2023届上海市敬业中学高三三模数学试题含解析

这是一份2023届上海市敬业中学高三三模数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市敬业中学高三三模数学试题 一、填空题1．设集合，，则________【答案】【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2．若复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，则___【答案】【分析】先由题意，得到，化简整理，再由复数相等，得到，根据复数模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为复数（为虚数单位）是方程（、均为实数）的一个根，所以，整理得：，因此，解得.所以.故答案为【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.3．在等比数列中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式（ ）【答案】【分析】利用等比数列求和公式列方程求出数列的首项，从而可得结果.【详解】因为公比q=4，且前3项之和等于21，所以，该数列的通项公式为，故答案为【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题. 4．若直线的倾斜角为α，则sin2α的值为___________.【答案】/0.6【分析】根据直线斜率为倾斜角的正切值，结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】由题可知，，则.故答案为：.5．已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．【答案】/．【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为，所以，因此．故答案为：． 6．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为____________．【答案】【分析】由题意可知正四棱柱的对角线长即为球的直径，根据对角线长的计算公式可求得四棱柱的高.【详解】由题意可知正四棱柱的对角线长即为球的直径，因为该球的表面积为，所以球的半径，正四棱柱的底面积为1，则底面边长为1，设正四棱柱的高为h，则 ，即 解得 ，故答案为： .7．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于_________．【答案】60【分析】首先根据条件求出，然后写出展开式的通项，然后可得答案.【详解】因为所有二项式系数的和等于64，所以，所以，所以展开式的通项为，令得，所以该展开式中常数项的值等于.故答案为：60.8．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则是________【答案】【分析】先计算， ，然后根据条件概率的定义，可得结果.【详解】由题可知：所以故答案为：【点睛】本题考查条件概率，掌握条件概率公式，审清题意，简单计算，属基础题.9．已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为___________.【答案】/【分析】根据所截弦长与半径求出圆心到渐近线距离，从而解出的值，最后得到离心率.【详解】由题意可知双曲线的一渐近线方程为，圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，即（负舍），，双曲线的离心率为.故答案为：.10．若函数的值域为，则实数的取值范围是________【答案】【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可【详解】当时，，；当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即故答案为【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题11．已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是___________.【答案】【分析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可.【详解】因为，所以，依题意可得，所以,所以且，或且，当且时，，，，，所以，，，所以，，，所以当或时，取得最小值.当且时，，，，，所以，，，所以，，，所以当或时，取得最小值.综上所述：的最小值是.故答案为：.12．在数列中，对任意的都有，且，给出下列四个结论：①对于任意的，都有；②对于任意，数列不可能为常数列；③若，则数列为递增数列；④若，则当时，.其中所有正确结论的序号为_____________.【答案】③④【分析】对数列递推关系变形得到，得到与同号，当时，，①错误；当时，推导出此时为常数列，②错误；作差法结合时，，求出数列为递增数列，③正确；由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确.【详解】因为，所以，因为任意的都有，所以，所以与同号，当，则时，都有，①错误；当时，，所以，同理得：，此时为常数列，②错误；，由A选项知：若，则，所以，则数列为递增数列，③正确；由与同号，当，则时，都有，且此时，所以数列为递减数列，综上：若，则当时，，④正确.故答案为：③④ 二、单选题13．已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（    ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线夹角公式可以求出当两条直线夹角为时的值,然后根据充分性、必要性的定义,选出正确答案.【详解】两条直线的斜率分别是.当两条直线的夹角为时,则有：或.因此“”是“直线与直线的夹角为”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,掌握两直线夹角的计算公式是解题的关键.14．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）A．每一点的横坐标变为原米的2倍 B．每一点的纵坐标变为原来的2倍C．向左平移个单位 D．向上平移个单位【答案】D【分析】根据图象平移结合对数运算逐个分析判断.【详解】对A：所得函数为，A错误；对B：所得函数为，B错误；对C：所得函数为，C错误；对D：所得函数为，D正确；故选：D.15．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线【答案】B【解析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．16．在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8.其中，正确结论的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可.【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，因为，所以设，则，，所以，所以，即（为任意角），所以（其中），所以的最大值为，最小值为，所以①③错误，因为，所以（其中）因为，所以，所以，所以的最小值为，最大值为14，所以②正确，④错误，故选：A 三、解答题17．已知，正三棱柱中，，延长至，使.(1)求证：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）通过底面的边角关系可得，，进而可证得平面，从而得证；（2）法一：取中点，联结，可证得为二面角的平面角，从而得解.法二：建立空间直角坐标系用向量的方法求解.【详解】（1）因为是正三棱柱，所以，，且，从而又，所以，，即，又，、，平面，又，（2）解法一：取中点，联结.所以，又，故，因为平面，，所以，又，、，所以平面，又，所以，所以为二面角的平面角，因为所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.解法二：以直线为轴，直线为轴，直线为z轴建立空间直角坐标系.则，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，又平面的一个方向量，设二面角的大小为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.18．已知向量，其中，若函数的最小正周期为.(1)求的单调增区间；(2)在中，若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.【详解】（1）的最小正周期为.故，令，解得，故函数的单调增区间为（2）设中角所对的边分别是.，即，解得.，，.19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.每天下午6点前的销售量/千克250300350400450天数10105(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；(3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.【答案】(1)(2)分布答案见解析，(3) 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；（3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解.【详解】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为.（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，随机变量的可能值为，可得，所以随机变量的分布为：012所以的数学期望.（3）解：购进350千克时利润的期望值：，购进400千克时利润的期望值：，由，解得，因为且，因此，所以的最小值是.20．已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.(1)求双曲线的方程；(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；(3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）列方程求得a、b，即可得到双曲线的方程；（2）把坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，转化为，解不等式可得实数m的取值范围；（3）求得P、Q两点的坐标，得到，即可证明线段PQ在x轴上的射影长为定值.【详解】（1）当直线l：与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，又双曲线的渐近线为，则又焦距为4，则，解得，，则所求双曲线的方程为.（2）设，，则，由，得，则，，，，又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则，即，即，即，则，即，则或，即实数m的取值范围.（3），设，则，直线BD的斜率为， 又，则直线PQ的方程为，即，直线AD的斜率为，直线AD的方程为，由，得，即点Q的横坐标为，则.故线段PQ在x轴上的射影长为定值.21．定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．(1)判断函数和是否具有C关系；(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．【答案】(1)是(2)(3) 【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.【详解】（1）与是具有C关系，理由如下：根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，因为，，，所以，令，即，解得，所以与具有C关系.（2）令，因为，，所以，令，则，故，因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，当时，显然成立；当时，在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，综上：，即.（3）因为和，令，则，因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，因为，当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；当时，显然当时，，当时，因为在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，则，所以当；当；又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点，所以函数与在上具有C关系，综上：，即.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.