广东省普宁市普师高级中学2023届高三二模数学试题（含解析）

广东省普宁市普师高级中学2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点一定在（    ）

A．实轴上 B．虚轴上

C．第一、三象限的角平分线上 D．第二、四象限的角平分线上

3．设数列的前n项和为，，为常数列，　　

A． B． C． D．

4．设是单位向量，，，，则四边形是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

5．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（   ）

A．36 B．40 C．42 D．48

6．已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知定义在上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小值是2 B．的最小值是1

C．的最小值是4 D．的最大值是

10．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上增函数

C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数

D．，若恒成立，则的最小值为.

11．下列命题中，正确的命题是（    ）

A．数据1，3，4，5，6，8，10的第60百分位数为5

B．若随机变量，，则

C．若随机变量，则取最大值时或4

D．某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为9，方差为11；女生成绩的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为10.5

12．如图，已知正方体棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点，则（    ）

A．满足平面的点P的轨迹长度为

B．满足的点P的轨迹长度为

C．存在点P满足

D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为

三、填空题

13．已知，则f(8)＝________．

14．的展开式中含项的系数为___________.

15．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________.

16．已知函数，，设，且函数的零点均在区间内，则的最小值为________．

四、解答题

17．已知：为的前项和，且满足.

（1）求证：成等比数列；

（2）求.

18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．

(1)求角的大小；

(2)若边，求的取值范围．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，且PA⊥平面ABCD，PA＝4．

(1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；

(2)当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

20．2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(单位：)与尺寸x(单位： )之间近似满足关系式(b､c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；

②已知优等品的收益z(单位：千元)与x，y的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？(精确到0.1)

附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.

21．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作，垂足为M，求面积的最大值．

22．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若，，是的两个零点.证明：

（i）；

（ii）.

参考答案：

1．A

【分析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.

【详解】解：，，，故选A．

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.

2．D

【分析】设，由可解得，则，复数在复平面上对应的点为，即可判断

【详解】设，则，则，即，，

∴，复数在复平面上对应的点为，一定在第二、四象限的角平分线上，

故选：D

3．B

【分析】由题意知，，当时，能得到，由此能求出．

【详解】数列的前n项和为，且，

，

为常数列，由题意知，，

当时，，

从而，

，当时上式成立，

．

故选B．

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．

4．B

【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案.

【详解】解：因为，，

所以，即，，

所以四边形是平行四边形，

因为，即，

所以四边形是菱形.

故选：B

5．A

【分析】将情况分为113和122两种情况，相加得到答案.

【详解】当分的票数为这种情况时：

当分的票数为这种情况时：一张票数的人可以选择：

不同分法的种数为36

故答案选A

【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两类可以简化运算.

6．C

【分析】利用函数的周期性及函数的对称性进行计算求解.

【详解】由，得  ①

又函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，即  ②

联立①②两式，可得，所以，

所以函数的一个周期为8，又，

所以，故A，B，D错误.

故选：C.

7．A

【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.

【详解】

因为，所以∽，

设，则，设，则，．

因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以，

由双曲线定义知，即，，①

又由得，

所以，即是等边三角形，

所以．

在中，由余弦定理知，

即，化简得，

把①代入上式得，所以离心率为．

故选：A．

8．D

【详解】由题意得对恒成立,

即对恒成立,

即恒成立,

又单增，且时，，

因此,选D.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

9．AD

【分析】A.利用“1”代换求最值

B.直接运用基本不等式

C.先把式子变形，再运用基本不等式

D.先构造，再运用基本不等式

【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确.

B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误.

C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误.

D.因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故选项D正确.

故选：AD.

10．ACD

【分析】对A，由函数图像即可算出函数的周期，由,即可求出，再代入一个最高点即可求出函数的解析式；对B、C，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对D，通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值.

【详解】对A，由题意知，，，，

即， （），（），

又，，，所以A正确 ；

对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

得到的函数，，，

在上不单调递增，故B错误；

对C，把的图像向左平移个单位，

则所得函数为，是奇函数，故C正确；

对D，对，恒成立，即，恒成立，

令，，则，，

，，，

的最小值为，故D正确.

故选：ACD.

11．BCD

【分析】对于A：直接求出第60百分位数，即可判断；对于B：由正态曲线的对称性直接求解；对于C：表示出，利用二项式系数的性质即可判断；对于D：由分层随机抽样中方差的计算公式直接求解.

【详解】对于A：数据1，3，4，5，6，8，10一共有7个.

因为，所以其第60百分位数为第5个，为6.故A错误；

对于B：因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，

所以，

所以.故B正确；

对于C：因为随机变量，所以.

所以要使最大，只需最大.

由二项式系数的性质可得：当或4时，最大.故C正确；

对于D：由题意可得男生成绩的平均数为9，方差为11，记为.

女生成绩的平均数为7，方差为8，记为.

所以全部10名学生的成绩的平均数为.

由分层随机抽样中方差的计算公式可得：

.故D正确.

故选：BCD

12．AD

【分析】对选项A，利用面面平行的性质证明线面平面，进而求出轨迹长度；

对选项B，建立空间直角坐标系，利用向量垂直求出点P轨迹，进而求出轨迹长度；

对选项C，建立空间直角坐标系，利用距离公式求出点P轨迹满足的方程，再结合二次方程的判别式，进而判断不存在这样的点P；

对选项D，利用等体积法求出球心点B到面的距离，进而求出交线长度；

【详解】

分别取的中点为，连接.

可得：，.

又有：.

可得：平面平面.

故满足平面的点P的轨迹长度为，故答案A正确；

建立如图所示的空间直角坐标系

可得：，，，，.

设，可得：，，，.

由，可得：.

分别取的中点为，点满足方程，说明点在平面内的轨迹为一条线段，则满足的点P的轨迹长度为，故答案B错误.

要使，只需：.

可得：（）.

化简可得：（）.

则：，即当时，.显然该方程无解，

故不存在这样的点，故答案C错误.

为正三角形，设点到平面的距离为，点平面的距离为.

由等体积法，可得：.

可得：，即

故以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为：

故答案D正确.

故选：AD

【点睛】（1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图；

（2）用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；

13．7

【分析】由于8<10，所以f(8)＝f(f(13))，而13>10，所以f(13)＝13-3=10，从而可求出f(8) ＝f(10)，进而可求出值.

【详解】解：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))．

因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，

故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.

故答案为：7

【点睛】此题考查分段函数求值，求值时要注意自变量所在的范围，属于基础题.

14．

【分析】由二项式定理得出含项的系数.

【详解】的展开式的通项为，由得，则含的项为，系数为

故答案为：

15．2

【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义结合中点坐标公式，推出圆和y轴相切，求出，，代入抛物线方程，求出．

【详解】抛物线方程为，焦点，，准线方程为，

设，由抛物线性质，可得，

因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，

由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点，

故圆心纵坐标为1，则点纵坐标为2，

即，代入抛物线方程得，所以，

则的焦点到准线距离为2,

故答案为：2

16．9

【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数、的单调性，进而确定它们零点所在区间，得零点所在区间求解作答.

【详解】，当时，， 当时，，

因此，函数是R上的增函数，而，

于是得函数的唯一零点在内，函数的唯一零点在内，

，则是R上的减函数，而，，

有，，

于是得函数的唯一零点在内，函数的唯一零点在内，

因此函数有两个零点，分别在区间和内，都在区间，

因函数的零点均在区间内，则，即有，且，，

所以的最小值为9.

故答案为：9

17．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再整理，利用等比数列地域证明结果；

（2）先根据等比数列通项公式求得通项公式，再求.

【详解】（1）；

因为，所以

所以

因此构成以为首项，为公比的等比数列.

（2）

【点睛】本题考查等比数列定义、等比数列通项公式、和项与通项关系，考查基本分析论证求解能力，属基础题.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理与两角和的正弦公式化简后求解

（2）由正弦定理化简，转化为三角函数求解

【详解】（1）∵在中，内角，，的对边分别为，，，

，

∴，

∴，即，

∴；

（2）∵，∴，

即，，且，，

则

，

∵，∴，∴，

故的取值范围是．

19．(1)

(2)

【分析】（1）连接AQ，设BQ＝t，则CQ＝a－t，在Rt△ADQ中，有，即，利用基本不等式可求a的取值范围；

（2）过Q作交AD于M，过M作MN⊥PD于N，连接NQ，可知∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角，进而求出二面角A－PD－Q的余弦值．

【详解】（1）如图，连接AQ，∵PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有AQ⊥DQ．

设BQ＝t，则CQ＝a－t．在Rt△ABQ中，有．

在Rt△CDQ中，有．

在Rt△ADQ中，有，即，

即，∴，故a的取值范围是．

（2）由（1）知，当t＝2，a＝4时，

边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD．

如图，过Q作交AD于M，则QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM，∴QM⊥平面PAD．

过M作MN⊥PD于N，连接NQ，则QN⊥PD．

∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．

在等腰Rt△PAD中，可求得，又MQ＝2，进而．

∴，即二面角A－PD－Q的余弦值为．

20．（1）分布列答案见解析，数学期望为；（2）① ；② .

【解析】（1）由题意首先确定的取值，然后求对应的概率，即可列分布列，求出数学期望；

（2）①结合题中所给的数据计算回归方程即可；②结合计算求得回归方程得到收益的函数，讨论函数的最值即可得最终结果.

【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品.

现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数

， ，

，

的分布列为

∴

（2）对两边取自然对数得 ，

令，得 ，且，

①根据所给统计量及最小二乘估计公式有：

，得 ，故

所求y关于x的回归方程为

② 由① 可知，，则

由优等品质量与尺寸的比，即 .

令，

当时， 取最大值，

即优等品的尺寸，收益的预报值最大.

【点睛】思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）

21．(1)

(2)2

【分析】（1）先求得椭圆C的离心率，又椭圆C的短轴长为，可得a,b,c的值，即得椭圆C的标准方程；

（2）利用直线上两点的距离公式算得的表达式，可得.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c．

因为双曲线的离心率，

所以椭圆C的离心率，

又椭圆C的短轴长为，所以，解得．

联立解得，

故椭圆C的方程为．

（2）设点，易知直线l的斜率一定存在，设直线，

联立消元可得，

由题意，，即且，

整理得．

由过点A的切线是唯一的得，

所以直线，

又直线交于点M，得直线．

联立可得．

所以，

，

即，当且仅当，即时取等号．

故面积的最大值为2．

22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】（1）求出导数，讨论和两种情况根据导数正负即可得出单调性；

（2）（i）可得不等式等价于，令，则利用导数证明即可；

（ii）由题可得且，根据可得，，即可由此证明.

【详解】解：（1）定义域，，

则当时，，在为增函数；

当时，令，解得，当时，，在为增函数；当时，，在为减函数，

综上，时，在为增函数；时，在为增函数，在为减函数，

（2）证明：（i）原不等式等价于，

因为①，②，

由②-①得，，则，

则等价于，

因为，所以，

即证，等价于③，

设，，设，，

③等价于，，

在上为增函数.

，即；

（ii）设，则，令，解得，

所以在上递增，在上递减，

因为有两个不相等的实根，则且，

易知对恒成立，则对恒成立，

，因为，所以，

又因为，，所以或，

因为且，所以，，

因为，所以，

即.

【点睛】本题考查利用导数证明不等式，解题的关键是恰当的构造函数，将不等式转化为利用导数求函数的最值问题，考查学生的转化能力，计算能力.