2022年北京市昌平区高考数学二模试卷

这是一份2022年北京市昌平区高考数学二模试卷，共23页。

2022年北京市昌平区高考数学二模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x＞0} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x≥1} D．{x|0＜x＜2}
2．（4分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（　　）
A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．（4分）为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照[40，60），[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（　　）

A．300 B．450 C．480 D．600
4．（4分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝a5，a2﹣a1＝2，则a4＝（　　）
A．4 B．7 C．8 D．9
5．（4分）已知双曲线的焦距为4，其右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C． D．y＝±x
6．（4分）“”是“函数f（x）＝sin（x+θ）在区间上单调递减”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（4分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．A1O∥EF B．A1O⊥EF
C．A1O∥平面EFB1 D．A1O⊥平面EFB1
8．（4分）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
9．（4分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+2（a＜0），则关于x的不等式f（x）＞log2x的解集是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（0，1） C．（0，4） D．（4，+∞）
10．（4分）在△ABC中，∠B＝45°，c＝4，只需添加一个条件，即可使△ABC存在且唯一．在条件：①a＝3；②b＝2；③cosC＝﹣中，所有可以选择的条件的序号为（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）抛物线y2＝2x的准线方程为 　 　
12．（5分）在的展开式中，常数项为 　 　.（请用数字作答）
13．（5分）已知D是△ABC的边AB的中点，||＝2，∠CAB＝，则＝　 　；＝　 　．
14．（5分）若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为 　 　．
15．（5分）刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史．小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案﹣即图中的阴影部分．它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形A1B1C1，取正三角形A1B1C1各边的三等分点A2，B2，C2，得到第一个阴影三角形A2B1B2；在正三角形A2B2C2中，再取各边的三等分点A3，B3，C3，得到第二个阴影三角形A3B2B3；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则A3B2＝　 　；图中螺旋形图案的面积为 　 　．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BM；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1M﹣C1的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A1MC1的距离．

17．（13分）已知函数，且f（x）的最小正周期为π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，若g（x）在区间[0，m]上的最大值为2，求m的最小值．
条件①：f（x）的最小值为﹣2；
条件②：f（x）的图象经过点；
条件③；直线是函数f（x）的图象的一条对称轴．
18．（14分）某产业园生产的一种产品的成本为50元/件．销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元．为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示．
产品等级
优等品
一等品
二等品
普通品
样本数量（件）
30
50
60
60
（Ⅰ）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；
（Ⅱ）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为s12，s22，比较s12，s22的大小．（请直接写出结论）
19．（15分）已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为A，B，且|AB|＝4．过点（0，1）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N（不与点A，B重合）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AM与直线y＝4相交于点P，求证：B，P，N三点共线．
20．（15分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx+b，．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝b时，函数F（x）＝f（x）+g（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
21．（15分）已知数列{an}，给出两个性质：
①对于任意的i∈N*，存在ki∈R，当j＞i，j∈N*时，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立；
②对于任意的i∈N*，i≥2，存在ki∈R，当j＜i，j∈N*时，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立．
（Ⅰ）已知数列{an}满足性质①，且ki＝2（i∈N*），a1＝1，a4＝7，试写出a2，a3的值；
（Ⅱ）已知数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n﹣1，证明：数列{bn}满足性质①；
（Ⅲ）若数列{cn}满足性质①②，且当i∈N*，i≥2，时，同时满足性质①②的ki存在且唯一．证明：数列{cn}是等差数列．

2022年北京市昌平区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（4分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x＞0} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x≥1} D．{x|0＜x＜2}
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x＞0}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）若复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝（　　）
A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（4分）为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照[40，60），[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（　　）

A．300 B．450 C．480 D．600
【分析】由频率分布直方图先求频率，再求家庭数即可．
【解答】解：由频率分布直方图可知，
人均月用电量低于80千瓦时的频率为（0.002+0.008）×20＝0.2，
故估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为3000×0.2＝600，
故选：D．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
4．（4分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝a5，a2﹣a1＝2，则a4＝（　　）
A．4 B．7 C．8 D．9
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解答】解：由题意可知等差数列{an}的公差d＝2，
∴＝a1+4×2，
解得a1＝1，
∴a4＝a1+3d＝1+6＝7，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
5．（4分）已知双曲线的焦距为4，其右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C． D．y＝±x
【分析】由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为b，结合焦距求解c，求出a，即可求得双曲线C的渐近线方程．
【解答】解：由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为b＝，焦距为4，可得c＝2，所以a＝，
双曲线的渐近线方程：y＝±x
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线中几何量之间的关系，考查数形结合的能力，属于基础题．
6．（4分）“”是“函数f（x）＝sin（x+θ）在区间上单调递减”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当时，f（x）＝cosx，则f（x）在区间上单调递减，即充分性成立，
反之若f（x）在区间上单调递减，当θ＝+2π时，f（x）＝sin（x++2π）＝cosx在（0，）上单调递减，但此时θ＝不成立，即必要性不成立，
则“”是“函数f（x）＝sin（x+θ）在区间上单调递减”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键，是基础题．
7．（4分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．A1O∥EF B．A1O⊥EF
C．A1O∥平面EFB1 D．A1O⊥平面EFB1
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，
以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A1（2，0，2），O（1，1，0），E（2，2，1），F（0，0，1），B1（2，2，2），
＝（﹣1，1，﹣2），＝（﹣2，﹣2，0），＝（0，0，1），
∵与不共线，∴A1O与EF不平行，故A错误；
∵＝2﹣2﹣0＝0，∴A1O⊥EF，故B正确；
设平面EFB1的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
＝﹣1﹣1＝﹣2≠0，∴A1O与平面EFB1不平行，故C错误；
∵与不共线，∴A1O与平面EFB1不垂直，故D错误．
故选：B．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．（4分）已知直线l：ax﹣y+1＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】当实数a变化时，△ABC的最大面积为9，可知此时AC与BC相互垂直时，可求出r的值，进而求出a的值．
【解答】解：设AC与BC的夹角为θ，
由题意可知，S△ABC＝AC×BC×sinθ＝r2sinθ≤r2＝2，当sinθ＝1时取等号，
故△ABC的面积的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最大值的求法，属于中档题．
9．（4分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+2（a＜0），则关于x的不等式f（x）＞log2x的解集是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（0，1） C．（0，4） D．（4，+∞）
【分析】由对数函数的定义域和x＝1，x＝4，运用排除法和数形结合法，可得结论．
【解答】解：f（x）＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
由y＝log2x的定义域为（0，+∞），
可排除选项A；
当x＝1时，a＜0，f（1）＝2﹣3a＞0，log21＝0，不等式成立，可排除选项B、D；
当x＝4时，f（4）＝2，log24＝2，结合图像可得不等式的解集为（0，4），
故选：C．

【点评】本题考查不等式的解法，运用排除法和图像法是解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题．
10．（4分）在△ABC中，∠B＝45°，c＝4，只需添加一个条件，即可使△ABC存在且唯一．在条件：①a＝3；②b＝2；③cosC＝﹣中，所有可以选择的条件的序号为（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【分析】由余弦定理，结合余弦函数的单调性及三角形的性质逐一判断即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝45°，c＝4，
若添加条件①，则由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝10，即b＝，即△ABC存在且唯一；
若添加条件②，则由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：a2﹣4a﹣4＝0，解得a＝，即△ABC存在且唯一；
若添加条件③，则由﹣，则C＞135°，则B+C＞45°+135°＝180°，即△ABC不存在，
即可以选择的条件的序号为①②，
故选：B．
【点评】本题考查了余弦定理，重点考查了余弦函数的单调性及三角形的性质，属基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）抛物线y2＝2x的准线方程为 　　
【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．
【解答】解：抛物线y2＝2x的准线方程为：x＝﹣＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
12．（5分）在的展开式中，常数项为 　60　.（请用数字作答）
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，进而可以求解．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1，2，…，6，
令6﹣，解得r＝4，
所以展开式的常数项为C＝60，
故答案为：60．
【点评】考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
13．（5分）已知D是△ABC的边AB的中点，||＝2，∠CAB＝，则＝　3　；＝　﹣　．
【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
【解答】解：由||＝2，∠CAB＝，则＝＝；
＝＝，
故答案为：3；﹣．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了运算能力，属基础题．
14．（5分）若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为 　（不唯一）　．
【分析】由题意可知x＝0是函数的一个零点，所以当x＜0时，函数f（x）有且仅有一个零点，即2x＝b在（﹣∞，0）上仅有一个解，根据2x的范围求解即可．
【解答】解：因为当x≥0时，f（x）＝，令f（x）＝0，解得x＝0，
又因为f（x）有且仅有两个零点，
所以当x＜0时，f（x）＝0仅有一个零点，
即2x﹣b＝0在（﹣∞，0）上仅有一个解，
等价于2x＝b在（﹣∞，0）上仅有一个解，
又因为0＜2x＜1，
所以只需满足0＜b＜1即可．
故答案为：（不唯一）．
【点评】本题属于开放型问题，考查了函数的零点、转化思想，属于基础题．
15．（5分）刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史．小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案﹣即图中的阴影部分．它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形A1B1C1，取正三角形A1B1C1各边的三等分点A2，B2，C2，得到第一个阴影三角形A2B1B2；在正三角形A2B2C2中，再取各边的三等分点A3，B3，C3，得到第二个阴影三角形A3B2B3；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则A3B2＝　　；图中螺旋形图案的面积为 　　．

【分析】根据余弦定理得到等边三角形边长为等比数列，即可得A3B2的长度，再根据三角形的面积公式，求出各个阴影三角形面积成等比数列，能求出结果．
【解答】解：设正三角形ABC的边长为a1，后续各正三角形的边长依次为a2，a3，•••，an，
设第一个阴影三角形面积为S1，后续阴影三角形面积为S2，S3，•••，Sn，
由题意知a1＝3，an＝＝an﹣1，
∴，∴{an}是以3为首项，为公比的等比数列，
∴an＝3×（）n﹣1＝（）n﹣3，∴A3B2＝＝，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵，∴{Sn}是以为首项，以为公比的等比数列，
∴图中阴影部分面积为：
S＝＝．
故答案为：；．
【点评】本题考查螺旋形图案的面积的求法，考查等比数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BM；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1M﹣C1的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A1MC1的距离．

【分析】（Ⅰ）根据线面垂直判定定理进行证明；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，将二面角的问题转为向量的夹角问题求解；
（Ⅲ）利用距离公式计算即可．
【解答】证明：（I）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
因为BC⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，
所以BC⊥AB1，即BM⊥AB1．
因为四边形AA1B1B是正方形，
所以A1B⊥AB1．
因为A1B∩BM＝B，A1B，BM⊂平面A1BM，
所以AB1⊥平面A1BM．
解：（II）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），A1（2，0，2），M（1，2，0），C1（0，2，2），

所以，
由（I）知，平面A1BM的一个法向量为，
设平面A1MC1的一个法向量为，
则所以x＝y，x＝2z，
令x＝2，则y＝2，z＝1，所以，
所以．
由图可知，二面角B﹣A1M﹣C1为钝角，
所以二面角B﹣A1M﹣C1的大小为135°；
（III）设点A到平面A1MC1的距离，
则．
所以点A到平面A1MC1的距离为．
【点评】本题考查了线面垂直的证明，二面角的求解以及点到平面的距离问题，属于基础题．
17．（13分）已知函数，且f（x）的最小正周期为π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，若g（x）在区间[0，m]上的最大值为2，求m的最小值．
条件①：f（x）的最小值为﹣2；
条件②：f（x）的图象经过点；
条件③；直线是函数f（x）的图象的一条对称轴．
【分析】（Ⅰ）先根据已知求出f（x）的最小正周期，即可求解ω，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和φ的值，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质可得关于m的不等式，即可求解．
【解答】解：由题意知T＝π，ω＝2，
（I）选条件①②：∵f（x）的最小值为﹣2；∴A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），
∵f（x）的图象经过点，得f（）＝2sin（2×+φ）＝，∴sinφ＝﹣，
∵|φ|＜，∴∵φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），
选条件①③：∵f（x）的最小值为﹣2；∴A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），
∵直线是函数f（x）的图象的一条对称轴．
∴2×+φ＝+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，∴∵φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），
选条件②③：∵直线是函数f（x）的图象的一条对称轴．
∴2×+φ＝+kπ，k∈Z，即φ＝﹣+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，∴∵φ＝﹣，∴f（x）＝Asin（2x﹣），
∵f（x）的图象经过点，得f（）＝Asin（2×﹣）＝，∴A＝2，
∴f（x）＝2sin（2x﹣），
（II）＝2sin（2x﹣）+2cos2x＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
由x∈[0，m]，2x+∈[，2m+]，
若g（x）在区间[0，m]上的最大值为2，则2m+≥，∴m≥，
∴m的最小值为．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（14分）某产业园生产的一种产品的成本为50元/件．销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元．为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如表所示．
产品等级
优等品
一等品
二等品
普通品
样本数量（件）
30
50
60
60
（Ⅰ）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；
（Ⅱ）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元．设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为s12，s22，比较s12，s22的大小．（请直接写出结论）
【分析】（Ⅰ）求样本空间中随机抽取一件产品为优等品的频率作为概率即可；
（Ⅱ）由题意得X～B（3，0.4），从而求分布列及数学期望；
（Ⅲ）由方差的常用结论可判断s12＝s22．
【解答】解：（Ⅰ）在样本空间中，
随机抽取一件产品为优等品的频率为＝15%，
故若从流水线上随机抽取一件产品，
估计该产品为优等品的概率为15%；
（Ⅱ）由题意得，
样本空间中单件产品利润大于20元的频率为＝0.4，
故X～B（3，0.4），
P（X＝0）＝C•0.40×0.63＝0.216，
P（X＝1）＝C•0.41×0.62＝0.432，
P（X＝2）＝C•0.42×0.61＝0.288，
P（X＝3）＝C•0.43×0.60＝0.064，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E（X）＝3×0.4＝1.2；
（Ⅲ）∵每件产品的销售价格均降低了5元，
∴产品的平均销售价格也降低了5元，
故由方差的定义知，
降价前后这200件样本产品的利润的方差不变，
即s12＝s22．
【点评】本题考查了二项分布的应用，属于中档题．
19．（15分）已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为A，B，且|AB|＝4．过点（0，1）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N（不与点A，B重合）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AM与直线y＝4相交于点P，求证：B，P，N三点共线．
【分析】（Ⅰ）由题意得到关于a，b，c方程组，求解方程组即可确定椭圆方程．
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理即可证得三点共线．
【解答】（Ⅰ）解：根据题意，解得，a2＝8，b2＝4．
所以椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，A（0，2），B（0，﹣2）．
根据题意，直线MN的斜率一定存在，设直线MN的方程为y＝kx+1．
由得2k2+1）x2+4kx﹣6＝0．
根据题意，Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2）．
则．
直线AM的方程为，
令y＝4，得，所以．
因为B（0，﹣2），N（x2，y2），
则直线BN，BP的斜率分别为，
．
x1（y2+2）﹣3x2（y1﹣2）＝x1（kx2+3）﹣3x2（kx1﹣1）
＝﹣2kx1x2+3（x1+x2）
＝
＝0．
所以kBN＝kBP，
所以B，P，N三点共线．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
20．（15分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx+b，．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）无零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝b时，函数F（x）＝f（x）+g（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义列出方程组求解即可；
（Ⅱ）整理，设h（x）＝ex﹣ax（x＞0），通过研究h（x）的单调性进而可确定g（x）的零点，从而得到g（x）无零点时a的取值范围，注意分情况讨论；
（Ⅲ）a＝b时，，求导可得，结合（Ⅱ）中所求，分a≤1，1＜a≤e，a＞e三种情况求解即可．
【解答】解：（I）因为函数，
所以，
因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以f′（1）＝g′（1），f（1）＝g（1），
解得a﹣b＝0，e﹣a＝0，即a＝e，b＝e；
（II）由题意，，
设h（x）＝ex﹣ax（x＞0），h′（x）＝ex﹣a．
（1）当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（x）＞h（0）＝1，
所以g（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上无零点，
当a＞0时，令h′（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna，
（2）当0＜a≤1，即lna≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（x）＞h（0）＝1，
所以g（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上无零点，
当a＞1时，lna＞0，
h（x），h′（x）符号变化如下，
x
（0，lna）
lna
（lna，+∞）
h′（x）
﹣
0
+
h（x）
↘
极小值
↗
所以h（x）min＝h（x）极植＝h（lna）＝a（1﹣lna），
当1﹣lna＞0，即1＜a＜e时，h（x）＞0，
所以g（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上无零点．
当1﹣lna≤0，即a≥e时，由h（0）＝1＞0，h（lna）≤0，所以h（x）至少存在一个零点x0∈（0，lna]，
所以g（x）至少存在一个零点，
综上，若g（x）无零点，实数a的取值范围为（﹣∞，e）；
（Ⅲ）当a＝b时，，定义域为（0，+∞）．
，
由（II）可知，
当a≤1时，h（x）＝ex﹣ax＞1，
当1＜a≤e时，h（x）min＝a（1﹣lna）≥0，
所以当a≤e时，h（x）＝ex﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
此时，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
所以F（x）在x＝1处取得极小值，
当a＞e时，lna＞1，
当1＜x＜lna时，x﹣1＞0，h（x）＜h（1）＝e﹣a＜0，
所以F′（x）＜0，F（x）单调递减，
此时x＝1不是极小值点．即a＞e时，不合题意，
综上，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，e]．
【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的零点问题和极值点问题，属于难题．
21．（15分）已知数列{an}，给出两个性质：
①对于任意的i∈N*，存在ki∈R，当j＞i，j∈N*时，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立；
②对于任意的i∈N*，i≥2，存在ki∈R，当j＜i，j∈N*时，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立．
（Ⅰ）已知数列{an}满足性质①，且ki＝2（i∈N*），a1＝1，a4＝7，试写出a2，a3的值；
（Ⅱ）已知数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n﹣1，证明：数列{bn}满足性质①；
（Ⅲ）若数列{cn}满足性质①②，且当i∈N*，i≥2，时，同时满足性质①②的ki存在且唯一．证明：数列{cn}是等差数列．
【分析】（I）由性质①，可求出a2≥3且a2≤3，可得a2＝3，同理可得a3的值；
（II）由bn＝3×2n﹣1，验证性质①，即可证明；
（III）数列{cn}满足性质①②，代入验证，即可得当i≥2时，ci+1﹣ci＝ci﹣ci﹣1，即可证明满足条件的数列{cn}是等差数列．
【解答】解：（I）因为数列{an}满足性质①，且a1＝1，a4＝7，所以a2﹣a1≥k1＝2，所以a2≥3，
又因为a4﹣a2≥4，即7﹣a2≥4，所以a2≤3，所以a2＝3，同理可得a3＝5；
（II）证明：因为数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n﹣1，
所以对于任意的j＞i，i，j∈N*，令m＝j﹣i，则m∈N*，
＝＝＝3×2i﹣1×，
又2m﹣1＝＝1+2+⋯+2m﹣1，则2m﹣1≥m，≥1，
又2i﹣1≥1，所以3×2i﹣1×≥3，
即对于任意的j＞i，≥3，
所以数列{bn}满足性质①；
（III）证明：由题意，数列{cn}满足性质①②，且当i∈N*，i≥2时，同时满足性质①②的ki存在．
即对于任意的i≥2，存在ki∈R，当j≠i时，都有cj﹣ci≥ki（j﹣i）成立，
所以，当i≥2时，ci+1﹣ci≥ki，ci﹣1﹣ci≥﹣ki，即ci+1﹣ci≥ki≥ci﹣ci﹣1，
对于任意的j＞i，有＝≥ci+1﹣ci，
对于任意的j＜i，有≤ki，
＝≤ci﹣ci﹣1，
又当i≥2时，ci+1﹣ci＝ci﹣ci﹣1，
所以满足条件的数列{cn}是等差数列．
【点评】本题考查数列的应用，通过新的数列的定义，联系所学的知识和方法，以及知识的迁移，属中档题．
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