初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数优秀达标测试

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2023年人教版九年级上册《二次函数与线段最值问题》专项练习1.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，求△PMF周长的最小值．     2.二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．    3.如图，已知抛物线y＝(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．[    4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)F，G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D，E，F，G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值．      5.如图所示，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C和点B(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离．     6.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3.(1)求抛物线的解析式．(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      7.如图，已知抛物线y＝－(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．[     8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．       9.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值．     10.如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．     11.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，P(m，n)是线段AD上的动点．(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m之间的关系式，当m为何值时，PQ最长？  12.如图1，已知抛物线y＝﹣x2＋x﹣4与y轴相交于点A，与x轴相交于B和点C(点C在点B的右侧，点D的坐标为(4，﹣4)，将线段OD沿x轴的正方向平移n个单位后得到线段EF.(1)当n＝　   　时，点E或点F正好移动到抛物线上；(2)当点F正好移动到抛物线上，EF与CD相交于点G时，求GF的长；(3)如图2，若点P是x轴上方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M，探索是否存在点P，使线段MP长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.   答案1.解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2＋1于点P，此时△PMF的周长最小．∵F(0，2)，M(，3)，∴ME＝3，FM＝＝2，∴△PMF周长的最小值＝ME＋FM＝3＋2＝5.2.解.(1)∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴解得∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.(2)∵y＝－x＋b经过点B，∴－×1＋b＝0.解得b＝.∴y＝－x＋.设M(m，－m＋)，则N(m，－m2－2m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－(－m＋)＝－m2－m＋＝－(m＋)2＋.∴MN的最大值为.　3.解：(1)令y＝0，得(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4；令x＝0，得y＝－.∴A(－2，0)、B(4，0)、C(0，－)．(2)过点A(－2，0)作y轴的平行线l，则点B关于l的对称点B′(－8，0)，又M(1，－)，连接B′M与l的交点即为使MN＋BN值最小的点．设直线B′M的解析式为y＝kx＋b，则解得∴y＝－x－.∴当x＝－2时，n＝－.　4.解.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y＝x2＋bx＋c，得解得故二次函数的表达式为y＝x2－x＋4.(2)延长EC至E′，使E′C＝EC，延长DA至D′，使D′A＝DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，GD＝GD′，EF＝E′F，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE，由E(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E(5，－2)．由勾股定理，得DE＝＝，D′E′＝＝3，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE＝3＋.5.解：(1)在y＝x－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－2.(2)设点D的坐标为(x，y)，则y＝－x2＋x－2(1＜x＜4)．在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，由勾股定理得AC＝2.如图所示，连接CD，AD.过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，则FD＝x，DG＝4－x，OF＝AG＝y，FC＝y＋2.S△ACD＝S梯形AGFC－S△CDF－S△ADG＝(AG＋FC)·FG－FC·FD－DG·AG＝(y＋y＋2)×4－(y＋2)·x－(4－x)·y＝2y－x＋4.将y＝－x2＋x－2代入，得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，∴D(2，1)．∵S△ACD＝AC·DE，AC＝2，∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，则DE的最大值为＝＝.∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2，1)，最大距离为.6.解：(1)由已知条件得A(－2，0)，C(0，3)，代入二次函数解析式，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3.[来源:学科网ZXXK](2)连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点．设直线AD的解析式为y＝kx＋t.由已知得解得∴直线AD的解析式为y＝x＋1.∵对称轴为直线x＝－＝，将x＝代入y＝x＋1，得y＝.∴P(，)．　7.解.(1)抛物线过点G(2，2)时，－(2＋2)(2－m)＝2，解得m＝4.(2)∵m＝4，∴y＝－(x＋2)(x－4)．令y＝0，－(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4.则A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线l：x＝＝1.令x＝0，则y＝2，所以C(0，2)．∵B点与A点关于对称轴对称，∴连接BC，BC与直线l的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC所在直线为y＝－x＋2.当x＝1时，y＝，∴H(1，)．　8.解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，得解这个方程组，得所以解析式为y＝－x2＋x.(2)由y＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，可得抛物线的对称轴为直线x＝1，并且对称轴垂直平分线段OB，∴OM＝BM.∴OM＋AM＝BM＋AM.连接AB交直线x＝1于M点，则此时OM＋AM最小．过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB＝＝＝4，因此OM＋AM的最小值为4.9.解：(1)∵二次函数图象的顶点C的坐标为(1，4)，∴可设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋4.∵点B(3，0)在该二次函数的图象上，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，∴点D的坐标为(0，3)．设直线BD的解析式为y＝kx＋3，把点B的坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直线BD的解析式为y＝－x＋3.(2)设点P的横坐标为m(0<m<3)，则P(m，－m＋3)，M(m，－m2＋2m＋3)，∴PM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－)2＋，∴当m＝时，PM长度的最大值为.10.解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴×(－1)2＋b×(－1)－2＝0，解得b＝－，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.∵y＝x2－x－2＝(x－)2－，∴顶点D的坐标为(，－)．(2)△ABC是直角三角形．证明如下：当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，则OC＝2.当y＝0时，x2－x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，则B(4，0)，∴OA＝1，OB＝4，∴AB＝5.∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．(3)由题意得A，B两点关于对称轴对称，故直线BC与对称轴的交点即为点M.设直线BC的解析式为y＝kx－2.∵B(4，0)，∴4k－2＝0，解得k＝，∴直线BC的解析式为y＝x－2.当x＝时，y＝×－2＝－.∴点M的坐标为(，－)．11.解：(1)把(1，0)，(－3，0)分别代入y＝ax2＋bx－3，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，∴D(－2，－3)．设直线AD的解析式为y＝kx＋c，将A(1，0)，D(－2，－3)分别代入，得解得∴直线AD的解析式为y＝x－1.(2)根据题意，得点P的坐标为(m，m－1)，点Q的坐标为(m，m2＋2m－3)，(－2≤m≤1)∴l＝(m－1)－(m2＋2m－3)＝－m2－m＋2＝－(m＋)2＋，当m＝－时，l最大＝.故l与m之间的关系式为l＝－m2－m＋2(－2≤m≤1)，当m＝－时，PQ最长．12.解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋x﹣4与x轴相交于B和点C∴0＝﹣x2＋x﹣4∴x1＝1，x2＝5∴点B(1，0)，点C(5，0)当点E与点B重合，则n＝1，当点E与点C重合，则n＝5当点F在抛物线上，则﹣4＝﹣x2＋x﹣4，解得：x1＝0(不合题意舍去)，x2＝6∴F(6，﹣4)∴n＝6﹣4＝2故答案为：1或2或5(2)∵点F正好移动到抛物线上∴n＝2∴点E坐标为(2，0)∵点E(2，0)，点F(6，﹣4)∴直线EF解析式：y＝﹣x＋2∵点C(5，0)，点D(4，﹣4)∴直线CD解析式：y＝4x﹣20设点G(x，y)∵EF与CD相交于点G∴，解得：x＝4.4，y＝﹣2.4∴点G(4.4，﹣2.4)∵点G(4.4，﹣2.4)，点F(6，﹣4)∴GF＝(3)存在点P，使线段MP长度有最大值∵抛物线y＝﹣x2＋x﹣4与y轴相交于点A，∴当x＝0时，y＝﹣4∴点A(0，﹣4)∵点A(0，﹣4)，点C(5，0)∴直线AC解析式：y＝x﹣4设点P(t，﹣t2＋t﹣4)，则点M(t，t﹣4)∴PM＝﹣t2＋t﹣4﹣(t﹣4)＝﹣t2＋4t＝﹣(t﹣)2＋5∴当t＝时，PM的最大值为5∴点P坐标为(，3)∴存在点P(，3)，使线段MP长度有最大值为5.