2022年北京市东城区高考数学二模试卷

这是一份2022年北京市东城区高考数学二模试卷，共22页。

2022年北京市东城区高考数学二模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁UA＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤﹣1或x≥3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
2．（4分）已知a＝3，b＝lnπ，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
3．（4分）在（1﹣2x）5的展开式中，第4项的系数为（　　）
A．﹣80 B．80 C．﹣10 D．10
4．（4分）将函数y＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（　　）
A．y＝sin2x B．y＝﹣sin2x C．y＝cos2x D．y＝﹣cos2x
5．（4分）《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载，已知两周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上一点．若C的一条渐近线方程为3x+4y＝0，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）已知α，β∈R则“sin（α+β）＝sin2α”是“β＝α+2kπ（k∈Z）”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）已知点P（cosθ，sinθ）在直线ax﹣y+3＝0上．则当θ变化时，实数a的范围为（　　）
A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．[﹣3，3] D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
9．（4分）已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为﹣3，且a3＝1，a4＝8b4，则数列{anbn}（　　）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
10．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则z＝　 　，|z|＝　 　．
12．（5分）已知向量，，满足，且，，则＝　 　．
13．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上一点，PQ⊥x轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若∠POQ＝45°，则cos∠PFQ＝　 　．
14．（5分）已知奇函数f（x）的定义域为R，且＞0，则f（x）的单调递减区间为 　 　；满足以上条件的一个函数是 　 　．
15．（5分）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（r＞0），劳累程度T（0＜T＜1），劳动动机b（1＜b＜5）相关，并建立了数学模型E＝10﹣10T⋅b﹣0.14r．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（13分）在△ABC中，acosB+bcosA＝ccosC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求c和sinA的值．
条件①：a＝2，AC边上中线的长；
条件②：b＝6，△ABC的面积为6；
条件③：cosB＝﹣，AC边上的高BD的长为2．
17．（13分）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（2010年）到高中三年级（2021年）每年的视力平均值，如图所示．

（1）从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
（2）从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值，求X的分布列和数学期望，
（3）由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
18．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．

19．（15分）已知函数f（x）＝x++alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，求实数a的取值范围．
20．（15分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），离心率为．过点P（6，0）与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线x＝6于点M，N．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点．求证：∠PAN+∠POM＝90°．
21．（15分）对于数列A：a1，a2，…，an（n≥3），定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a2，a3，…，an，a1，记T1（A）＝T（A），Tm（A）＝T（Tm﹣1（A）），m≥2．
对于数列A：a1，a2，…，an与B：b1，b2，…，bn，定义A⋅B＝a1b1+a2b2+…+anbn．
若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n），则称数列A为ℜn数列．
（1）若A：﹣1，﹣1，1，﹣1，1，1，写出T（A），并求A•T2（A）；
（2）对于任意给定的正整数n（n≥3），是否存在ℜn数列A，使得A•T（A）＝n﹣3？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；
（3）若ℜn数列A满足Tk（A）•Tk+1（A）＝n﹣4（k＝1，2，…，n﹣2），求数列A的个数．

2022年北京市东城区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁UA＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤﹣1或x≥3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【分析】求出集合A，利用补集定义能求出∁UA．
【解答】解：∵集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴∁UA＝{x|x≤﹣1或x≥3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）已知a＝3，b＝lnπ，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性可得结论．
【解答】解：a＝，b＝lnπ＞lne＝1，
0＜c＝＜e0＝1，
所以a＜c＜b．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
3．（4分）在（1﹣2x）5的展开式中，第4项的系数为（　　）
A．﹣80 B．80 C．﹣10 D．10
【分析】求展开式的第4项即可求解．
【解答】解：展开式的第4项为T4＝C＝﹣80x3，
所以第4项的系数为﹣80，
故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题
4．（4分）将函数y＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（　　）
A．y＝sin2x B．y＝﹣sin2x C．y＝cos2x D．y＝﹣cos2x
【分析】根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．
【解答】解：y＝cos（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为y＝cos[2（x+）﹣]＝cos（2x+）＝﹣sin2x，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．
5．（4分）《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载，已知两周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用古典概型的概率计算公式即可求解．
【解答】解：设这两个数字均为奇数为事件A，
∵基本事件总数为•＝100，
事件A包含的基本事件数为•＝35，
∴P（A）＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式即可，属于基础题．
6．（4分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上一点．若C的一条渐近线方程为3x+4y＝0，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由双曲线的几何意知＝﹣，结合渐近线求解可得．
【解答】解：∵P为C右支上一点．∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，
∴＝﹣＝﹣，
又双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y＝0，
∴＝，∴＝＝，∴＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
7．（4分）已知α，β∈R则“sin（α+β）＝sin2α”是“β＝α+2kπ（k∈Z）”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用正弦函数性质得出α，β的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．
【解答】解：由sin（α+β）＝sin2α，
可得α+β＝2α+2kπ，k∈Z，或α+β＝π﹣2α+2kπ，k∈Z，
即β＝α+2kπ（k∈Z）或β＝2kπ+π﹣3α（k∈Z），
所以由“sin（α+β）＝sin2α“推不出“β＝α+2kπ（k∈Z）”，由“β＝α+2kπ（k∈Z）“可推出“sin（α+β）＝sin2α”，
所以“sin（α+β）＝sin2α”是“β＝α+2kπ（k∈Z）”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
8．（4分）已知点P（cosθ，sinθ）在直线ax﹣y+3＝0上．则当θ变化时，实数a的范围为（　　）
A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．[﹣3，3] D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的值的应用求出a的取值范围．
【解答】解：已知点P（cosθ，sinθ）在直线ax﹣y+3＝0上．则sinθ﹣acosθ﹣3＝0，
整理得，故，
解得a∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：点和直线的关系，三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9．（4分）已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为﹣3，且a3＝1，a4＝8b4，则数列{anbn}（　　）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【分析】设等差数列{an}的公差为d与等比数列{bn}的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式解方程可得公差和公比，求得anbn，计算前四项，讨论n≥4时，数列{anbn}的单调性可得结论．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d与等比数列{bn}的公比为q，
由首项均为﹣3，且a3＝1，a4＝8b4，
可得﹣3+2d＝1，1+d＝﹣24q3，
解得d＝2，q＝﹣，
则an＝﹣3+2（n﹣1）＝2n﹣5，bn＝﹣3•（﹣）n﹣1，
anbn＝﹣3（2n﹣5）•（﹣）n﹣1，
a1b1＝9，a2b2＝﹣，a3b3＝﹣，a4b4＝，a5b5＝﹣，
当n≥4，且n为奇数时，{anbn}递增，且anbn＜0，有最小值﹣；
当n≥4，且n为偶数时，{anbn}递减，且anbn＞0，有最大值无最小值；
综上可得，{anbn}的最大值为9，最小值为﹣．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
10．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．
【分析】线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值等价于异面直线AD1、A1C1间的距离d，利用A1C1与平面AD1C平行，可得d等于A1到平面AD1C的距离，由V＝V可得答案．
【解答】解：线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值等价于异面直线AD1、A1C1间的距离d，
因为A1C1与平面AD1C平行，故d等于A1到平面AD1C的距离，
由V＝V可得，
•d＝，
解得d＝．
故选：D．

【点评】本题考查了空间线线、线面距离，考查了转化思想，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝3+i，则z＝　1+2i　，|z|＝　　．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝3+i，
∴，
∴．
故答案为：1+2i；．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
12．（5分）已知向量，，满足，且，，则＝　﹣1　．
【分析】通过向量的数量积，化简求解即可．
【解答】解：向量，，满足，且，，
则＝＝﹣﹣＝﹣1﹣0＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查向量的数量积的运算法则的应用，是基础题．
13．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上一点，PQ⊥x轴，垂足为Q，F为C的焦点，O为原点．若∠POQ＝45°，则cos∠PFQ＝　　．
【分析】由题可设直线OP：y＝x，进而可得P（2p，2p），Q（2p，0），可求cos∠PFQ的值．
【解答】解：不妨设P在x轴上方，由∠POQ＝45°，可设直线OP：y＝x，
由，可得x＝y＝2p，
∴P（2p，2p），Q（2p，0），又F（，0），
cos∠PFQ＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
14．（5分）已知奇函数f（x）的定义域为R，且＞0，则f（x）的单调递减区间为 　（﹣1，1）　；满足以上条件的一个函数是 　（答案不唯一）　．
【分析】由，可得f'（x）（x2﹣1）＞0，从而可得或，进而可求出f（x）的单调递减区间，由导函数的单调区间可求得满足条件的一个函数．
【解答】解：由，可得f'（x）（x2﹣1）＞0，
所以或，
所以当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，1），
所以满足条件的一个函数可以为（答案不唯一）
故答案为：（﹣1，1）；（答案不唯一）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想，属基础题．
15．（5分）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（r＞0），劳累程度T（0＜T＜1），劳动动机b（1＜b＜5）相关，并建立了数学模型E＝10﹣10T⋅b﹣0.14r．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得．
【解答】解：设甲与乙的工人工作效率E1，E2，工作年限r1，r2，劳累程度T1，T2，劳动动机b1，b2，
对于①，b1＝b2，r1＞r2，T1＜T2，1＜b＜5，0＜＜1，
∴＞，0＜T1＜T2，
则E1﹣E2＝10﹣10T1•﹣（10﹣10T2•）＝10（T2•﹣T1•）＞0，
∴E1＞E2，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，b1＞b2，r1＞r2，T1＝T2，
∴1＞＞＞0，＞＞，
则E1﹣E2＝10﹣10T1•﹣（10﹣10T2•）＝10T1（﹣）＞0，
∴E1＞E2，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，r1＝r2，E1＞E2，b1＜b2，0＜＜1，
∴E1﹣E2＝10（T2•﹣T1•）＞0，T2•＞T1•，
＞＝＞1，
所以T1＜T2，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，b1＝b2，E1＞E2，r1＜r2，
∴E1﹣E2＝10（T2•﹣T1•）＞0，T2•＞T1•，
∴＞＝＞1，
所以T1＜T2，即甲比乙劳累程度弱，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了指数的运算、幂函数的性质、指数函数的运算，也考查了学生的计算能力，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（13分）在△ABC中，acosB+bcosA＝ccosC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求c和sinA的值．
条件①：a＝2，AC边上中线的长；
条件②：b＝6，△ABC的面积为6；
条件③：cosB＝﹣，AC边上的高BD的长为2．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简acosB+bcosA＝ccosC，结合三角恒等变换求角C即可；
（Ⅱ）若选条件①，作图，利用余弦定理可求得CD的长度有2个值，故不满足唯一性；
若选条件②，由三角形面积公式可求a，结合余弦定理求c，再利用正弦定理求sinA即可；
若选条件③，作图，可判断△BCD为等腰直角三角形，利用直角三角形求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，
sinAcosB+sinBcosA＝sinCcosC，
即sin（A+B）＝sinCcosC，
即sinC＝sinCcosC（sinC＞0），
即cosC＝，
故∠C＝；
（Ⅱ）若选条件①，

由余弦定理得，
BD2＝a2+CD2﹣2×a×CD×cosC，
即5＝8+CD2﹣4CD，
解得CD＝1或CD＝3；
故△ABC存在但不唯一，
不满足条件；
若选条件②，
∵S△ABC＝×b×a×sinC＝6，即×6×a×＝6，
∴a＝2，
故c＝＝2，
∵＝，
∴sinA＝＝＝；
若选条件③，

由题意知，△BCD为等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝2，a＝BC＝2，
∵cosB＝﹣，∴sinB＝，
∴sin∠ABD＝sin（∠ABC﹣）
＝sin∠ABCcos﹣cos∠ABCsin
＝×﹣（﹣）×
＝，
故sinA＝cos∠ABD＝；
c＝AB＝＝2．


【点评】本题考查了解三角形与三角恒等变换的综合应用，属于中档题．
17．（13分）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了100名男生和100名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（2010年）到高中三年级（2021年）每年的视力平均值，如图所示．

（1）从2011年到2021年中随机选取1年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
（2）从2010年到2021年这12年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值，求X的分布列和数学期望，
（3）由图判断，这200名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
【分析】（1）根据折线图可确定该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，由此可计算得到概率；
（2）由折线图知女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，根据超几何分布概率公式可确定X每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值；
（3）根据折线图可确定自2017年开始的连续三年，学生视力波动程度最小，由此可得结论．
【解答】解：（1）由折线图可知：从2011年到2021年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，
∴所求概率；
（2）从2010年到2021年这12年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，
∴X所有可能的取值为0，1，2，
∴；
则X的分布列为：
X
0
1
2
P



∴X的数学期望；
（3）由折线图知：自2017年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，
∴自2017年开始的连续三年，200名学生的视力平均值波动幅度最小，
则自2017年开始的连续三年，200名学生的视力平均值方差最小．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
18．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC，D，O分别为PA，AC的中点，AC＝8，PA＝PC＝5．
（Ⅰ）设平面PBC∩平面BOD＝l，判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判断定理和性质定理能判断直线l与PC的位置关系，并证明；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面BOD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）PC∥l．证明如下：
∵D，O分别为PA，AC的中点，∴在△APC中，DO∥PC，
∵DO⊂平面BOD，PC⊄平面BOD，∴PC∥平面BOD，
∵PC⊂平面PBC，平面PBC∩平面BOD＝l，
∴由线面平行的性质定理得PC∥l．
（Ⅱ）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面APC，
同理，∵AP＝PC，∴PO⊥AC，PO⊥平面ABC，
∴OB，OC，OP三线两两垂直，
∴以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由题可知AC＝8，AB＝BC＝4，OA＝OC＝OB＝4，OP＝3，
则A（0，﹣4，0），B（4，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣2，），
则＝（﹣4，0，3），＝（4，0，0），＝（0，﹣2，），
设平面BOD的法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝4，则＝（0，3，4），
设直线PB与平面BOD所成角为θ，
则直线PB与平面BOD所成角的正弦值：
sinθ＝cos＜＞＝＝＝，
∴直线PB与平面BOD所成角的正弦值为．

【点评】本题考查两直线的位置关系的判断与证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（15分）已知函数f（x）＝x++alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义即得；
（Ⅱ）由题可知f（x）min＞0，当a≥0时适合题意，当a＜0时，分类讨论，利用导数求函数的最值即得．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x++lnx，x＞0，
所以f′（x）＝1﹣+，
所以f（1）＝3，f′（1）＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3；
（Ⅱ）因为函数f（x）＝x++alnx（a∈R），
当a≥0时，由x∈[e，+∞）有f（x）＞0，故曲线y＝f（x）在x轴的上方，
当a＜0时，f′（x）＝1﹣+＝，
由f′（x）＝0可得x＝﹣2a或x＝a （舍去），
所以当x∈（0，﹣2a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当﹣2a≤e，即﹣≤a＜0时，所以f（x）在[e，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（e）＝e++a＝（a+）2+e＞0，即曲线y＝f（x）在x轴的上方，
当﹣2a＞e，即a＜﹣时，f（x）在[e，﹣2a）上单调递减，在（﹣2a，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（﹣2a）＝﹣3a+aln（﹣2a），
由x∈[e，+∞）时，曲线y＝f（x）在x轴的上方，
所以﹣3a+aln（﹣2a）＞0，解得a＞﹣，
所以﹣＜a＜﹣；
综上，实数a的取值范围为（﹣，+∞）．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
20．（15分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），离心率为．过点P（6，0）与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线x＝6于点M，N．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点．求证：∠PAN+∠POM＝90°．
【分析】（1）由题得到关于a，c的方程组，解方程组即得解；
（2）设M（6，m）N（6，n），只需证明mn＝24．设直线l的方程为y＝k（x﹣6），k≠0，联立椭圆方程+＝1得韦达定理，根据三点共线得到m＝，n＝，求出mn＝24即得证．
【解答】解：（1）由题得a＝2，＝，
∴a＝2，c＝1，b＝，
所以椭圆E的方程为+＝1；
（2）证明：要证∠PAN+∠POM＝90°，只需证：∠PAN＝∠POM＝90°﹣∠POM，
只需证明tan∠PAN＝，
只需证明tan∠PAN•tan∠POM＝1，
只需证明kAN•kOM＝1，
设M（6，m）N（6，n），
只需证明•＝1，
只需证明mn＝24．
设直线l的方程为y＝k（x﹣6），k≠0，
联立椭圆方程+＝1，得（3+4k2）x2﹣48k2x+144k2﹣12＝0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
所以Δ＞0，x1+x2＝，x1x2＝，
又A，B，M三点共线，
所以＝，
∴m＝，
同理n＝，
所以mn＝×＝＝＝＝24．
所以：∠PAN+∠POM＝90°．
【点评】要题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的综合问题及用分析法证明命题，属于中档题．
21．（15分）对于数列A：a1，a2，…，an（n≥3），定义变换T，T将数列A变换成数列T（A）：a2，a3，…，an，a1，记T1（A）＝T（A），Tm（A）＝T（Tm﹣1（A）），m≥2．
对于数列A：a1，a2，…，an与B：b1，b2，…，bn，定义A⋅B＝a1b1+a2b2+…+anbn．
若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）满足ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n），则称数列A为ℜn数列．
（1）若A：﹣1，﹣1，1，﹣1，1，1，写出T（A），并求A•T2（A）；
（2）对于任意给定的正整数n（n≥3），是否存在ℜn数列A，使得A•T（A）＝n﹣3？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；
（3）若ℜn数列A满足Tk（A）•Tk+1（A）＝n﹣4（k＝1，2，…，n﹣2），求数列A的个数．
【分析】（1）利用变换T的定义即可得出所求的结果；
（2）利用ℜn数列的定义，记aiai+1（i＝1，2，…，n） 中有t个﹣1，有n﹣t个1，则A•T（A）＝n﹣2t，进而即得；
（3）由题可得A•T（A）＝Tk（A）•Tk+1（A）（k＝1，2，…，n﹣2），进而可得n﹣2t＝n﹣4，然后结合条件即得．
【解答】解：（1）由A：﹣1，﹣1，1，﹣1，1，1，可得T（A）：﹣1，1，﹣1，1，1，﹣1；
T2（A）：1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1；
所以A•T2（A）＝﹣1+1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣2；
（2）因为A•T（A）＝a1a2+a2a3+…+ana1，
由数列A为ℜn数列，所以ai∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n），
对于数列A：a1，a2，…，an中相邻的两项ai，ai+1（i＝1，2，…，n），
令an+1＝a1，若ai＝ai+1，则aiai+1＝1，若ai≠ai+1，则aiai+1＝﹣1，
记aiai+1（i＝1，2，…，n） 中有t个﹣1，有n﹣t个1，
则A•T（A）＝n﹣2t，
因为n﹣2t与n的奇偶性相同，而n﹣3与n的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列A；
（3）首先证明A•T（A）＝Tk（A）•Tk+1（A）（k＝1，2，…，n﹣2），
对于数列A：a1，a2，…，an，有T（A）：a2，a3，…，an，a1，
Tk（A）：ak+1，ak+2，…，an﹣1，an，a1，a2，…，ak﹣1，ak，
Tk+1（A）：ak+2，ak+3，…，an﹣1，an，a1，a2，…，ak，ak+1，
所以Tk（A）•Tk+1（A）＝ak+1ak+2+ak+2ak+3+…+ana1+a1a2+a2a3+…+akak+1，
故A•T（A）＝Tk（A）•Tk+1（A）（k＝1，2，…，n﹣2），
故A•T（A）＝n﹣4．
其次，由数列A为ℜn数数列可知，A•T（A）＝n﹣2t＝n﹣4，
解得t＝2，
这说明数列A中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列A中﹣1的个数为s（s＝1，2，3，•••，n﹣1）个，此时数列A有n个，
所以数列A的个数为n（n﹣1）个．
【点评】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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