广东省华附、省实，广雅、深中等四校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题（原卷及解析版）

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华附、省实、广雅、深中2023届高二四校联考数学命题学校：广东广雅中学    定稿人：赖淑明、廖婉雁本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再根据集合的补集、交集定义直接计算即得.【详解】解不等式得：或，即或，，而，则，所以.故选：A2. 若复数z满足，则z的虚部为（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】设复数，依据复数相等列出关于的方程组，解之即可求得z的虚部b.【详解】设复数，由复数z满足可得，即则，解之得，即z的虚部为故选：D3. 向量，，则在上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】在上的投影向量为.故选：D.4. 为研究变量，的相关关系，收集得到下面五个样本数据：若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本数据是（    ）12345202325273022.4334.6 A. （23，2.4） B. （25，3） C. （27，3） D. （30，4.6）【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求出回归方程，然后逐个选项进行检验即可.【详解】由表中数据可得，，关于的经验回归方程为，可得，解得，关于的经验回归方程为，A.当x=23时，，即残差不为0，B. 当x=25时，，即残差为0，C. 当x=27时，，即残差不为0，D. 当x=30时，，即残差不为0，故选：B5. 函数具有性质（    ）A. 最大值为2，图象关于对称 B. 最大值为，图象关于对称C. 最大值为2，图象关于直线对称 D. 最大值为，图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据辅助角公式将函数化简为，然后代入验证是否是对称轴和对称中心即可.【详解】，故最大值为;当时，，故图象关于直线对称，当时，，故不是函数的对称中心，故选：D6. 已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，设，利用距离公式求出，根据二次函数的性质求出的最小值，即可求出切线长最小值；【详解】解：圆的圆心为，半径，因为为抛物线上的动点，设，则，所以当时，过点作圆的切线，此时切线长最小，最小为；故选：C7. 已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】将题设转化为和有3个交点，令，求导确定单调性，进而画出函数图象，结合图象即可求出a的取值范围.【详解】函数有三个零点，等价于即有三个根，即和有3个交点.令，，当时，，单减；时，，单增；则当时，取得极小值，当时，取得极大值，又时，，时，，画出图象如图所示，结合图像可知，当，和有3个交点，即函数有三个零点.故选：B.8. 已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ）A  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据递推关系，即可判断A,由基本不等式即可判断B,根据累加法以及放缩法即可判断C，根据导数可证明，进而根据累加法以及放缩即可求解D.【详解】对取倒数得：，对于A：，故A错误;对于B:，故B错.对于C:，故C正确.对于D:记，则，当时，，故在上单调递增，因此，进而可得：，由该结论可得：，故所以，因此，，所以，故D错误.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）A. 时，取得极大值 B. 时，取得最小值C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，再由极值和最值的含义进行判断即可.【详解】结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.故选：ACD.10. 若，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】由指对幂函数的单调性及指对幂运算依次判断4个选项即可.【详解】对于A，由为增函数知，A正确；对于B，由在为增函数知，B正确；对于C，取，则，则，C错误；对于D，易得，则，则，D错误.故选：AB.11. 现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（    ）A. 在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为B. 两份报告表都是男士的概率为C. 在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为D. 两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为【答案】AC【解析】【分析】由条件概率和全概率公式依次计算求解即可.【详解】对于A，在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为，A正确；对于B，若选第一袋，两份报告表都是男士的概率为；若选第二袋，两份报告表都是男士的概率为；则两份报告表都是男士的概率为，B错误；对于C，在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，C正确；对于D，若选第一袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为；若选第二袋，两份报告表恰好男士和女士各1份概率为；则两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，D错误.故选：AC.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（    ）A. 若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B. 若双曲线C等轴双曲线，且，则C. 若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D. 延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则【答案】ABD【解析】【分析】由点在双曲线上及斜率公式即可判断A选项；设出，表示出，由A选项中斜率之积即可判断B选项；利用点关于直线对称求出点坐标，代入双曲线即可求出离心率，即可判断C选项；先判断出内切圆圆心的横坐标为，再借助勾股定理即可判断D选项.【详解】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，则，又，则，A正确；对于B，设，则，由A选项知，即，又，，故，解得，即，B正确；对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，解得，代入可得，即，解得，则C的离心率为，C错误；对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，则，又，可得，则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，，，在中，可得，即，整理得，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中的系数是__________．【答案】【解析】【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数；【详解】解：因为，其中展开式的通项为，则，，所以展开式中的系数为；故答案为：14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，则鳖臑的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，根据球的表面积公式可求其外接球表面积，【详解】堑堵的外接球即为鳖臑外接球，又可将堑堵补成长方体，长方体的外接球即为堑堵的外接球，长方体的外接球直径为，所以鳖臑的外接球的半径为，∴鳖臑的外接球表面积为．故答案为：.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数__________．①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上单调递减．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先写出，再由奇函数的定义、解方程求零点以及求导确定单调性依次判断即可.【详解】对于三次函数，显然定义域为R，，则为奇函数，满足①；令，则，解得或，有3个不同的零点，满足②；，当时，，则在上单调递减，满足③；故.故答案为：（答案不唯一）.16. 某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成．若元件1和元件2都正常工作，或元件3正常工作，则该部件正常工作．由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取2000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这2000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为__________台．【答案】【解析】【详解】根据正态分布性质得，每个元件寿命超过小时的概率为，先求每个部件不能正常工作为，于是能正常工作的概率为，由于每个部件能否正常工作相互独立，于是这2000台仪器的部件可近似看作二项分布，根据二项分布的期望，使用寿命超过小时的有.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在公差不为0的等差数列中，前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前12项和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；（2）利用并项求和法及等比数列求和公式计算可得；【小问1详解】设等差数列中，首项为，公差为（），由，，所以，，解得，所以；【小问2详解】解：因为，，所以，，即，，即，即，即，即，所以18. “云课堂”是一种完全突破时空限制的全方位互动学习模式．某地区教育部门随机抽取400名高一、高二学生对“云课堂”使用情况进行问卷调查，记Y表示喜欢，N表示不喜欢，统计结果部分数据如下两表格所示：（表一）使用情况YN人数270130（表二） 高一学生高二学生合计Y150  N 80 合计    （1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断能否依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级有关？（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在该地区高一学生和高二学生中各随机抽取4人，记事件A为“4名高一学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”，事件B为“4名高二学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”根据所给数据，估计与，并比较与的大小．附：0.050.010.0013.8416.63510.828 【答案】（1）列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级无关；    （2），，【解析】【分析】（1）先完善列联表，然后零假设，计算和比较，即可作出判断；（2）先分别计算高一、高二学生喜欢“云课堂”的概率，再计算出与，比较大小即可.【小问1详解】列联表如下： 高一学生高二学生合计Y150120270N5080130合计200200400零假设为：“云课堂”使用情况与年级没有关系，根据列联表数据得，，根据小概率值的独立性检验，推断成立，即依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级无关；【小问2详解】由题意知，高一学生喜欢“云课堂”的概率为，高二学生喜欢“云课堂”的概率为，则，，易得.19. 设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，．（1）证明：；（2）若D是BC边上的中点，且，求的值．【答案】（1）证明见解析；    （2）【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理将转化为关于a，b，c的关系式，化简整理即可得到；（2）利用三角形中线的性质和（1）的结论列出关于a，b，c的方程组，进而得到a，b，c之间的关系，利用余弦定理即可求得的值．【小问1详解】中，由，可得则，则，整理得即，又，则【小问2详解】中，D是BC边上的中点，且，则则有，解之得则20. 四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．（1）求证：；（2）求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【小问1详解】证明：因为，，，由余弦定理，所以，则，所以，即，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以；【小问2详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；21. 已知椭圆的离心率为，过C的右焦点且垂直于x轴的直线被C截得的线段长为2，A、B为椭圆C的上、下顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的直线l交椭圆C于M、N两点（不同于A、B两点），若直线AN与直线BM交于点Q，试问点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）    （2）是定值，详见解析【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得的值，进而求得椭圆C的方程；（2）设出直线l的方程，并与椭圆C的方程联立，利用设而不求的方法求得直线AN与直线BM交点Q的纵坐标，化简整理即可求得点Q的纵坐标为定值.【小问1详解】椭圆的离心率为则，则，，则椭圆方程可化为又过C的右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为2， 则点即点在椭圆C上则，解之得，则则椭圆C的方程为；【小问2详解】由题意可得，，过点P的直线斜率存在，设直线l的方程为，令由，整理得则，即或又直线的方程为，直线的方程为由，可得 又，则则直线AN与直线BM交点Q的纵坐标为定值122. 已知函数，．（1）若曲线在处的切线过原点，求a的值；（2）当时，，求a的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用导数几何意义列出关于a的方程，解之即可a的值；（2）先构造函数，再利用导数证明，进而求得a的取值范围．【小问1详解】，则则又曲线在处切线过原点，则，即，解之得【小问2详解】①当时，，，则在上单调递减又，则时，；时，故时，不满足当时，不符合题意；②由，可得则令，要证，只需证㈠当时，由①知，㈡当时，令，则，，在单调递减，在单调递增，，则，，使得则当或时，当时则在和单调递增，在单调递减又由，可得当时，；当时，则在上单调递增；在上单调递减又由，可得当时，㈢当时， 则在上单调递增，又由，可得当时，综上，当时，在上恒成立则的取值范围是【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.