2022年北京市房山区高考数学二模试卷

这是一份2022年北京市房山区高考数学二模试卷，共23页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2022年北京市房山区高考数学二模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x||x|≤2}，则（　　）
A．A∩B＝{x|﹣2≤x＜3} B．A∪B＝{x|﹣2≤x＜3}
C．A∩B＝{x|﹣1＜x＜2} D．A∪B＝{x|x＜3}
2．（4分）双曲线的焦点坐标为（　　）
A．（±1，0） B．（±，0） C．（±，0） D．（±，0）
3．（4分）已知，b＝log40.2，c＝log23，则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
4．（4分）已知，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）已知数列{an}满足an+1＝2an（n∈N*），Sn为其前n项和．若a2＝2，则S5＝（　　）
A．20 B．30 C．31 D．62
6．（4分）已知函数f（x）＝|log2x|，则不等式f（x）＜2的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（0，4） B．（0，4）
C．（，4） D．（，+∞）
7．（4分）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊄α，且α⊥β，那么“l∥α”是“l⊥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则＝（　　）

A．0 B．﹣1 C． D．
9．（4分）已知数列{an}是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果a1＝3，an＝45，那么n+d的最小值为（　　）
A．13 B．14 C．17 D．18
10．（4分）如表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它区
营业收入占比
48.6%
15.8%
20.1%
10.8%
4.7%
净利润占比
65.8%
﹣4.3%
16.5%
20.2%
1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的
百分比），给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）抛物线y2＝2x的准线方程为 　 　
12．（5分）若复数z满足（1﹣i）•z＝2i，则|z|＝　 　．
13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1和直线l：y＝k（x+1），则圆心坐标为 　 　；若点P在圆C上运动，P到直线l的距离记为d（k），则d（k）的最大值为 　 　．
14．（5分）已知函数若函数f（x）在R上不是增函数，则a的一个取值为 　 　．
15．（5分）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinϖt．我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音．已知一个复合音的数学模型是函数．给出下列四个结论：
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）在[0，2π]上有3个零点；
③f（x）在[0，]上是增函数；
④f（x）的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）在△ABC中，acosB+b＝c，b＝2．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高．
条件①：cosB＝﹣；
条件②：sinB＝；
条件③：△ABC的面积为．
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，AD＝CD＝1，BC＝2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PAB；
（Ⅱ）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求点B到平面PCD的距离．

18．（14分）北京2022年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
时间人数类别
[0，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中




10

高中
m
13
12
7
5
4
（Ⅰ）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50，60）的概率；
（Ⅱ）从参加体育实践活动时间在[80，90）和[90，100）的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1，μ2，当m满足什么条件时，μ0≥．（结论不要求证明）
19．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．
20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），一个焦点为（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）已知点P（0，2），过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线PM与椭圆C的另一个交点为Q．若△MNQ的面积等于，求直线PM的斜率．
21．（14分）已知数集A＝{a1，a2，a3，⋯，an}（1＝a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），Sn＝a1+a2+…+an（n∈N*）使得ak＝ai+aj成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，5}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）已知Sn＝a1+a2+…+an（n∈N*），求证：2an﹣1≤Sn；
（Ⅲ）若an＝36，求数集A中所有元素的和的最小值．

2022年北京市房山区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x||x|≤2}，则（　　）
A．A∩B＝{x|﹣2≤x＜3} B．A∪B＝{x|﹣2≤x＜3}
C．A∩B＝{x|﹣1＜x＜2} D．A∪B＝{x|x＜3}
【分析】求出集合A，集合B，利用并集和交集定义能求出A∩B，A∪B．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}，故AC均错误；
A∪B＝{x|﹣2≤x＜3}，故B正确，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）双曲线的焦点坐标为（　　）
A．（±1，0） B．（±，0） C．（±，0） D．（±，0）
【分析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可．
【解答】解：双曲线，可知a＝，b＝1，c＝，所以双曲线的焦点坐标为（，0）．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
3．（4分）已知，b＝log40.2，c＝log23，则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵0＜＜＝1，∴0＜a＜1；
又∵b＝log40.2＜log41＝0，c＝log23＞log22＝1，
∴c＞a＞b，
故选：A．
【点评】本题考查了三个数大小比较的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
4．（4分）已知，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可知β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系求解即可．
【解答】解：∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，
∴β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查诱导公式及同角三角函数的基本关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（4分）已知数列{an}满足an+1＝2an（n∈N*），Sn为其前n项和．若a2＝2，则S5＝（　　）
A．20 B．30 C．31 D．62
【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式进行计算即可．
【解答】解：∵an+1＝2an，∴数列{an}为等比数列，且公比为2，
∵a2＝2，∴a1＝1，
∴S5＝＝31，
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题．
6．（4分）已知函数f（x）＝|log2x|，则不等式f（x）＜2的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（0，4） B．（0，4）
C．（，4） D．（，+∞）
【分析】利用对数函数的单调性求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝|log2x|，
∴f（x）＜2⇔﹣2＜log2x＜2，
∴＜x＜4，
∴不等式f（x）＜2的解集为（，4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题．
7．（4分）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊄α，且α⊥β，那么“l∥α”是“l⊥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可．
【解答】解：当直线l⊄α，且α⊥β，l∥α，则l∥β，l与β相交，故充分性不成立；
当直线l⊄α，且α⊥β，l⊥β时，l∥α，故必要性成立，
∴“l∥α“是“l⊥β‘的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
8．（4分）如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则＝（　　）

A．0 B．﹣1 C． D．
【分析】由题意得出＝+，＝+，再求的值．
【解答】解：由题意知，＝+，＝+，
所以＝（+ ）•（+）
＝•+•+•+•＝2×2×cos+2×1×cos+1×2×cos+1×1×cos＝0．
故选：A．

【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题．
9．（4分）已知数列{an}是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果a1＝3，an＝45，那么n+d的最小值为（　　）
A．13 B．14 C．17 D．18
【分析】由a1＝3，an＝45，得到（n﹣1）d＝42，然后分析出n，d的所有可能取值，从而得到答案．
【解答】解：由等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，得
∴3+（n﹣1）d＝45，
∴（n﹣1）d＝42＝42×1＝21×2＝6×7，
∴只有n﹣1＝6，d＝7，或n﹣1＝7，d＝6时，
即n＝7，d＝7，或n＝8，d＝6时，n+d有最小值为14．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，解答的关键是由各项均为正整数得到公差d为正整数，是基础题．
10．（4分）如表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：

生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它区
营业收入占比
48.6%
15.8%
20.1%
10.8%
4.7%
净利润占比
65.8%
﹣4.3%
16.5%
20.2%
1.8%
该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的
百分比），给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④
【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断．
【解答】解：由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%，为最低的，故①错；
生鲜区的净利润占比65.8%＞50%，故②正确；
生鲜区的营业利润率为＝44%＞40%，故④正确；
熟食区的营业利润率为×32.5%＜0；
乳制品区的营业利润率为×32.5%＝26.68%；
其他区的营业利润率为×32.5%＝12.45%；
日用品区为×32.5%＝60.787%，最高，故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了概念与统计的相关知识，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）抛物线y2＝2x的准线方程为 　　
【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．
【解答】解：抛物线y2＝2x的准线方程为：x＝﹣＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
12．（5分）若复数z满足（1﹣i）•z＝2i，则|z|＝　　．
【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1﹣i）•z＝2i，
∴（1+i）（1﹣i）•z＝（1+i）•2i，
化为2z＝2（﹣1+i），∴z＝﹣1+i．
∴|z|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1和直线l：y＝k（x+1），则圆心坐标为 　（1，2）　；若点P在圆C上运动，P到直线l的距离记为d（k），则d（k）的最大值为 　2+1　．
【分析】由圆的村准方程可得圆心的坐标，根据直线l过定点Q（﹣1，0），可知当CQ⊥l时，圆心C到l距离最大，则d（k）max＝|CQ|+r．
【解答】解：由圆的方程知圆心坐标为（1，2）；
由直线l：y＝k（x+1）知直线l过定点Q（﹣1，0），则|CQ|＝＝2，
∴当CQ⊥l时，圆心C到l距离最大，
又圆C的半径为r＝1，∴d（k）max＝|CQ|+r＝2+1．
故答案为：（1，2）；2+1．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
14．（5分）已知函数若函数f（x）在R上不是增函数，则a的一个取值为 　﹣2（答案不唯一，满足a＜﹣1或0＜a＜1即可）　．
【分析】作出y＝x和y＝x3的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【解答】解：y＝x和y＝x3的图象如图所示：

∴当a＜﹣1或0＜a＜1时，y＝x3有部分函数值比y＝x的函数值小，
故当a＜﹣1或0＜a＜1时，函数f（x）在R上不是增函数．
故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
15．（5分）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinϖt．我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音．已知一个复合音的数学模型是函数．给出下列四个结论：
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）在[0，2π]上有3个零点；
③f（x）在[0，]上是增函数；
④f（x）的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 　②④　．
【分析】利用周期函数的定义判断周期，利用导数研究单调性，在一个周期内研究极值、端点处的函数值进而求出最值，由此逐项判断即可．
【解答】解：因为f（x+π）＝＝≠f（x），故π不是f（x）的周期，故①错误；
令f（x）＝0，即sinx+sinxcosx＝0，即sinx（1+cosx）＝0解得：x＝0或x＝π或x＝2π，故②正确；
因为f′（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1，因为f′（）＝﹣1＜0，，故[0，]上必存在f′（x）＜0的区间，此时f（x）为减函数，故③错误；
易知，f（x+2π）＝f（x），即该函数的最小正周期为2π，设x∈[0，2π]，
令f′（x）＝（2cosx﹣1）（cosx+1）＝0得，cosx＝，或﹣1，
所以，或π，，此时，f（π）＝0，，f（0）＝f（2π）＝0，故最大值，故④正确．
故选：②④．
【点评】本题考查导数在研究函数的极值、最值时的应用，同时考查了三角函数的性质，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（14分）在△ABC中，acosB+b＝c，b＝2．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高．
条件①：cosB＝﹣；
条件②：sinB＝；
条件③：△ABC的面积为．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，即可得解；
（Ⅱ）条件①：由cosB＝﹣，求出sinB的值，再由sinC＝sin（A+B），展开运算求得sinC的值，由于sinC＜0，故该三角形不存在；
条件②：易知B∈（0，），从而知B＝，再由sinC＝sin（A+B），展开运算求得sinC的值，然后由h＝bsinC，得解；
条件③：由S＝bcsinA，求得c，再利用余弦定理，求出a，然后根据等面积法，得解．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及acosB+b＝c，知sinAcosB+sinB＝sinC，
因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以sinB＝cosAsinB，
因为sinB≠0，所以cosA＝，
又A∈（0，π），所以A＝．
（Ⅱ）选择条件①：因为cosB＝﹣，且B∈（0，π），所以sinB＝＝，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝•（﹣）+•＝＜0，
故该△ABC不存在．
选择条件②：因为A＝，所以B∈（0，），
由sinB＝，知B＝，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝•+•＝，
所以BC边上的高h＝bsinC＝2×＝．
选择条件③：△ABC的面积S＝bcsinA＝×2×c×＝，所以c＝+1，
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝4+（+1）2﹣2×2×（+1）×＝6，
所以a＝，
因为S＝a•h＝××h＝，所以BC边上的高h＝．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，AD＝CD＝1，BC＝2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PAB；
（Ⅱ）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求点B到平面PCD的距离．

【分析】（I）以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明⊥，⊥，从而得到AC⊥平面PAB；
（II）利用平面PAB与平面PCD的夹角等于，可得||＝cos，求出a，再利用向量法可求点B到平面PCD的距离．
【解答】解：（I）证明：以D为坐标原点，DA，DC所在直线为x，y轴，
过点D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝a，则A（1，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），P（1，0，a），
∴＝（0，0，a），＝（1，1，0），＝（﹣1，1，0），
∴•＝0+0+0＝0，•＝﹣1+1+0＝0，∴⊥，⊥，
∴AC⊥AP，AC⊥AB，又AB∩AP＝A，AB⊂平面PAB，AP⊂平面PAB，
∴AC⊥平面PAB．

（II）由（I）可知＝（﹣1，1，0）为平面PAB的一个法向量，
由（I）知D（0，0，0），
∴＝（1，0，a），＝（0，1，0），
设平面PDC的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令z＝1，则x＝﹣a，y＝0，
∴平面PDC的一个法向量为＝（﹣a，0，1），
∴cos＜，＞＝＝，
又平面PAB与平面PCD的夹角等于，
∴||＝cos，解得a＝1，
∴平面PDC的一个法向量为＝（﹣1，0，1），又＝（2，0，0），
∴点B到平面PCD的距离为d＝＝＝．
【点评】本题考查线面垂直的证明，以及面面角的求法，点到面的距离的求法，属中档题．
18．（14分）北京2022年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
时间人数类别
[0，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中




10

高中
m
13
12
7
5
4
（Ⅰ）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50，60）的概率；
（Ⅱ）从参加体育实践活动时间在[80，90）和[90，100）的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1，μ2，当m满足什么条件时，μ0≥．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；
（Ⅱ）方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；方法二：根据二项分布的公式求解；
（Ⅲ）补全初中段的人数表格，再分别计算μ0，μ1，μ2关于m的解析式，代入求解m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）方法一：女生共有6+9+10+10+6+4＝45人，记事件A为“从所有调査学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B为“从所有调査学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在[50，60）“，
由题意可知，，
因此，
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50，60）的概率为；
方法二：女生共有6+9+10+10+6+4＝45人，记事件M为“从所有调査学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在[50，60）“，
由题意知，从所有调査学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，
抽到女生且参加体育活动时间在[50，60）所包含的基本事件共9个，
所以，
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50，60）的概率为；
（Ⅱ）方法一：X的所有可能值为0，1，2，
时间在[80，90）的学生有10+5＝15人，活动时间在[90，100）的初中学生有8+4﹣4＝8人，
记事件C为“从参加体育活动时间在[80，90）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在[90，100）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，
由题意知，事件C，D相互独立，且，
所以，
，
，
所以x的分布列为：
X
0
1
2
P



故X的数学期望；
方法二：X的所有可能值为0，1，2，
因为从参加体育活动时间在[80，90）和[90，100）的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故，
所以，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



故X的数学期望；
（Ⅲ）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
时间人数类别
[0，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中
11﹣m
8
11
11
10
8
高中
m
13
12
7
5
4
[50，100）内初中生的总运动时间t1＝8×55+11×65+11×75+10×85+8×95＝3590，[50，100）内高中生的总运动时间t2＝13×55+12×65+7×75+5×85+4×95＝2825，
则由题，m＝1，2，3…11，
又，，
由可得
，
当m＝2，3…11时成立，故m的取值范围{m∈Z|2≤m≤11}．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．
【分析】（I）当a＝0时，函数f（x）＝（x﹣1）ex，f（0）＝﹣1，利用导数运算法则可得f′（x），f′（0），利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程．
（Ⅱ）f（x）＝（x﹣1）ex﹣（a∈R），x∈[1，2]．f′（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a），对a分类讨论即可得出函数f（x）的单调性与极值及其最值．
【解答】解：（I）当a＝0时，函数f（x）＝（x﹣1）ex，f（0）＝﹣1，
f′（x）＝xex，f′（0）＝0，
∴曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣（﹣1）＝0，即y+1＝0．
（Ⅱ）f（x）＝（x﹣1）ex﹣（a∈R），x∈[1，2]．
f′（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a），
a＞0时，令ex﹣a＝0，解得x＝lna，
①a≥e2时，lna≥2，ex﹣a≤0，∴f′（x）≤0，
∴函数f（x）在x∈[1，2]单调递减．
∴x＝2时，函数f（x）取得最小值，f（2）＝e2﹣2a．
②e＜a＜e2时，1＜lna＜2，函数f（x）在[1，lna）上单调递减，在（lna，2]上单调递增，
∴x＝lna时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（lna）＝a（lna﹣1）﹣aln2a．
③a≤e时，ex﹣a＞0，x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增．
∴x＝1时，函数f（x）取得最小值，f（1）＝﹣a．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），一个焦点为（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）已知点P（0，2），过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线PM与椭圆C的另一个交点为Q．若△MNQ的面积等于，求直线PM的斜率．
【分析】（Ⅰ）根据题意得到b，c，进而求出a，最后得到椭圆方程和离心率；
（Ⅱ）设出直线PM的方程并代入椭圆方程然后化简，再设出点M，Q的坐标，进而表达出面积，然后结合根与系数的关系求出答案．
【解答】（Ⅰ）由题设，得b＝1，c＝1，则a2＝b2+c2＝2，
所以椭圆C的方程为，离心率．
（Ⅱ）设直线PM的方程为y＝kx+2，
由得（1+2k2）x2+8kx+6＝0，
Δ＝（8k）2﹣4（1+2k2）×6＞0解得．
设M（x1，y1），Q（x2，y2），则，，即x1，x2同号．
根据椭圆的对称性知，S△POM＝S△PON，所以S△OMQ＝S△ONQ＝S△POQ﹣S△PON＝S△POQ﹣S△POM
＝＝|x2﹣x1|＝＝，
整理得2k4﹣23k2+38＝0，
解得，（满足）
所以，或．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（14分）已知数集A＝{a1，a2，a3，⋯，an}（1＝a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），Sn＝a1+a2+…+an（n∈N*）使得ak＝ai+aj成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，5}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）已知Sn＝a1+a2+…+an（n∈N*），求证：2an﹣1≤Sn；
（Ⅲ）若an＝36，求数集A中所有元素的和的最小值．
【分析】（Ⅰ）对于{1，3，5}，3≠1+1，故可判断它不具有性质P；对于{1，2，3，6}可逐项验证2、3、6均满足对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得ak＝ai+aj成立，故可判断它具有性质P；
（Ⅱ）根据题意可知ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，从而ak＝ai+aj≤2ak﹣1，故而可得an≤2an﹣1，an﹣1≤2an﹣2，an﹣2≤2an﹣3，…，a3≤2a2，a2≤2a1，将这些式子累加即可得an≤2a1+a2+…+an﹣1，从而可变形为要证的结论；
（Ⅲ）根据题中已知条件可得该数集a1＝1，a2＝2a1＝2，从而可得该数集元素均为整数，再根据an＝36可构造一个满足性质P的数集A＝{1，2，3，6，9，18，36}或A＝{1，2，4，5，9，18，36}，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵3≠1+1，∴1，3，5不具有性质P；
∵2＝1×2，3＝1+2，6＝3+3，∴{1，2，3，6}具有性质P；
证明：（Ⅱ）∵集合A＝{a1，a2，…，an}具有性质P，
即对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得ak＝ai+aj成立，
又∵1＝a1＜a2＜…＜an，n≥2，
∴，
即an≤2an﹣1，an﹣1≤2an﹣2，an﹣2≤2an﹣3，…，a3≤2a2，a2≤2a1，
将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1），
∴an≤2a1+a2+…+an﹣1，由于a1＝1，
∴an﹣1≤a1+a2+…+an﹣1，∴2an﹣1≤a1+a2+…+an﹣1+an＝Sn；
解：（Ⅲ）最小值为75．
首先注意到a1＝1，根据性质P，得到a2＝2a1＝2，
∴易知数集A的元素都是整数，
构造A＝{1，2，3，6，9，18，36}或者A＝{1，2，4，5，9，18，36}，
这两个集合具有性质P，此时元素和为75；
下面，证明75是最小的和：
假设数集A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2），满足（存在性显然，∵满足的数集A只有有限个），
第一步：首先说明集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2）中至少有7个元素：
由（2）可知a2≤2a1，a3⩽2a2，…
又a1＝1，∴a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32＜36，
∴n≥7；
第二步：证明an﹣1＝18，an﹣2＝9，
若18∈A，设at＝18，∵an＝36＝18+18，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素ak，使得18＜ak＜36，从而an﹣1＝18，
假设18∉A，根据性质P，对an＝36，有ai，aj，使得an＝36＝ai+aj，
显然ai≠aj，an+ai+aj＝36+36＝72，
而此时集合A中至少还有4个不同于an，ai，aj的元素，
从而S＞（an+ai+aj）+4a1＝76，矛盾，
∴18∈A，进而at＝18，且an﹣1＝18，
同理可证：an﹣2＝9，
（同理可以证明：若9∈A，则an﹣2＝9），
假设9∉A，
∵an﹣1＝18，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣1＝18＝ai+aj，
显然ai≠aj：aan+an﹣1+ai+aj＝72，
而此时集合A中至少还有3个不同于an，an﹣1，ai，aj的元素，
从而S＞an+an﹣1+ai+aj+3a1＝75，矛盾，
∴9∈A，且an﹣2＝9，
至此，我们得到了an﹣1＝18，an﹣2＝9，
根据性质P，有ai，aj，使得9＝ai+aj，
我们需要考虑如下几种情形：
①ai＝8，aj＝1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，则S＞76，
②ai＝7，aj＝2，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，则S＞76，
③ai＝6，aj＝3，此时集合A＝{1，2，3，6，9，18，36}的和最小，为75，
④ai＝5，aj＝4，此时集合A＝{1，2，4，5，9，18，36}的和最小，为75．
【点评】本题考查了数列的综合应用，属于难题．
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