【期末复习】第二单元《因数和倍数》——小学数学人教版五年级下册单元知识梳理+练习（原卷版+解析版）

人教版五年级下册同步重难点讲义精讲精练

第二单元 因数和倍数

知识点一：因数与倍数

1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。

2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数)

一个数的因数的求法：成对地按顺序找

3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

一个数的倍数的求法：依次乘以自然数

知识点二：2、5、3的倍数的特征

1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。

2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

知识点三：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数）[来源:Zxxk.Com]

　　(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1，

　　         偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0.

(2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数

偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数

　　(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)

　　(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数

(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。

知识点四：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类）

    (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数)

　        　合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)，

　　(2)最小的质数是2 最小的合数是4

　　(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。

　　(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数

　　(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2

　　(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数

(7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17，  19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。

=

考点1：找一个数的因数的方法

【典例分析01】把80个苹果分给若干个小朋友，每人分得同样多，正好分完没有剩余，共有多少种不同的分法？（小朋友的人数多于1人）

【思路引导】根据题意，80个苹果分给若干个小朋友，每人分得同样多，正好分完没有剩余，那么每人分的苹果数量应该是80的因数。

【完整解答】解：80的因数有：1，2，4，5，8，10，16，20，40，80。

因为小朋友的人数多于1人，所以共有9种不同的分法。

答：共有9种不同的分法。

【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用。

【典例分析02】（2022春•浠水县校级月考）一个数它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是（　　）

A．54 B．36 C．18 D．1

【思路引导】每个数最小的倍数和最大的因数都是它本身，据此解答即可．

【完整解答】解：一个数它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18．

故选：C．

【考察注意点】此题主要考查了找一个数的因数、倍数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：每个数最小的倍数和最大的因数都是它本身．

【变式训练1-1】（2021•大邑县）古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除6本身以外，还有1、2、3三个因数，6＝1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（　　）

A．12 B．24 C．28 D．36

【变式训练1-2】（2021春•昌黎县期中）42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程）

考点2：找一个数的倍数的方法

【典例分析03】一个数是8的倍数，这个数一定也是（　　）的倍数。

A．12 B．9 C．4

【思路引导】一个数是8的倍数，要使这个数一定也是另一个数的倍数，则8必须是另一个数的倍数，据此解答。

【完整解答】解：A.8不是12的倍数，则这个数也不一定是12的倍数；

B.8不是9的倍数，则这个数也不一定是9的倍数；

C.8是4的倍数，则这个数一定也是4的倍数。

故选：C。

【考察注意点】本题考查倍数和因数的认识，根据倍数的意义即可解答。

【典例分析04】（2022春•成武县月考）把一箱苹果平均分给8个小朋友正好分完．已知这箱苹果个数少于80个，这箱苹果可能有多少个？这箱苹果至少有多少个？最多有多少个？

【思路引导】把一箱苹果平均分给8个小朋友正好分完，那么这箱苹果的个数应该是8的倍数，80以内8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64、72，据此解答即可．

【完整解答】解：80以内8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64、72；

所以这箱苹果可能有8、16、24、32、40、48、56、64、72个，这箱苹果至少有8个，最多有72个．

答：这箱苹果可能有8、16、24、32、40、48、56、64、72个，这箱苹果至少有8个，最多有72个．

【考察注意点】灵活运用求一个数的倍数的方法来解决实际问题．

【变式训练2-1】（2021春•天门期中）用0、3、9排成一个三位数，5的倍数有                   ；3的倍数有　               ．（写出所有的数）

【变式训练2-2】（2021春•滨海县期中）小明比爷爷小45岁，爷爷今年的岁数正好是小明的4倍。爷爷和小明今年各多少岁？

考点3：合数与质数

【典例分析05】在小于10的自然数中，相邻两个数都是合数的是 　 　和  　。

【思路引导】在小于10的自然数中，相邻的两个数都是合数的是 8和 9。

【完整解答】解：根据质数与合数的意义可知，

在比10小的自然数中，相邻的两个数都是合数的是 8和 9。

故答案为：8，9。

【考察注意点】本题考查了质数、合数的意义及应用。

【典例分析06】（2022春•浠水县校级月考）把下列数字写成几个质数和的形式：

12＝　5　+　7　

15＝　2　+　13　

20＝　3　+　17　＝　7　+　13　

24＝　5　+　19　＝　11　+　13　．

【思路引导】在分数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．据此根据所给数据进行填空即可．

【完整解答】解：12＝5+7

15＝2+13

20＝3+17＝7+13

24＝5+19＝11+13

故答案为：5、7；2、13；3、17，7、13；5、19，11、13．

【考察注意点】本题考查了学生对于质数意义的理解与应用．

【变式训练3-1】（2021春•盐城期中）下面几组数，全部都是质数的是（　　）

A．19，1，13 B．7，9，51 C．87，17，5 D．2，29，41

【变式训练3-2】（2021春•淮上区期中）在括号里填入合适的质数。

考点4：2、5的倍数特征

【典例分析07】在1～100的自然数中，2的倍数有 　    个，5的倍数数有 　      　个。

【思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8。

5的倍数特征：个位是0、4

【完整解答】解：在1﹣100的自然数里，从大到小10个数为1组，每一组里面有5个数是2的倍数，有2个数是5的倍数；所以2的倍数有：5×10＝50（个）；5的倍数有：2×10＝20（个）。

故答案为：50；20。

【考察注意点】此题需要学生熟记2、5的倍数特征并能灵活的运用。

【典例分析08】（2021春•临沂期末）在自然数中，凡是5的倍数（　　）

A．一定是质数 

B．一定是合数 

C．可能是质数，也可能是合数

【思路引导】自然数中所有5的倍数的尾数都是0或5，即它们既可以是奇数，也可以是偶数，5是质数，10是合数，所以有可能是质数，也有可能是合数。

【完整解答】解：在自然数中，凡是5的倍数，可能是质数，也可能是合数。

故选：C。

【考察注意点】一个数的最小倍数是它本身，所有质数的最小倍数都是本身，都是质数。

【变式训练4-1】（2021春•淳安县期末）明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？

【变式训练4-2】27□既是2的倍数，又是5的倍数，□里可以填（　　）

A．0、2、4、6、8 B．0 C．5

考点5：3的倍数特征

【典例分析09】（2022春•泾阳县月考）要使四位数415是3的倍数，中可以填的数有4个。　 　（判断对错）

【思路引导】3的倍数特征：各个数位上的数相加的和能被3整除。

【完整解答】解：4+1+5+2＝12是3的倍数，4+1+5+5＝15是3的倍数，4+1+5+8＝18是3的倍数，那么十位可以填2，5，8，能填的数只有3个。

故答案为：×

【考察注意点】此题考查了3的的倍数特征：各个数位上的数相加的和能被3整除。

【典例分析10】（2021春•兴庆区期末）用3，4，5组成的所有三位数都是（　　）的倍数．

A．2 B．3 C．5 D．7

【思路引导】根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．3、4、5这三个数字不论怎样排列，所组成的三位数和各位上的数字之和都是3的倍数，因此，三张数字卡片组成的三位数一定都是3的倍数，解答即可．

【完整解答】解：3+4+5＝12，12是3的倍数，

因此，这三张数字卡片组成的三位数一定都是3的倍数．

所以用3、4、5组成的所有三位数，一定都是3的倍数．

故选：B。

【考察注意点】本题是考查3的倍数特征．解题的关键是掌握3的倍数特征．属于基础知识，须记住．

【变式训练5-1】（2016•宁波模拟）在用0、1、4、7、9五个数字组成的没有重复数字的四位数中，一共

有　        个是3的倍数；把这些数从小到大排列起来，第五个是　      　。

【变式训练5-2】是3的倍数的最小三位数是（　　）

A．100 B．111 C．103 D．102

基础练

一．选择题

1．（2022春•科左中旗月考）A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C是（　　）

A．因数 B．倍数 C．质因数 D．无法确定

2．（2021秋•高邑县期末）因为15÷3＝5，15是3和5的倍数，15的因数共有（　　）个。

A．2 B．3 C．4

3．（2021秋•金牛区期末）对于算式4×8＝32，下面说法错误的是（　　）

A．4和8都是因数，32是倍数 

B．32是4和8的倍数 

C．4和8是32的因数 

D．以上选项都错误

4．（2021秋•开化县期末）下面（　　）的最大因数与最小因数的差是99。

A．101 B．100 C．99 D．98

二．填空题

5．（2022春•兴仁市校级月考）某排战士发装备，一共有30套军装，71个水壶和79双军鞋，每个战士拿的一样多，最后一共剩下19件物品没有发出去。那么一共有 　   　名战士。

6．（2021秋•细河区期末）37至少加 　   　才是2的倍数，至少减 　   　才是5的倍数。

7．（2021秋•安丘市期末）从2018年开始，山东省中小学全部实行小班化，每班学生不超过45人。相州小学五年级共3个班，学生总人数正好是2、3、5的倍数。相州小学五年级最多有 　   　名学生。

三．判断题

8．（2021秋•宿州期末）因为24÷4＝6，所以24是倍数，4和6是因数。 　   　（判断对错）

9．（2021秋•定州市期末）所有大于0的自然数，不是质数就是合数。 　   　（判断对错）

四．应用题

10．（2022春•科左中旗月考）五1班有48人参加兴趣小组，要求每组4﹣8人，可以怎样分组？

11．（2021秋•城固县期末）选用哪种包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。

12．（2021秋•通渭县期中）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？

13．（2021秋•广平县校级月考）一个数的最小因数和最小倍数相加等于28，写出这个数的所有因数。

14．（2021秋•泾阳县期中）连一连。

15．（2021秋•花都区期末）教师节，郭老师带了600元钱，要为全校12位老师每人选购一束同样的花，假如你是郭老师，你认为有哪些花束可以选择？写出计算过程。

提高练

一．选择题

1．（2021春•兴文县期中）34□是一个三位数，要使它是3的倍数，方框里最大填（　　）

A．9 B．8 C．5

2．（2021春•滨海县期中）正方形的边长是质数，它的周长是（　　）

A．质数 B．合数 

C．既不是质数也不是合数 D．无法确定

3．（2021•大邑县）古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除6本身以外，还有1、2、3三个因数，6＝1+2+3，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（　　）

A．12 B．24 C．28 D．36

二．填空题

4．（2022春•成武县校级月考）16的因数有 　   　。40以内7的倍数有 　   　。

5．（2021秋•城区期末）在1，2，5，12，27，36中，12的因数有 　   　，12的倍数有 　   　。

6．（2022春•浠水县校级月考）把下列数字写成几个质数和的形式：

12＝　   　+　   　

15＝　   　+　   　

20＝　   　+　   　＝　   　+　   　

24＝　   　+　   　＝　   　+　   　．

7．（2021•英山县）“哥德巴赫猜想”认为，每个不小于6的偶数都可写成两个奇素数（既是奇数，又是质数）之和。如6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7＝5+5，……100写成两个奇素数之和是 　   　。

三．判断题

8．（2022春•泾阳县月考）要使四位数415是3的倍数，中可以填的数有4个。　   　（判断对错）

9．（2021春•金川区校级期中）1是1，2，3，4，5的因数　   　．（判断对错）

10．（2020秋•惠阳区期末）18的因数有6个，18的倍数有无数个．　   　（判断对错）

四．应用题

11．一个长方形周长是20cm，这个长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少？

12．超市把一些苹果打包装进盒子里，每盒装4个苹果，正好装完；每盒装3个苹果，则多出2个。已知苹果的数量不超过30个，这些苹果可能有多少个？

13．贝贝书店要把80本课外书进行打包，现在有三种打包方案，选哪种打包方案刚好合适，没有剩余？

14．（2021春•闽侯县期中）合唱队有32个同学，要分成人数相等的若干小组，可以怎么分？请写出你的思考过程。

15．（2021春•登封市期中）（1）在圈内写上合适的数。

（2）从四张数字卡片中选出三张，按要求组成三位数（最少写出3个），使它符合题目要求。

①组成的数是3的倍数；

②组成的数既是2的倍数，又是5的倍数；

③组成的数既是2的倍数，又是3的倍数。