2022-2023学年上海市静安区市北初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市静安区市北初级中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在同一直角坐标系中，函数和函数是常数且的图象只可能是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.  如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列方程中，有实数解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在一个凸多边形中，它的内角和是，则为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某铁路隧道严重破坏．为抢修其中一段米的铁路，施工队每天比原计划多修米，结果提前天开通列车．原计划每天修多少米？设原计划每天修米，所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.  一次函数的图象不经过第______象限．

8.  方程的解是______ ．

9.  如果分式与的值相等，则______．

10.  将直线向上平移个单位后，所得直线的表达式是______．

11.  已知一次函数与反比例函数的图象，有一个交点的纵坐标是，则的值为______．

12.  已知点、点是直线上的两点，则和的大小关系为______ ．

13.  直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为______．

14.  在方程中，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是______．

15.  一辆汽车在行驶过程中，路程千米与时间小时之间的函数关系如图所示．当时，关于的函数解析式为，那么当时，关于的函数解析式为______．

16.  已知关于、的一次函数的图象不经过平面直角坐标系中的第二象限，那么的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解关于的方程：．

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
解分式方程：．

20.  本小题分
．

21.  本小题分
如图：已知，求证：．

22.  本小题分
已知：直线与轴交于点，与轴交于点，将绕着坐标原点逆时针旋转，与轴交于点，与轴交于点．
求、两点的坐标；
过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．

23.  本小题分
为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？

24.  本小题分
有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器，初始时，两容器同时开进水管，甲容器到分钟时，关闭进水管打开出水管；到分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水，到分钟时，同时关闭两容器的所有水管．两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器的水量升与时间分之间的函数关系如图所示，解答下列问题：

甲容器的进水管每分钟进水______ 升，出水管每分钟出水______ 升．
求乙容器内的水量与时间的函数关系式．
求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间．

25.  本小题分
年月日，以“天人长安，创意自然一一城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种：

某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票张，其中种票的张数是种票张数的倍还多张，设购买种票张数为，种票张数为
写出与之间的函数关系式；
设购票总费用为元，求出元与张之间的函数关系式；
若每种票至少购买张，其中购买种票不少于张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买，，三种票的张数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当时，一次函数过一、二、三象限，反比例函数过一、三象限；
当时，一次函数过一、二、四象限，反比例函数过二、四象限；
故选：．
令和，算出一次函数和反比例经过的象限和题上比较即可
本题考查了一次函数和反比例函数，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解决本题的关键
 

2.【答案】 

【解析】解：一次函数的函数值随的增大而减小，；
图象与轴的负半轴相交，．
故选D．
先根据函数的增减性判断出的符号，再根据图象与轴的负半轴相交判断出的符号．
一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，为增函数；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，为增函数；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，为减函数；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，为减函数．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．首先根据不等式的性质知，不等式的解集即为不等式的解集，然后由一次函数的图象可知，直线落在轴上方的部分所对应的的取值，即为不等式的解集，从而得出结果．
【解答】

解：观察图象可知，当时，直线落在轴的上方，
即不等式的解集为，

，
解集为．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
无实数解，故A错误；
B、，
，
，
，故B正确；
C、，，
且，
且，
无解，故C错误；
D、，
，
，
，
无解，故D错误；
故选：．
根据二次根式的被开方数非负性判断未知数的取值，即可判断方程的解．
此题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，解一元一次方程，正确掌握各知识点是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
故选：．
根据多边形的内角和公式求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是掌握边形的内角和等于．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语以及等量关系是解决问题的关键．
分别表示出原计划和实际修路的时间，再根据“提前天开通列车”列方程即可．
【解答】
解：由题意，原计划修路的时间为天，实际修路的时间为天，
则所列方程为：．
故选：．  

7.【答案】二 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当时，函数图象经过一、三象限，当时，函数图象与轴的负半轴相交，据此解答即可．
【解答】
解：因为一次函数中，，
所以此函数图象经过一、三象限，
因为，
所以此函数图象与轴负半轴相交，
所以此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．  

8.【答案】无解 

【解析】解：两边平方得：，
解得：，，
经检验，和是原方程的增根，
原方程无解，
故答案为：无解．
先把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查解无理方程和解一元二次方程，二次根式的性质，能把无理方程转化成有理方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
方程两边都乘以得：，
解这个方程得：，
，
，
检验：把代入，
即是原方程的解，
故答案为：．
根据题意得出分式方程，求出方程的解．再代入进行检验即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：向上平移个单位后的解析式为：．
故填：．
根据平移的性质，向上平移几个单位的值就加几．
本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，要熟练掌握平移的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，交点的纵坐标是，
，
解得．
交点为
，
解得：．
故答案为：．
先把代入反比例函数解析式，求出交点坐标，再代入一次函数表达式即可求出值．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于理解交点坐标满足两个函数的解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，，
随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
根据一次函数值的正负判断函数的增减性，再比较点、点横坐标的大小即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特点，熟知中，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：将点代入直线，得，
从图中可看出，当时，，
故答案为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系．
首先把坐标代入直线，求出的值，再根据函数图象可得答案．
 

14.【答案】 

【解析】解：原方程移项得：，
把代入原方程得：，
方程两边同乘以整理得：．
移项观察，方程各项具备倒数关系，设，则原方程另一个分式为可用换元法转化为关于的分式方程．去分母即可．
换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，关于的函数解析式为，
当时，，
由图象可知：当时，，
当时，设关于的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得，
当时，关于的函数解析式为，
故答案为：．
根据“当时，关于的函数解析式为”求出当时的值，设当时，关于的函数解析式为，将，代入即可．
本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过平面直角坐标系中的第二象限，
，，
解得，
故答案为：．
根据题意得到，，解不等式即可得到的取值范围．
此题考查了一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出，是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
当，即时，
；
当，即时，
方程有无数个解．
综上，当时，；当时，方程有无数个解． 

【解析】方程左边变形后，然后分和两种情形讨论．
此题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
 

18.【答案】解：方程两边同时平方，得 ，
整理后，得：，
解得：，，
经检验：是原方程的增根，是原方程的根，
所以，原方程的根是． 

【解析】首先方程两边分别平方，再解一元二次方程，求出的值以后，要把的值代入到远方程进行检验．
本题主要考查解无理方程，关键在于通过平方把无理方程转化为一元二次方程，注意最后要进行检验．
 

19.【答案】解：原方程化为：，
设，则原方程化为：，
即，
解得：或，
当时，，
整理得：，
，
，
解得：，；
当时，，
整理得：，
，
解得：，
经检验，，都是原方程的解，
所以原方程的解是，，． 

【解析】原方程化为，设，则原方程变形为，求出的值，当时，方程为，求出方程的解，当时，方程为，求出方程的解，最后进行检验即可．
本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
 

20.【答案】解：，
将因式分解得：，
或，
将因式分解得：，
或，
原方程化为：，，，，
解这些方程组得：，，，．
原方程组的解为：，，，， 

【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
． 

【解析】根据四边形的内角和定理及同角的补角相等即可证明．
本题主要考查了四边形的内角和定理及同角的补角相等，熟练掌握同角的补角相等是解题的关键．
 

22.【答案】解：对于直线，
令得，解得，
令，得，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
将绕着坐标原点逆时针旋转，与轴交于点，与轴交于点，
，，
，；

，，
，
过点作直线与轴交于点，
或，
，
当时，；
当时，．
 

【解析】先求出、的长，进而利用旋转的性质即可得解；
由，，求出点的坐标，进而即可求得的面积．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，坐标与图象以及旋转图形的性质，熟练掌握一次函数的性质时解题的关键．
 

23.【答案】解：设原计划每天加固的长度米．
由题意可得：．
解之得：或不合题意舍去
经检验：是原方程的解．
如果要求每天加固米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加米．
答：每天加固的长度还要再增加米． 

【解析】此题的关键是未知数的设置，读懂题意，应该设原计划每天加固的长度米，然后根据“每天加固的长度比原计划增加了米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短天．”列出方程．
利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
 

24.【答案】；．
设与时间的函数关系式为，由图象可知，在函数图象上，

解得：．
；

由图象可知从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间在分之间，
，，
当时，，
设，，把，代入上式得，
，
解得：，
，
由题意得：，
解得：．
初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间为分钟． 

【解析】

解：进水管的速度为：升分，
出水管的速度为：升分．
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】
由分钟的函数图象可知进水管的速度，根据分钟的函数图象求出水管的速度即可；
可设与时间的函数关系式为，由图象可知，在函数图象上，代入求出和的值即可；
由图象可知从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间在分之间，求出此时间内甲的函数表达式，解方程组即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题和用待定系数法求一次函数的解析式，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．  

25.【答案】解：由题意得，种票数为：
则化简得，．
即与之间的函数关系式为：；

化简得，

即购票总费用与张之间的函数关系式为：

由题意得，
解得，
是正整数，
可取、、
那么共有种购票方案．
从函数关系式
，
随的增大而减小，
当时，的最值最小，即当票购买张时，购票的总费用最少．
购票总费用最少时，购买、、三种票的张数分别为、、． 

【解析】根据、、三种票的数量关系列出与的函数关系式；
根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数，即可求出元与张之间的函数关系式；
根据题意求出的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析随的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值．