2022年北京市海淀区高考数学二模试卷

这是一份2022年北京市海淀区高考数学二模试卷，共24页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市海淀区高考数学二模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜0或x＞1}，则∁RA＝（　　）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1}
2．（4分）在（1﹣2x）3的展开式中，x的系数为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
3．（4分）已知双曲线C：的渐近线经过点（1，2），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
4．（4分）已知x，y∈R，且x+y＞0，则（　　）
A．+＞0 B．x3+y3＞0 C．lg（x+y）＞0 D．sin（x+y）＞0
5．（4分）若f（x）＝是奇函数，则（　　）
A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣1
6．（4分）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，⋯）在抛物线上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝1，则（　　）
A．{xn}是等差数列 B．{xn}是等比数列
C．{yn}是等差数列 D．{yn}是等比数列
7．（4分）已知向量＝（1，0），＝（﹣1，）．若＜，＞＝＜，＞，则可能是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）设函数f（x）的定义域为R，则“f（x）是R上的增函数”是“任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）无零点”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（4分）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y与时间t（单位：s）的关系符合函数y＝Asin（ωt+φ）（|ω|＜100）．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为0.01s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（　　）

A．9，15 B．6，18 C．4，11，18 D．6，12，18
10．（4分）在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为棱DC上的动点，F为线段B'E的中点．给出下列四个结论：
①B'E⊥AD'；
②直线D'F与平面ABB'A'的夹角不变；
③点F到直线AB的距离不变；
④点F到A，D，D'，A'四点的距离相等．
其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均为实数．若b+i＝i（a+i），则a+b＝　 　．
12．（5分）不等式的解集为 　 　．
13．（5分）已知圆：C：x2+y2+2x＝0，则圆C的半径为 　 　；若直线y＝kx被圆C截得的弦长为1，则k＝　 　．
14．（5分）已知f（x）＝sinx+cosx的图象向右平移a（a＞0）个单位后得到g（x）的图象，则函数g（x）的最大值为 　 　；若f（x）+g（x）的值域为{0}，则a的最小值为 　 　．
15．（5分）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的．选用正实数数列{an}，{bn}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn（n＝1，2，⋯），描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程．若两组信息的初始信息强度满足a1＞b1，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：
①∀n∈N*，an＞bn；
②∀n∈N*，an+1＞an，bn+1＞bn；
③∃k∈N*，使得当n＞k时，总有|；
④∃k∈N*，使得当n＞k时，总有|．
其中，所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求DC到平面ABE的距离．

17．（13分）在△ABC中，7a＝6bcosB．
（Ⅰ）若sinA＝，求∠B的值；
（Ⅱ）若c＝8，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在．求△ABC的面积．
条件①：sinA＝；
条件②：sinB＝．
18．（14分）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．如图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图．将每连续3个月的PMI值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测．

（Ⅰ）现从制造业的10个观测组中任取一组，
（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；
（ⅱ）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好．设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用bj（j＝1，2，…，12）表示第j月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出|bj﹣|取得最大值所对应的月份．
19．（14分）椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知经过点（0，）的直线l交椭圆M于B，C两点，D是直线x＝﹣4上一点．若四边形ABCD为平行四边形，求直线l的方程．
20．（15分）已知函数f（x）＝ln+．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＝﹣时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x＜0时，f（x）≥恒成立，求a的取值范围．
21．（15分）已知有限数列{an}共M项（M≥4），其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等．将数列{an}的各项和记为S．
（Ⅰ）若an∈{1，2}（n＝1，2，⋯，M），直接写出M、S的值；
（Ⅱ）若an∈{1，2，3}（n＝1，2，⋯，M），求M的最大值；
（Ⅲ）若an∈N+（n＝1，2，…，M），M＝16，求S的最小值．

2022年北京市海淀区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜0或x＞1}，则∁RA＝（　　）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1}
【分析】利用补集定义不等式性质直接求解．
【解答】解：集合A＝{x|x＜0或x＞1}，
则∁RA＝{x|0≤x≤1}．
故选：D．
【点评】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）在（1﹣2x）3的展开式中，x的系数为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6
【分析】求出展开式中含x的项，由此即可求解．
【解答】解：展开式中含x的项为C＝﹣6x，
所以x的系数为﹣6，
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
3．（4分）已知双曲线C：的渐近线经过点（1，2），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】利用双曲线渐近线经过的点，得到a、b关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：双曲线C：的渐近线经过点（1，2），
可得b＝2a，
所以双曲线的离心率e＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
4．（4分）已知x，y∈R，且x+y＞0，则（　　）
A．+＞0 B．x3+y3＞0 C．lg（x+y）＞0 D．sin（x+y）＞0
【分析】利用不等式的性质和通过举反例进行排除即可得到．
【解答】解：对于A，当x＝10，y＝﹣1时，x+y＞0，但＝﹣＜0，故A错误；
对于B，x，y∈R，且x+y＞0，x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x﹣）2+]＞0，故B正确；
对于C，当x+y＝0.1＞0时，lg（x+y）＜0，故C错误；
对于D，当x+y＝＞0时，sin（x+y）＝sin＝﹣1＜0，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，是基础题．
5．（4分）若f（x）＝是奇函数，则（　　）
A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣1
【分析】利用奇函数的定义计算即可．
【解答】解：因为f（x）＝是奇函数，
当x＜0时，﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣bx﹣1，
即﹣f（x）＝﹣bx﹣1，
所以f（x）＝bx+1，
又因为当x＜0时，f（x）＝x+a，
所以x+a＝bx+1，
所以a＝1，b＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数的定义及性质，属于基础题．
6．（4分）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，⋯）在抛物线上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝1，则（　　）
A．{xn}是等差数列 B．{xn}是等比数列
C．{yn}是等差数列 D．{yn}是等比数列
【分析】由抛物线的性质可得|PnF|＝xn+1，从而可得xn+1﹣xn＝1，yn+12﹣yn2＝4（xn+1﹣xn）＝4，可得答案．
【解答】解：∵点Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，⋯）在抛物线上．
∴|PnF|＝xn+1，由|Pn+1F|﹣|PnF|＝1，可得xn+1+1﹣（xn+1）＝1，
∴xn+1﹣xn＝1，
∴{xn}是等差数列，故A正确，B错误；
yn+12﹣yn2＝4（xn+1﹣xn）＝4，∴{yn2}是等差数列，故CD错误；
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质，属中档题．
7．（4分）已知向量＝（1，0），＝（﹣1，）．若＜，＞＝＜，＞，则可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，依次分析选项的是否满足cos＜，＞＝cos＜，＞，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，＝2﹣＝（3，﹣），则cos＜，＞＝＝，cos＜，＞＝＝﹣，有cos＜，＞≠cos＜，＞，＜，＞≠＜，＞，不符合题意；
对于B，＝+＝（0，），则cos＜，＞＝＝0，cos＜，＞＝＝，有cos＜，＞≠cos＜，＞，＜，＞≠＜，＞，不符合题意；
对于C，＝2+＝（1，），则cos＜，＞＝＝，cos＜，＞＝＝，有cos＜，＞＝cos＜，＞，必有＜，＞＝＜，＞，符合题意；
对于D，＝+＝（﹣1，），则cos＜，＞＝＝，cos＜，＞＝＝，有cos＜，＞≠cos＜，＞，＜，＞≠＜，＞，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8．（4分）设函数f（x）的定义域为R，则“f（x）是R上的增函数”是“任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）无零点”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由函数的零点及其方程根的关系结合充分必要条件的判定得答案．
【解答】解：若f（x）是R上的增函数，则a＞0时，f（x+a）＞f（x）成立，
即y＝f（x+a）﹣f（x）＞0，任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）无零点，充分性成立．
若任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）无零点，则函数f（x）不一定为增函数，
反之对于任意a＞0，f（x+a）＜f（x），即y＝f（x+a）﹣f（x）＜0，满足y＝f（x+a）﹣f（x）无零点，但f（x）为R上的减函数，必要性不成立．
即“f（x）是R上的增函数”是“任意a＞0，y＝f（x+a）﹣f（x）无零点”的充分而不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查函数零点的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．
9．（4分）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y与时间t（单位：s）的关系符合函数y＝Asin（ωt+φ）（|ω|＜100）．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为0.01s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（　　）

A．9，15 B．6，18 C．4，11，18 D．6，12，18
【分析】求得函数的周期，可得ω，推得当t＝0.09s时，y取得最值，求得φ，再令y＝0，可得所求结论．
【解答】解：由题意可得13﹣1＝12，17﹣5＝12，
则T＝12×0.01＝0.12，
所以ω＝＝，
又＝＝9，可得当t＝0.09s时，y取得最值．
代入y＝Asin（ωt+φ），可得sin（×0.09+φ）＝±1，
解得φ＝kπ，k∈Z，
所以y＝Asin（t+kπ），k∈Z，
令y＝0，可得t+kπ＝mπ，k∈Z，
则t＝0，0.06，0.12，0.18，...．
所以小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为6，12，18．
故选：D．
【点评】本题考查正弦函数的解析式的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10．（4分）在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为棱DC上的动点，F为线段B'E的中点．给出下列四个结论：
①B'E⊥AD'；
②直线D'F与平面ABB'A'的夹角不变；
③点F到直线AB的距离不变；
④点F到A，D，D'，A'四点的距离相等．
其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

设正方体ABCD﹣A'B'C'D'中棱长为2，设DE＝a（0≤a≤2，
则E（0，a，0），B′（2，2，2），A（ 2，0，0），D′（0，0，2），F（1，，1），B（ 2，2，0），D（0，0，0），A′（2，0，2），
对于①，＝（﹣2，a﹣2，﹣2），＝（﹣2，0，2），＝4+0+4＝0，∴B'E⊥AD'，故①正确；
对于②，＝（1，），平面ABB'A'的法向量＝（1，0，0），
设直线D'F与平面ABB'A'的夹角为θ，
则sinθ＝＝，∵0≤a≤2，∴θ不是定值，故②错误；
对于③，＝（﹣1，，1），＝（0，2，0），
点F到直线AB的距离d＝||•＝•＝，
∴点F到直线AB的距离不变，故③正确；
对于④，|AF|＝＝，
|DF|＝＝，
|D′F|＝＝，
|A′F|＝＝，
∴点F到A，D，D'，A'四点的距离相等，故④正确．
故选：C．

【点评】本题考查命题题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知a，b均为实数．若b+i＝i（a+i），则a+b＝　0　．
【分析】由复数相等的条件求得a与b的值，则答案可求．
【解答】解：由b+i＝i（a+i）＝﹣1+ai，得b＝﹣1，a＝1，
∴a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查复数相等的条件，是基础题．
12．（5分）不等式的解集为 　（﹣∞，0）　．
【分析】利用指数函数的单调性求解即可．
【解答】解：∵，
∴＞，
∴x＜0，
∴不等式的解集为（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，属于基础题．
13．（5分）已知圆：C：x2+y2+2x＝0，则圆C的半径为 　1　；若直线y＝kx被圆C截得的弦长为1，则k＝　±　．
【分析】把圆的方程化为标准方程可求半径，利用圆中的弦长，半径，圆心距可求k的值．
【解答】解：由x2+y2+2x＝0，得（x+1）2+y2＝1，
所以圆心C（﹣1，0），半径r＝1，
圆心C到直线y＝kx的距离为d＝，
又直线y＝kx被圆C截得的弦长为1，
∴（）2+（）2＝1，解得k＝±．
故答案为：1；±．
【点评】本题考查圆的方程与直线与圆位置关系，属基础题．
14．（5分）已知f（x）＝sinx+cosx的图象向右平移a（a＞0）个单位后得到g（x）的图象，则函数g（x）的最大值为 　　；若f（x）+g（x）的值域为{0}，则a的最小值为 　π　．
【分析】f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+），其图像向右平移a（a＞0）个单位后得到g（x）＝sin（x﹣a+），可确定其最大值；
f（x）+g（x）＝sin（x+）+sin（x﹣a+），其值域为{0}，可知f（x）+g（x）＝0，则可确定a的最小值．
【解答】解：f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+），其图像向右平移a（a＞0）个单位后得到g（x）＝sin（x﹣a+），可知其最大值为；
f（x）+g（x）＝sin（x+）+sin（x﹣a+），其值域为{0}，可知f（x）+g（x）＝0，所以sin（x﹣a+）＝﹣sin（x+），则可得a的最小值为π．
故答案为：；π．
【点评】本题考查三角恒等变换、诱导公式及平移变换，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
15．（5分）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的．选用正实数数列{an}，{bn}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn（n＝1，2，⋯），描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程．若两组信息的初始信息强度满足a1＞b1，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：
①∀n∈N*，an＞bn；
②∀n∈N*，an+1＞an，bn+1＞bn；
③∃k∈N*，使得当n＞k时，总有|；
④∃k∈N*，使得当n＞k时，总有|．
其中，所有正确结论的序号是 　①②③　．
【分析】由an+1﹣bn+1＝an﹣bn，得an﹣bn＝a1﹣b1＞0即可判断①；an+1﹣an＝an+bn，bn+1﹣bn＝an+bn，可判断②；|﹣1|＝||，可得n→+∞时，→0，可判断③；|﹣2|＝|1﹣|，当n→+∞时，1﹣→1，可判断④．
【解答】解：因为an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn（n＝1，2，⋯），两式作差得an+1﹣bn+1＝2an+bn﹣an+2bn＝an﹣bn，
故{an﹣bn}为常数列，即an﹣bn＝a1﹣b1＞0，故∀n∈N*，an＞bn；故①正确；
因为an+1﹣an＝an+bn，bn+1﹣bn＝an+bn，又数列{an}，{bn}为正实数数列，
故an+bn＞0，故an+1＞an，bn+1＞bn＞0，故②正确；
由上可知|﹣1|＝||＝||，因为a1﹣b1为常数，{bn}为单调递增数列，
故当n→+∞时，→0，又10﹣10＞0，故∃k∈N*，使得当n＞k时，总有|；故③正确；
|﹣2|＝||＝||，又an﹣bn＝a1﹣b1＞0，故|﹣2|＝||＝||＝||＝|1﹣|，
因为a1﹣b1为常数，{an}为单调递增数列，故当n→+∞时，→0，1﹣→1，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式推得数列中的项的特征，解题中还要注意函数知识在求解问题中的重要性，属难题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求DC到平面ABE的距离．

【分析】（I）利用线线平行证明线面平行即可；
（II）取BC的中点M，连接AC，可证AM⊥AD，以A为原点，AM，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量示求点C到平面ABE的距离即可求DC到平面ABE的距离．
【解答】（I）证明：∵底面ABCD是边长为2的菱形，
∴CD∥AB，∵AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，
∴DC∥平面ABE；
（II）解：取BC的中点M，连接AC，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，
△ACB是正三角形，所以AM⊥CB，∴AM⊥AD，
以A为原点，AM，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），P（0，0，2），E（，，1）
∴＝（，﹣1，0），＝（，，1）
设平面ABE的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令x＝，则y＝3，z＝﹣3，
所以面ABE的一个法向量为＝（，3，﹣3），
又＝（，1，0），
所以C到平面ABE的距离为＝＝．
∴DC到平面ABE的距离为．

【点评】本题考查线面平行的证明，以及线到面的距离的求法，属中档题．
17．（13分）在△ABC中，7a＝6bcosB．
（Ⅰ）若sinA＝，求∠B的值；
（Ⅱ）若c＝8，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在．求△ABC的面积．
条件①：sinA＝；
条件②：sinB＝．
【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理边化角，结合二倍角公式即可求解．
（Ⅱ）若选条件①：由正弦定理以及二倍角公式化简可得sin2B＝＞1，可得△ABC不存在；
若选条件②：由题意可得cosB＝＞0，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosB，利用余弦定理可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得7sinA＝6sinBcosB＝3sin2B，
又sinA＝，
可得sin2B＝1，
因为B∈（0，π），
所以2B＝，即B＝．
（Ⅱ）若选条件①：由正弦定理可得7sinA＝6sinBcosB＝3sin2B，
又sinA＝，
所以sin2B＝＞1，此时△ABC不存在；
若选条件②：由cosB＝＞0，
又sinB＝，可得cosB＝＝，可得7a＝3b，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得（）2＝a2+64﹣8a，解得a＝3或a＝﹣（舍去），
所以△ABC的面积S＝acsinB＝6．
【点评】本题考查了正弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．（14分）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．如图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图．将每连续3个月的PMI值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测．

（Ⅰ）现从制造业的10个观测组中任取一组，
（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50.0的概率；
（ⅱ）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好．设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用bj（j＝1，2，…，12）表示第j月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出|bj﹣|取得最大值所对应的月份．
【分析】（Ⅰ）（i）根据已知条件写出基本事件的个数，再利用古典概型的计算公式即可求解；
（ii）根据已知条件写出随机变量X的取值求出对应的概率，进而得出分布列，根据分布列及数学期望的公式即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件求出，结合某年12个月的非制造业PMI值趋势图即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）（i）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有：
（51.3，50.6，51.9），（50.6，51.9，51.1），（51.9，51.1，51），（51.1，51，50.9），（51，50.9，50.4），
（50.9，50.4，50.1），（50.4，50.1，49.6），（50.1，49.6，49.2），（49.6，49.2，50.1），（49.2，50.1，50.3），共有10个，
设“组内三个PMI值至少有一个低于50.0”为事件A，则事件A包含的结果有：
（50.4，50.1，49.6），（50.1，49.6，49.2），（49.6，49.2，50.1），（49.2，50.1，50.3）共4个，
由古典概型的计算公式，得；
（ii）X的可能取值为0，1，2，
，
X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以随机变量X的数学期望；
（Ⅱ）8月份，理由如下：
由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得
，
根据某年12个月的非制造业PMI值趋势图，可知
当j＝8时，取得最大值为．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
19．（14分）椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知经过点（0，）的直线l交椭圆M于B，C两点，D是直线x＝﹣4上一点．若四边形ABCD为平行四边形，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）由左顶点及离心率的值，可得a，c的值，进而求出b的值，求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设D的坐标，可得直线AD的斜率及|AD|的值，由四边形为平行四边形可得直线AD，BC的斜率相等，由直线BC过点（0，），可得直线BC的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|BC|的值，由|AD|＝|BC|可得参数的值，当直线BC的斜率为0时，可得直线BC的方程，与椭圆联立，求出B，C的坐标，进而求出直线AB的斜率及弦长|AB|的值，由四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得D（﹣4，0），可得直线CD的斜率及|CD|的长，符合平行四边形的性质，求出直线BC的方程．
【解答】解：（Ⅰ）因为左顶点为A（﹣2，0），则a＝2，离心率为，即e＝＝，
所以c＝，b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆的方程为：+y2＝1；
（Ⅱ）设D（﹣4，t），B（x1，y1），C（x2，y2），
又A（﹣2，0），由四边形ABCD为平行四边形，所以直线AD∥BC，
kBC＝kAD＝＝﹣，所以直线BC的方程为：y＝﹣x+，
联立，整理可得：（1+t2）x2﹣2x﹣1＝0，
Δ＞0显然成立，且x1+x2＝，x1x2＝﹣，
则|BC|＝•＝•，而|AD|＝，
所以＝•，解得：t＝±，
所以直线l的方程为：y＝±x+．
当直线BC的斜率为0时，则直线BC的方程为y＝，代入椭圆+y2＝1中，可得x＝±1，
B（1，），C（﹣1，），则直线AB的斜率为k＝＝，且|AB|＝＝，
也为四边形ABCD为平行四边形，所以可得AD∥BC，即D（﹣4，0），可得直线CD的斜率＝＝kAB
即D（﹣4，0），则|CD|＝＝＝|AB|，所以四边形ABCD也为平行四边形，
综上所述直线BC的方程为：y＝±x+或y＝．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，平行四边形的性质的应用，属于中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝ln+．
（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＝﹣时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x＜0时，f（x）≥恒成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）直接计算f（﹣1），求导计算f′（﹣1），写出切线方程即可；
（Ⅱ）直接求导确定导数的正负，写出单调区间即可；
（Ⅲ）先根据必要性得到f（﹣1）＝﹣a，再证明当a时，f（x）＝ln+≥ln﹣，结合（Ⅱ）中单调性证得f（x）≥，即满足充分性，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln+（x＜1且x≠0），
∴f'（x）＝﹣×﹣＝﹣，
当a＝0时，f'（x）＝，f′（﹣1）＝﹣，
f（x）＝ln，f（﹣1）＝0，
故曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y＝﹣（x+1），即x+2y+1＝0；
（Ⅱ）易得定义域为（﹣∞，0）∪（0，1），
当a＝﹣时，f′（x）＝+＝，
令f′（x）＝0，得x＝或x＝﹣1，
当x＜﹣1或＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜0或0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故f（x）的单增区间为（﹣1，0），（0，）；单减区间为（﹣∞，﹣1），（，1）；
（Ⅲ）“f（﹣1）＝﹣a，即a”是“当x＜0时，f（x）≥恒成立”的必要条件．
当a，x＜0时，f（x）＝ln+≥ln﹣，
令g（x）＝ln﹣，
由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，0）单调递增，
故g（x）≥g（﹣1）＝，
即f（x）≥g（x），
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣]．
【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题．
21．（15分）已知有限数列{an}共M项（M≥4），其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等．将数列{an}的各项和记为S．
（Ⅰ）若an∈{1，2}（n＝1，2，⋯，M），直接写出M、S的值；
（Ⅱ）若an∈{1，2，3}（n＝1，2，⋯，M），求M的最大值；
（Ⅲ）若an∈N+（n＝1，2，…，M），M＝16，求S的最小值．
【分析】（Ⅰ）直接列举出数列{an}，即可求得M，S；
（Ⅱ）先构造数列使M＝8，再说明不同的等腰三角形只有6个，故M≤6+2＝8，即可求得M的最大值；
（Ⅲ）先构造数列使S＝50，再设T为数列的每一组连续三项的和的和，得3S＝T+2a1+2a16+a2+a15，列举出不同的等腰三角形，使T和2a1+2a16+a2+a15最小，进而得到S≥50，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2，
若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，不合题意，
若前三项为1，2，2，该数列只有4项，该数列只能为1，2，2，2，
若前三项为2，2，2，该数列只有4项，该数列只能为2，2，2，1，
综上：M＝4，S＝7；
（Ⅱ）①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，此时M＝8；
②当存在连续三项为1，1，1时，本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，即数列只有3项，与M≥4矛盾，舍去；
③当不存在连续三项为1，1，1时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：
1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3；
又相邻的4项组成的2个等腰三角形中间2项是共用的，则总的项数为不同的等腰三角形的个数加上首尾2项，所以M≤6+2＝8，
④由①②③，M的最大值为8；
（Ⅲ）①构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，此时S＝50；
②设T为数列的每一组连续三项的和的和，则T＝（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+⋯+（a13+a14+a15）+（a14+a15+a16）
＝3（a1+a2+⋯+a15+a16）﹣2a1﹣a2﹣a15﹣2a16，即3S＝T+2a1+2a16+a2+a15；
③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：
[2，2，1（5）]；2，2，2（6）；2，2，3（7）；
[3，3，1（7）]；3，3，2（8）；3，3，3（9）；⋯；3，3，5（1l）；
[4，4，1（9）；4，4，2（10）]；4，4，3（11）；⋯；4，4，7（15）；
[5，5，1（11）；5，5，2（12）]；5，5，3（13）；⋯；5，5，9（19）；
[6，6，1（13）；6，6，2（14）；6，6，3（15）]；⋯；6，6，11（23）；
其中带[]的连续三项不能同时满足和前一项、后一项构成3个等腰三角形，故必为数列的首三项或尾三项，
故其对应的三角形在14个三角形中至多出现两个；
④由③，要使最小，则使T和2a1+2a16+a2+a15最小，在画横线的连续三项中取和最小的2组，
在没带[]的连续三项中取合最小的12组，同时令a1＝1，a16＝1，a2＝2，a15＝3，
则T≥（5+7）+（6+7+8+9+10+11+11+12+13+13+14+14）＝140，
2a1+2a16+a2+a15≥2×1+2×1+2+3＝9，又由（2），3S≥140+9＝149，
所以S≥50；
⑤由①④，S的最小值为50．
【点评】本题考查了数列与函数的综合应用，属于难题．
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