2022-2023学年江苏省淮安市金湖县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市金湖县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省淮安市金湖县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 某地区有10所高中，30所初中，要了解该地区的中学生视力情况，下列哪种抽样方式获得的数据最能够反映该地区的中学生视力情况(    )
A. 从该地区随机挑一所中学的学生
B. 从该地区的一所高中和一所初中各挑一个年级的学生
C. 从该地区40所中学随机选取1000名学生
D. 从该地区30所初中随机抽出500名学生
3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(    )
A. 水落石出 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月
4. 为了解全校600名八年级学生的身高，从该校八年级随机抽取了50名学生测量身高.那么在这个问题中，样本是(    )
A. 50 B. 被抽取的50名学生的身高
C. 被抽取的50名学生 D. 全校600名八年级学生的身高
5. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(    )
A. B. C. D.
6. 菱形ABCD的对角线长分别为6和8，它的面积为(    )
A. 5 B. 20 C. 24 D. 48
7. 如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC是(    )
A. 25°
B. 30°
C. 45°
D. 50°
8. 正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积．(    )
A. 先变大后变小
B. 先变小后变大
C. 一直变大
D. 保持不变


二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 某产品生产企业开展有奖促销活动，将每8件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是______ ．
10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于______ ．
11. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是______ ．


12. 如图，四边形ABCD为平行四边形，则点A的坐标为______ ．


13. 某地区八年级共有学生50000名，为了解该地区八年级学生平均每天完成课外作业的时间情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序：①分析数据；②用直方图或扇形统计图将200个数据进行整理：③得出结论；④从50000名学生中随机抽取200名学生，调查他们平均每天完成课外作业的时间.合理的排序是______ .(只填序号)
14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=8，AD=10，则AO的长为______ ．


15. 如图，△ABC的边BC长为6cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______ cm2．

16. 如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为______ ．


三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图所示，点E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)连接AC、DF，则四边形ACDF ______ (填“是”或“不是”)平行四边形．

18. (本小题8.0分)
如图中，图(1)是一个菱形ABCD，将其作如下划分：
第一次划分：如图(2)所示，连接菱形ABCD对边中点，共得到5个菱形；
第二次划分：如图(3)所示，对菱形CEFG按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；
第三次划分：如图(4)所示，…
依次划分下去．

(1)根据题意，第四次划分共得到______ 个菱形，第n次划分共得到______ 个菱形；
(2)根据(1)的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？
19. (本小题8.0分)
为了解某校八年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名八年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图.根据图表信息，解答下列问题：

(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级1000名学生中，上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数．
20. (本小题8.0分)
某校抽查了八(1)班20名学生，测量了他们在800m赛跑后1min的脉搏次数，结果如下(单位：次)：144，150，156，165，171，149，162，160，135，159，150，164，168，153，158，139，161，157，154，147．
(1)填写表格
每分钟脉搏次数
130≤x<140
140≤x<150
150≤x<160
160≤x<170
x>170
划记
丅
______
正
正一
一
频数
2
______
8
6
1
(2)每分钟脉搏次数在150≤x<160这一组的频率是______ ；
(3)若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择哪一种统计图？画出你所选择的统计图，并在图中标明相应数据．
21. (本小题8.0分)
如图，已知平行四边形ABCD，E为AB的中点，仅用无刻度直尺作图(请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法)．

(1)在图1中，作CD的中点F；
(2)在图2中，作AD的中点G．
22. (本小题8.0分)
如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内擦小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿)
100
200
500
1000
⋯
小石子落在圆内(含圆上)的次数m
23
42
102
206
⋯
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n
77
158
398
794
⋯
mn
0.299
0.266
0.256
0.259
⋯
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很多时，则m：n的值越来越接近______ (结果精确到0.01)；
(2)若以小石子所落的有效区域为总数(即m+n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在______ 附近(结果精确到0.1)；
(3)请你利用(2)中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留π)

23. (本小题8.0分)
题目：
如图：已知Rt△ABC中，∠B=90°，用直尺和圆规作矩形ABCD.(保留作图痕迹，不写作法)

以下的图1、图2是小华所作的图形，请解决以下问题：

(1)如图1，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“的四边形是矩形”；
(2)如图2的作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D”，请判断小华所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由．
24. (本小题8.0分)
如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、O分别从点AC同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)①用含t的代数式表示：DP= ______ cm，CQ= ______ cm；
②当四边形APQB为矩形时，求出t的值；
(2)直接写出：当t为______ 时，PQ=CD？
25. (本小题8.0分)
(1)【方法探究】如图1，在四边形ABCD中，AD=BC，点P是对角线BD的中点，点M是DC的中点，点N是AB的中点，求证：∠PNM=∠PMN；
(2)【方法应用】
①如图2，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=90°，AD=8，BC=6，点P、Q分别为AB、CD的中点，求PQ的长；
②如图3，在四边形ABCD中，AD=BC=4，∠A+∠ABC=120°，点P、Q分别为AB、CD的中点，则PQ= ______ ．

26. (本小题8.0分)
数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
在正方形ABCD中，点E是射线AB上一个动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，连接BF．

(1)如图1.点E在线段AB上．
①已知AE=1，求点F到直线AB的距离；
②直接写出：∠FBN= ______ °；
③连接DF，点M为DF的中点，若正方形ABCD的边长为 18，直接写出：在点E从点A运动到点B的过程中，点M所经过的路径长为______ ；
(2)当点E在点B的右侧，且点P在DA的延长线上时，存在某一位置使四边形CPEF为菱形．
①请在图2中画出示意图；
②若正方形的边长为6，求出此时DP的长．
27. (本小题8.0分)
小华根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究：在▱ABCD中，点M在CD边上，且AD=AM，点E是线段DM上任意一点，连接AE.将△ADE沿AE翻折得到△FAE．

(1)【问题解决】如图1.△ADE沿AE翻折后，点F恰好与点M重合，已知∠ADC=60°，且AD=2，则DM= ______ ；
(2)【问题探究】如图2，△ADE沿AE翻折后，点F落在AB边上．
①判断四边形ADEF的形状，并证明；
②已知∠ADC=45°，AB=4，MC= 2DE，求四边形ABCD的面积；
③如图3，在②的条件下，将四边形DAFE沿DA方向平移，得到四边形D′A′F′E′，连接ED′、MA′、A′F，当四边形ED′A′M的周长最小时，∠AFA′= ______ ，平移距离AA′= ______ ．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】C 
【解析】解：某地区有10所高中和30所初中．要了解该地区中学生的视力情况，A，B，D中进行抽查不具有普遍性，对抽取的对象划定了范围，因而不具有代表性．
C、本题中为了了解该地区中学生的视力情况，从该地区40所中学里随机选取1000名学生就具有代表性．
故选：C．
根据抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
本题考查抽样调查．熟练掌握抽取的样本要具有广泛性与代表性，是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】
解：A、水落石出，是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
故选：D．  
4.【答案】B 
【解析】解：在这个问题中，样本是被抽取的50名学生的身高．
故选：B．
根据样本的定义，即可求解．
本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

5.【答案】D 
【解析】解：A、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、80°+110°≠180°，故B选项不符合条件；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：菱形的面积为：12×6×8=24；
故选：C．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
本题考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵▱ABCD，∠D=105°，
∴∠ABC=∠D=105°，AD=BC，
∵AD=AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，CB=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
设∠EAB的度数为x，则：∠EBA=x，∠CEB=∠EAB+∠EBA=2x，∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=75°−x，
∴2x=75°−x，
∴x=25°，
∴∠BAC=25°；
故选A．
根据平行四边形的性质，得到∠ABC=∠D=105°，AD=BC，进而得到CB=BE，∠BCE=∠BEC，设∠EAB的度数为x，列式计算即可．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题考查了正方形的性质、矩形的性质、由面积关系进行转化是解题的关键．
连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
【解答】
解：连接DE，


∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．  
9.【答案】14 
【解析】解：从其中一箱中随机抽取1件产品，共有8种等可能的结果，其中能中奖有2种情况，
∴P=28=14；
故答案为：14．
根据概率公式进行计算即可．
本题考查求概率．熟练掌握概率公式是解题的关键．

10.【答案】130° 
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=40°，
∴∠CAB=50°，
∵将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，
∴旋转角为∠BAB1=180°−50°=130°，
故答案为：130°．
由三角形内角和定理可求∠CAB=50°，由旋转的性质可得旋转角为∠BAB1=130°．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．

11.【答案】13 
【解析】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：39=13．
故答案为：13．
设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=mn．

12.【答案】(−1,2) 
【解析】解：由题意知，AD=BC=4，
∴A(−1,2)，
故答案为：(−1,2)．
由题意知，AD=BC=4，进而可得A点坐标．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形．解题的关键在于熟练掌握平行四边形对边相等．

13.【答案】④①②③ 
【解析】解：由题意可得，
根据数据收集过程可得，首先要先设计调查表格，然后抽样、分析数据、整理数据，最后得出结论，
故答案为：④①②③．
直接利用调查收集数据的过程与方法分析排序即可得到答案；
本题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握调查的过程是解题关键．

14.【答案】3 
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=8，AD=10，
∴AD=BC=10,AO=12AC，∠BAC=90°，
∴AC= BC2−AB2=6，
∴AO=12AC=3；
故答案为：3．
根据平行四边形的性质可得AD=BC,AO=12AC，勾股定理求出AC，即可得解．
本题考查平行四边形的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分，是解题的关键．

15.【答案】12 
【解析】解：三角形ABC的边BC的长为6.将三角形ABC向上平移2个单位得到三角形A′B′C′，且BB′⊥BC，
则：S△ABC=S△A′B′C′，四边形BCC′B′是长方形，BB′=2，
∴阴影部分的面积=矩形BB′C′C的面积=BC⋅BB′=6×2=12．
故答案为：12．
根据平移的性质，可知S△ABC=S△A′B′C′，可得S阴影=S矩形BB′C′C，进行求解即可．
本题考查的是平移的性质，熟练掌握图形平移不变性的性质是解题的关键．

16.【答案】2 
【解析】解：连接AP，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=BC=AD=CD=6，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC=3，
∵折叠，
∴AF=AB=AD，∠AFE=∠B=90°，EF=BE=3
∴∠AFP=90°=∠D，
∵AP=AP，
∴Rt△FAP≌Rt△DAP(HL)，
∴DP=FP，
设DP=FP=x，则：CP=6−x，EP=EF+PF=3+x，
在Rt△ECP中，(x+3)2=(6−x)2+32，
解得：x=2；
∴DP=2；
故答案为：2．
连接AP，证明Rt△FAP≌Rt△DAP，得到DP=FP，设DP=FP=x，在Rt△ECP中，利用勾股定理求解即可．
本题考查正方形中的折叠问题．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，是解题的关键．

17.【答案】是 
【解析】(1)证明：∵▱ABCD，点E是▱ABCD的边AD的中点，
∴CD//AF，DE=AE，
∴∠EFA=∠ECD，
又∠FEA=∠CED，
∴△AEF≌△DEC(ASA)；
(2)四边形ACDF是平行四边形；理由如下：

∵△AEF≌△DEC(ASA)，
∴EF=CE，
又DE=AE，
∴四边形ACDF是平行四边形．
(1)利用ASA证明三角形全等即可；
(2)根据全等，得到EF=CE，即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关性质和判定方法，是解题的关键．

18.【答案】17  (1+4n) 
【解析】解：(1)∵第一次划分所得到的菱形的个数为：5=1+4，
第二次划分所得到的菱形的个数为：9=1+4+4=1+4×2，
第三次划分所得到的菱形的个数为：13=1+4+4+4=1+4×3，
∴第四次划分所得到的菱形的个数为：1+4×4=17(个)，
第n次划分所得到的菱形的个数为：(1+4n)个，
故答案为：17；(1+4n)；
(2)不能，理由如下：
1+4n=2023，
解得：n=505.5，
故不能得到2023个菱形．
(1)根据划分的方式进行求解即可；
(2)结合(1)中的规律进行求解即可．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．

19.【答案】200  30 
【解析】解：(1)由题意可得：m=10÷5%=200(人)，
n=100−25−25−5−15=30．
故答案为：200，30；
(2)活动3天的人数为：200×15%=30(人)，
补全图形如下：

(3)该校八年级1000名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数为：
1000×50+50200=500(人)．
答：估计该校八年级1000名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的有500人．
(1)根据各部分所占百分比之和为1可求得n的值，由参加“综合与实践”活动为2天的人数及其所占百分比可得m的值；
(2)用总人数乘以活动天数为3天的学生人数所占百分比可得对应人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中参加“综合与实践”活动4天及以上的人数所占百分比即可得．
本题考查了条形统计图，理解题意，获取两个图中相关联的信息是解本题的关键．

20.【答案】  3  0.4 
【解析】解：(1)根据题意，填写表格如下：
每分钟脉搏次数
130≤x<140
140≤x<150
150≤x<160
160≤x<170
x>170
划记
丅

正
正一
一
频数
2
3
8
6
1
(2)每分钟脉搏次数在150≤x<160这一组的频率是820=0.4；
故答案为：0.4
(3)若要知道抽测中以上每种范围的人数占总人数的百分比，应选择扇形统计图，
每分钟脉搏次数在130≤x<140这一组的百分比为220×100%=10%；
每分钟脉搏次数在140≤x<150这一组的百分比为320×100%=15%；
每分钟脉搏次数在150≤x<160这一组的百分比为820×100%=40%；
每分钟脉搏次数在160≤x<170这一组的百分比为620×100%=30%；
每分钟脉搏次数在x>170这一组的百分比为120×100%=5%；
画出扇形统计图，如下：

(1)根据题意，填写表格，即可；
(2)根据频率等于频数与总数量的比值，即可求解；
(3)根据扇形统计图的意义，即可求解．
本题主要考查了频数分布表，求频率，扇形统计图，熟练掌握频率等于频数与总数量的比值是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图所示：点F即为所求；

∵平行四边形ABCD，
∴AB//DC，OA=OC，AB=CD，
∵E，O分别为AB，AC的中点，
∴EO//BC,BE=12AB，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴CF=BE=12AB=12CD，
∴F是CD的中点；
(2)如图所示，点G即为所求；

由(1)知OE=12BC=12EF，
∴O为EF的中点，
同法(1)可得：四边形AEFD，AEOG均为平行四边形，
∴AG=OE=12EF=12AD，
∴G是EF的中点． 
【解析】(1)连接AC，BD交于点O，连接BO并延长，交CD于点F，点F即为所求；
(2)在(1)图的基础上，连接AF，DE交于点H，连接OH并延长，交AD于点G，点G即为所求．
本题考查作图—复杂作图．熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键．

22.【答案】0.26  0.2 
【解析】解：(1)23÷77≈0.30；
42÷158≈0.27；
102÷398≈0.26；
206÷794≈0.26；
⋯；
∴当投掷的次数很多时，则m：n的值越来越接近0.26；
故答案为：0.26；
(2)206÷1000≈0.2；
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.2附近，
故答案为：0.2；
(3)设封闭图形的面积为a，根据题意得：πa=0.2，
∴a=5π．
答：估计整个封闭图形的面积是5π平方米．
(1)根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；
(2)大量试验时，频率可估计概率；
(3)利用概率公式求出封闭图形的面积．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：(1)由作图痕迹可知：DA⊥AB，DC⊥BC，
∴∠DAB=∠DCB=∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，依据是：有三个角是直角的四边形是矩形；
故答案为：有三个角是直角；
(2)四边形ABCD是矩形，理由如下：
由作图过程可知：AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形． 
【解析】(1)根据三个角是直角的四边形是矩形，进行判定；
(2)先证明四边形ABCD是平行四边形，即可得到四边形ABCD是矩形．
本题考查矩形的判定．熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键．

24.【答案】(6−t))  2t  2或103 
【解析】解：(1)①∵动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，运动的时间为t秒，
∴AP=tcm，CQ=2t cm，
∴DP=AD−AP=(6−t)cm；
故答案为：(6−t)，2t；
②∵动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，
∴动点P从点A运动到点D的时间为6s，动点Q从点C运动到点B的时间为4s，
∵其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，
∴t≤4；
∵CQ=2t cm，
∴BQ=BC−CQ=(8−2t)cm，
当四边形APQB为矩形时，AP=BQ，
即：t=8−2t，
解得：t=83，满足题意；
∴t=83；
(2)①当四边形PDCQ为平行四边形时，PQ=CD，此时PD=CQ，
即：6−t=2t，
解得：t=2；
②当四边形PDCQ为等腰梯形时，满足PQ=CD，如图，如图所示，分别过P点和D点作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则：∠DFB=∠PEB=90°，

∵AD//BC，∠B=90°
∴PE=DF，∠A=∠B=∠ADF=∠DPE=90°，
∴四边形ABFD为矩形，四边形PEFD为矩形，
∴BF=AD=6cm，PD=EF=(6−t)cm，
∴CF=BC−AD=2cm，
∵PQ=CD，PE=DF，
∴Rt△PQE≌Rt△DCF(HL)，
∴QE=CF=2cm，
∴EF=CQ−2CF=(2t−4)cm，
∴6−t=2t−4，解得：t=103，满足题意；
综上：t=2或t=103时，PQ=CD．
故答案为：2或103．
(1)①根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；②根据四边形APQB为矩形时，AP=BQ，列式计算即可；
(2)分四边形PDCQ为平行四边形和等腰梯形，两种情况进行求解即可．
本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．

25.【答案】2 3 
【解析】(1)证明：∵点P是对角线BD的中点，点M是DC的中点，点N是AB的中点，
∴PM=12BC,PN=12AD，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN；
(2)解：①连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，

∵点P、Q分别为AB、CD的中点，AD=8，BC=6，
∴PG=12AD=4,QG=12BC=3,PG//AD,QG//BC，
∴∠QGD=∠CBD，∠GPB=∠A，
∵∠PGD=∠GPB+∠GBP，
∴∠PGD+∠QGD=∠CBD+∠GPB+∠GBP=∠A+∠ABC=90°，
即：∠QGP=90°，
∴PQ= PG2+QG2=5；
②连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，

∵点P、Q分别为AB、CD的中点，AD=BC=4，
∴PG=12AD=2,QG=12BC=2,PG//AD,QG//BC，
∴∠QGD=∠CBD，∠GPB=∠A，
∵∠PGD=∠GPB+∠GBP，
∴∠PGD+∠QGD=∠CBD+∠GPB+∠GBP=∠A+∠ABC=120°，
即：∠QGP=120°，
∵PG=QG=2，
∴∠GPQ=∠GQP=12(180°−∠PGQ)=30°，
过点G作GH⊥PQ于点H，
∴PQ=2PH,GH=12PG=1，
∴PH= PG2−GH2= 3，
∴PQ=2PH=2 3．
(1)利用三角形的中位线定理，即可得证；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，利用三角形的中位线定理和勾股定理进行求解即可；
(3)连接BD，取BD的中点G，连接PG，QG，利用三角形的中位线定理，推出△PGQ为等腰三角形，过点G作GH⊥PQ，利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定性质，勾股定理，添加辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键．

26.【答案】45  3 
【解析】解：(1)①过F作FH⊥AN，
∵四边形ABCD是正方形，DE绕点E顺时针旋转90°到EF，FH⊥AN，
∴∠A=∠FHE=90°，∠ADE+∠DEA=90°，∠HEF+∠DEA=90°，DE=FE，
∴∠ADE=∠HEF，

在△ADE与△HEF中，
∠ADE=∠HEF∖hfill∠A=∠FHE∖hfillDE=FE∖hfill，
∴△ADE≌△HEF(AAS)，
∴FH=AE=1；
②∵△ADE≌△HEF，
∴EH=AD=AB，
∵FH=AE=1，
∴BH=AE=HF，
∵FH⊥AN，
∴∠FBN=45°，
故答案为：45；
③连接AC、BD交于一点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
即交点为M点，DM=BM，
延长DC至H使DC=CH，连接BH，
∵DM=BM，DC=CH，
∴CM//BH，CM=12BH，
∴点M的移动轨迹为线段MC，
根据勾股定理可得，CM=12× ( 18)2+( 18)2=3，
故答案为3；

(2)∵四边形CPEF为菱形，
∴PE=PC=FC=FE=DE，
∴AE垂直平分DP，以A为圆心AD为半径找到点P，连接PC，以P为圆心PC长为半径画圆交AN于E，再分别以E，C为圆心PC长为半径画圆交于一点即为F点，如图所示；

②由①得，AD=AP，
∵正方形的边长为6，
∴DP=2×6=12．
(1)①过F作FH⊥AN，易得△ADE≌△HEF即可得到答案；②由①可得BH=AE=HF，即可得到答案；③连接AC、BD交于一点根据正方形的对角线互相垂直平分且相等即可得到是中点，延长DC至H使DC=CH，根据三角形中位线可得点M的移动轨迹为线段MC，结合勾股定理即可得到答案；
(2)①根据菱形性质可得，AE垂直平分DP即可找到点P，连接PC，以P为圆心PC长为半径画圆交AN于E，再分别以E，C为圆心PC长为半径画圆交于一点即为F点，即可得到答案；
②根据①的作图直接求解即可得到答案．
本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质与判定，根据题意作出辅助线找到相应点是解题的关键．

27.【答案】2  22.5°  2− 2 
【解析】解：(1)∵△ADE沿AE翻折后，点F恰好与点M重合，AD=2，
∴AD=AM=2，DE=DM，
∴AE⊥DM，∠DAE=∠DAM，
∵∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠D4M=30°，
∴DE=EM=12AM=1，
∴DM=2，
故答案为：2；
(2)①四边形ADF是菱形，证明如下：
∵△ADE沿AE翻折后，点F落在AB边上，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB=4，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠CEF=∠D，
∴AD//EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AD=AF，
∴四边形ADEF是菱形；
②∵△ADE沿AE翻折后，点F落在AB边上，
∴DE=EF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=EF，
∴AD=DE，
如图：过A作AG⊥DM，

∴∠ADC=45°，
∴AG=DG，
∴AG2+DG2=DE2，
即2AG2=DE2，
则AG=DG= 22DE，
∵AD=AM，
∴DM=2DG= 2DE，
∴DC=DM+MC= 2DE+ 2DE=2 2DE=4，
即DE= 2，
∴AG= 22DE=1，
∴四边形ABCD的面积为CD⋅AG=4×1=4；
③如图：作点E关于AD的对称点I，连接D′I，D′E，
则D′I=D′E，IH=HE，
过I作IK//AD且IK=AD，连接A′K，
∴四边形D′IKA′是平行四边形，
∴D′I=KA′，
∴D′E=KA′，
∴当M，A′，K三点共线时，D′E+MA′最小，
∵四边形ED′A′M的周长为EM+D′A′+D′E+MA′，
∴当M，A′，K三点共线时，四边形ED′A′M的周长有最小值，
∵DE= 2，∠ADC=45°，
∴DH=EH=1，则AH= 2−1，JK=1，
∴IH=EH=1，
延长MA交IK于J，
则四边形HEJA是矩形，
∴JA=IH=1，
∴MJ=AJ+MA=1+ 2，
∵AA′//JK，
∴△MAA′∽△MJK，
∴AMMI=AA′JK，
即 2 2+1=AA′1，
解得：AA′=2− 2，
过A′作AL⊥AF，在LF上截取LM=AL，则AA′=A′M=2− 2，
∵∠FAA′=45°，
∴LM=AL=sin45°⋅AA′= 22(2− 2)= 2−1，∠AMA=45°，
∴MF= 2−2( 2−1)=2− 2，
∴MF=A′M，
∴∠AFA′=∠MA′F，
∴∠AFA′+∠MA′F=2∠AFA′=∠AMA′=45°，
解得：∠AFA′=22.5°．

(1)△ADE沿AE翻折后，点F恰好与点M重合、AD=2，可得AD=AM=2，DE=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥DM、∠DAE=∠DAM，进而得到∠DAE=∠DAM=30°，最后根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半即可解答；
(2)①由翻转的性质可得AD=AF，DE=EF、∠D=∠AFE，再根据平行四边形的性质可得DC//AB、DC=AB=4，进而说明四边形ADEF是平行四边形，然后再结合AD=AF即可解答；
②由折叠的性质和菱形的性质可得AD=DE，如图：过A作AG⊥DM，则AG=DG；再根据勾股定理可得AG=DG= 22DE，然后结合已知条件可得DE= 2，进而求得AG= 22DE=1，最后用平行四边形的面积公式计算即可；
③如图：作点E关于AD的对称点I，连接D′I，D′E，则D′I=D′E，IH=HE，过I作IK//AD且IK=AD，连接A′K，先说明当M，A′，K三点共线时，四边形ED′A′M的周长有最小值，再解直角三角形说明IH=EH=1；延长MA交IK于J，则四边形HEJA是矩形可得MJ=AJ+MA=1+ 2，然后再证△MAA′∽△MJK，利用相似三角形对应边成比例列式求得AA′=2− 2；过A′作AL⊥AF，在LF上截取LM=AL，则AA′=A′M=2− 2，然后解直角三角形可得LM=AL=sin45°⋅AA′= 22(2− 2)= 2−1，进而说明MF=A′M，最后根据三角形外角的性质即可解答．
本题考查四边形的综合应用，掌握菱形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．