大值是其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  点关于轴的对称点的坐标为______ ．

12.  函数：中，自变量的取值范围是______．

13.  如图，平行四边形的周长是，对角线、相交于点，交于点，则的周长为______ ．

14.  如图，直线和相交于点，则不等式的解集为______ ．

15.  如图，▱中，，，，则的长为______ ．

16.  如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过，两点，已知平行四边形的面积是，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知一次函数的图象经过点和点，求当时，函数的值．

18.  本小题分
如图，在▱中，过对角线的交点，且与边、分别相交于点、、，，，求四边形的周长．

19.  本小题分
已知：如图，在▱中，于点．
求作：线段，使得于点请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法和证明，但要保留作图痕迹
在的条件下，求证：．

20.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点，将直线向下平移，得到直线若直线与该反比例函数的图象相交于点．
求，的值；
连结，，求的面积．

21.  本小题分
如图所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图为列车离乙地路程千米与行驶时间小时时间的函数关系图象．
填空：甲、丙两地距离______千米．
求高速列车离乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出的取值范围．
 

22.  本小题分
在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连结，使．
求证：四边形是平行四边形．
连接，若平分，，，求四边形的面积．

23.  本小题分
为了迎接五一黄金周的购物高峰，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

已知：用元购进甲种运动鞋的数量与用元购进乙种运动鞋的数量相同．
求的值．
若购进乙种运动鞋双，要使购进的甲、乙两种运动鞋共双的总利润元利润售价进价不少于元且不超过元，问：购进甲种运动鞋多少双时总利润最大，最大利润是多少？

24.  本小题分
在平行四边形中，点是对角线中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、，如图．
求证：四边形是平行四边形；
在中，若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、，如图．
当，时，求的长．
探究与的数量关系，并给予证明．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线：与直线：交于点，两直线与轴分别交于点和．
求直线和的表达式．
点是轴上一点，当最小时，求点的坐标．
如图，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，若为直角三角形，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，
点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为，
又点在第二象限，
点的坐标为．
故选：．
根据到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．
本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据函数的定义可知，每给定自变量一个值，都有唯一的函数值与之相对应，
所以、、不合题意．
故选：．
函数就是在一个变化过程中有两个变量，，当给一个值时，有唯一的值与其对应，就说是的函数，是自变量．
本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
解得．
故选：．
利用平行四边形的对角线互相平分和三角形的三边关系进行求解即可．
此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时，函数的图象经过一、三、四象限；当，时，函数的图象经过一、二、三象限；当，时，函数的图象经过一、二、四象限；当，时，函数的图象经过二、三、四象限先根据函数图象与系数的关系判断出和的图象所经过的象限，再用排除法进行解答即可．
【解答】

解：直线：中，，，
此一次函数的图象经过一、三、四象限，故可排除、；
直线：中，，，
此一次函数的图象经过一、二、四象限，故可排除．
故选B．

 

5.【答案】 

【解析】解：直线中，，，
A、，，函数图象经过第二、三、四象限，正确，故本选项不符合题意；
B、，随的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C、当时，，与轴交于，原说法错误，故本选项符合题意；
D、当时，，与轴交于，正确，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一次函数的性质解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数中，当时，随的增大而减小是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【解答】
解：在直线的左下方有个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画个．



故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键，由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果．
【解答】

解：，
，
由折叠可得，
，
又，
，
又，
中，，
，
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：设，
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长为，
，
，
于点，于点，
▱的面积，
，
解得：，
▱的面积．
故选：．
设，由平行四边形的周长表示出，再根据平行四边形的面积列式求出，然后根据平行四边形的面积公式列式进行求出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
此函数的图象在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；
，，
点，在第三象限，在第一象限，
，，
，
故选：．
由题意可知函数的图象在一、三象限，由三点的横坐标可知点，在第三象限，在第一象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答．
本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、都是等边三角形，
，且，
，
，故结论正确；
是等边三角形，
，且，
，，，
，
，无法证明，故结论错误；
、、都是等边三角形，
，
，同理得，，
在，中，
，
≌，
，
同理得，≌，
，
四边形是平行四边形，故结论正确；
如图所示，延长交于，

由结论正确可知，，
，
在等边中，，
是直角三角形，即，
设，，则，，
，，
，
，
在中，，即，
，
，
，
四边形面积的最大值是，故结论正确；
综上所述，正确的有，
故选：．
根据等边、等边和等边，可知，再根据可证结论；根据，，，可证结论；根据≌，≌，可证结论；如图所示，延长交于，根据含特殊角的直角三角形的性质，不等式的性质可证结论．
本题主要考查等边三角形，含特殊角的直角三角形的综合，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形中边与角的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
点关于轴的对称的点的特点是纵坐标不变，横坐标变为相反数，由此即可求解．
本题主要考查了坐标系中点对称的特点，掌握点关于轴对称的特点是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得；
解可得；
故答案为．
根据分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案．
求函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
▱的周长为，
，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故答案为：．
证是的中垂线，得，再求出的周长，然后由▱的周长为，即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质、线段的中垂线的性质以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的性质解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线和相交于点，
不等式的解集为，
故答案为：．
找出直线位于直线上方含交点时，的取值范围即可得．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设▱的对角线与相交于点，
则，，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，构造直角三角形，在根据勾股定理求得，即可得到．
本题考查平行四边形的性质及勾股定理的应用，掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数，
，解得，，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数上，
设，则点到轴的距离为，设，
四边形是平行四边形，
，
，
如图所示，过点作轴于，

，
平行四边形的面积是，即，
，则，
设直线所在直线的解析式为，且，
，解得，，
直线所在直线的解析式为，
在上，
，整理得，，
，则，
，且，
，则，
点的坐标为，
故答案为：．
用待定系数法求值反比例函数解析式，设，设，可用含，的式子表示出平行四边形的面积，解，，的关系是，再用待定系数法求出所在直线的解析式，根据点在上，即可求解．
本题主要考查反比例函数，一次函数，特殊四边形的综合，掌握待定系数法求正比例、反比例函数解析式，特殊四边形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：因为一次函数的图象经过点和点，
根据题意可得：，
解得：，
所以一次函数的解析式为：，
把代入解析式可得：． 

【解析】把点和点代入得到一个关于、的方程组，从而求解．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确解方程组求出、的值是解题的关键．
 

18.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
在和，
，
≌，
，，
四边形的周长为：． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，则可证得≌，继而证得，进而可得，，继而求出四边形的周长．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得与全等是解此题的关键．
 

19.【答案】解：如图，为所作；

证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中
，
≌，
． 

【解析】利用基本作图，过点作的垂线，垂足为即可；
根据平行四边形的性质得到，，则，然后证明≌，从而得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．
 

20.【答案】解：，过点，
将代入，得，
解得：．
正比例函数的解析式为：，
将代入，得，
．
反比例函数为，
直线与该反比例函数的图象相交于点．
；
如图，直线和轴交于点，连接，

由可知，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
将直线向下平移，得到直线，
，
． 

【解析】将代入反比例函数可求出，由点的坐标可求出的值；
连接，求出直线与轴的点坐标，即可得出的长，由三角形的面积可得出答案．
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平移的性质以及三角形的面积，求得，的值是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
当时，设高速列车离乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，
把，代入得：，
解得：，
，
高速列车的速度为：千米小时，
小时，小时
如图，点的坐标为

当时，设高速列车离乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，
把，代入得：，
解得：，
，
． 

【解析】

【分析】
根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：千米；
分两种情况：当时，设高速列车离乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，把，代入得到方程组，即可解答；根据确定高速列出的速度为千米小时，从而确定点的坐标为，当时，设高速列车离乙地的路程与行驶时间之间的函数关系式为：，把，代入得到方程组，即可解答．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式．
【解答】
解：根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：千米，故答案为：；
见答案．  

22.【答案】证明：，
，
，延长到，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：平分，
，
在和中，
，
≌，
，
由得：四边形是平行四边形，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
． 

【解析】由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论；
先由证得≌，得出，由平行四边形的性质得，，设，则，再由勾股定理求出，，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意可得：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，即的值是．
由题意可得：，
又，
，
解得，且为整数，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，最大值，
当购进甲种运动鞋双时总利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据题目中的数量关系，列分式方程求解即可；
根据题意列不等式，解不等式，根据一次函数的增减性，即可求解．
本题主要考查分式方程，不等式，一次函数的应用，理解题目中的数量关系，列方程求解，掌握利用一次函数图象的性质求最值是解题的关键．
 

24.【答案】证明：平行四边形中，点是对角线中点，
，，
，且，，
≌
，且，
四边形是平行四边形；
如图，过点作于点，

，，
，
，
，，
，
，
；
，
理由如下：如图，过点作于点，

，，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，且，，
≌
，
，，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】由“”可得≌，可得，可得结论；
由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解；
如图，过点作于点，由“”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

25.【答案】解：把代入，
，
，
直线的函数表达式为：，
把点代入，
，
，
直线的函数表达式为：；
作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，
如图：

当时，
解得，
将，代入，
解得：．
所以的坐标为：
作关于轴的对称点，则坐标为：，
，；
设所在直线解析式为：，将，带入得：
，
解得：，
即解析式为：，
令，，
即点坐标为：
为直角三角形，分两种情况讨论：
当时，
如图，由对折可得，，
，

过点作于，
，
，
，
；
当时，如图所示：

由图可知：，，，，
由对折得，，，
，
设，，则，
由勾股定理可知：
，
，
解得：，
，
，
在轴负半轴，
．
综上所述：点坐标为：或． 

【解析】把代入，得的值，可得直线解析式，把点代入，得的值，即可求解；
由两点间直线距离最短可知：作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求；
由对折得，可得为直角三角形，分两种情况讨论：当时和当时，分别计算即可．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键．