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    2023届河北省高三模拟(四)数学试题含解析

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    2023届河北省高三模拟(四)数学试题含解析

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    这是一份2023届河北省高三模拟(四)数学试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2023届河北省高三模拟(四)数学试题 一、单选题1.已知集合,若.则实数的最大值为(    A B3 C D1【答案】C【分析】先化简集合A,再利用题给条件得到关于实数的不等式,进而得到实数的最大值.【详解】,则实数的最大值为故选:C2.设复数满足,若为纯虚数.则    A B C D【答案】B【分析】先根据复数的除法运算化简,再根据纯虚数的定义求出,即可得解.【详解】因为为纯虚数,所以,解得所以.故选:B.3.已知,则的值为(    A B C D【答案】D【分析】利用两角和正切公式得,再利用二倍角公式化简,根据同角三角函数的基本关系将弦化切,代入计算可得.【详解】因为,所以.故选:D4.山东烟台某地种植的苹果按果径(单位:)的大小分级,其中的苹果为特级,且该地种植的苹果果径.若在某一次采摘中,该地果农采摘了2万个苹果,则其中特级苹果的个数约为(    )(参考数据:A3000 B13654 C16800 D19946【答案】C【分析】先根据原则求出的概率,再乘以即可得解.【详解】,得所以所以特级苹果的个数约为.故选:C.5.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2471116,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2345,新数列2345为等差数列,则称数列2471116为二阶等差数列,现有二阶等差数列,其前七项分别为223581217.则该数列的第20项为(    A173 B171 C155 D151【答案】A【分析】根据题意得到的通项公式即可得到答案.【详解】根据题意得新数列为,则二阶等差数列 的通项公式为,则故选:A.6.已知椭圆的左、右焦点分别为A为左顶点,B为短轴的一个端点,若构成等比数列,则圆C的离心率为(  )A BC D【答案】D【分析】由等比数列性质得出关于的齐次方程,变形后可求得离心率.【详解】由题可知,因为构成等比数列,所以,即,即所以,解得(舍).故选:D7.已知点在棱长为的正方体的外接球的球面上,当的面积最大时,过三点的平面截正方体各面所得截线的长度之和的值为(    A BC D【答案】A【分析】设底面正方形的中心为,由球的截面性质结合条件确定截面的位置,由此确定平面,再求正方体被该平面截得的截线的长度.【详解】设底面正方形的中心为因为,则当点的距离最大时,的面积最大,当点PO三点共线时,点的距离最大,则当的面积最大时,点PO三点共线,因为平面所以平面此时平面截正方体的截面即为矩形所以故选:A8.已知抛物线的焦点为F,圆,过点F的直线与圆M交于CD两点,交抛物线EAB两点,点AC位于轴上方,则满足的直线的方程为(  )ABCD【答案】B【分析】易知直线的斜率不为0,设直线的方程为,设,直线方程分别联立抛物线方程和圆的方程,利用韦达定理可得,结合列方程,解之即可.【详解】由题可知,当直线的斜率为0时,不适合题意;当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,得,则,所以,得,则因为,所以,则,此时,则直线,符合题意;,则,所以,此方程无解.综上所述,直线的方程为2故选:B 二、多选题9.下列结论错误的是(    A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】ABD【分析】根据不等式的性质即可判断AC;利用反例即可判断B;根据对数函数的单调性解不等式即可判断D.【详解】对于A,若,则,满足故由,不一定能得到,故A错误;对于B,若,则满足,但,故B错误;对于C,若,由不等式可得,故C正确;对于D,若,则,解得,故D错误.故选:ABD.10.已知.则(    A BC D【答案】AD【分析】A选项令求解判断;B选项利用的展开式的通项公式求解判断;CD选项利用赋值法令求解判断.【详解】解:由,令,故A正确;的展开式的通项公式,得,故B错误;,得,再由,得,故C错误;,得再除以2,故D正确;故选:AD11.已知函数,若,且直线与函数的交点之间的最短距离为,则(    A的最小正周期为B上单调递减C的图象关于直线对称D的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数【答案】AB【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为,所以,故A正确;A可知,,所以又由可知的图象关于点对称,所以,即又因为,所以当时,,所以时,,故B正确;因为,故C错误;函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数,故D错误.故选:AB12.已知函数,则(    A.当没有零点时,实数的取值范围为B.当恰有1个零点时,实数的取值范围为C.当恰有2个零点时,实数的取值范围为D.当恰有3个零点时,实数的取值范围为【答案】CD【分析】利用导数研究函数的性质,得到函数的图象,设,将的零点问题,转化为的实根个数问题,分类讨论,结合的图象得的实根个数可得答案.【详解】,得时,;当时,上为减函数,在上为增函数,时,时,的图象如图:,则,令,得,得时,,此时,即必有零点,故A错误;时,有唯一实根,由的图象可知,恰有一个实根,此时有唯一实根时,因为,则无实根,故有唯一实根时,,由的图象可知,只有一个实根,此时恰有2个零点,为时,由,由的图象可知,恰有一个正根,此时恰有2个零点,时,方程有唯一实根,设为,则,由的图象可知,有两个非零实根,此时恰有3个零点,综上所述:当恰有1个零点时,实数的取值范围为,故B错误;恰有2个零点时,实数的取值范围为,故C正确; 恰有3个零点时,实数的取值范围为,故D正确.故选:CD【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 三、填空题132022816日,航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度,利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查,其中高一年级抽取了15人,高二年级抽取了12人,且高三年级共有学生900人,则该高中的学生总数为_________人.【答案】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率,结合分层抽样列出方程,即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查,其中高一、高二年级各抽取了15,12人,可得高三年级抽取了9人,又由高三年级共有900名学生,则每个学生被抽到的概率为设该校共有名学生,可得,解得(人),即该校共有名学生.故答案为:.14.已知函数,若,则实数的取值范围为_________【答案】【分析】,易得函数为奇函数,且为增函数,则不等式,即为,再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】因为,所以函数为奇函数,由函数都是增函数,可得为增函数,则不等式即为,即所以,解得所以实数的取值范围为.故答案为:.15.如图,在边长为2的正方形中.以为圆心,1为半径的圆分别交于点.当点在劣弧上运动时,的最小值为_________【答案】/【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系,设,利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.【详解】如图,以点为坐标原点建立平面直角坐标系,,设,得所以当,即时,取得最小值.故答案为:. 四、双空题16.中国有悠久的建筑文化,鲁班锁就是其中一种,鲁班锁的形状种类很多,其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构,利用了其拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,一般都是易拆难装.现有如图(1)的鲁班锁,其各个面是由正三角形与正八边形构成的,图(2)是该鲁班锁的直观图,则该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有________个,若该鲁班锁每条棱的长均为1,则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为________【答案】     8     .【分析】1)观察直观图可知各个面中为正三角形的面的个数;(2)画出正八边形的平面图,利用割补法求出每个正八边形的面积即得解.【详解】从图(2)的直观图中可知,各个面中为正三角形的面共有8个.由直观图可知表面为正八边形的面有6个,如图为正八边形的平面图,易得,分别过点,垂足分别为MN,则则每个正八边形的面积为所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为.故答案为:8. 五、解答题17.在正项数列中,(1)求数列的通项公式;(2),求数列的前项和【答案】(1)(2) 【分析】1)由题意因式分解可得,即,再根据等比数列的通项即可得解;2)分两种情况去绝对值符号,再根据等比数列的前项和公式即可得解.【详解】1)由因为,所以,则所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以2时,时,综上所述,.18.已知的内角所对的边分别为,若_________.在以下两个条件中任选一个:,并解答下列问题.(1)求角(2)的外接圆半径为.求面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答.则按第一个解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】1)若选利用正弦定理和余弦定理即可求解;若选利用正弦定理将边化角即可求解;2)结合(1)结论,利用正弦定理求出,再由余弦定理和基本不等式得到,再利用三角形面积公式即可求解.【详解】1)若选:因为所以由正弦定理得又由余弦定理得,所以又因为,所以:由则由正弦定理得因为A,所以,所以所以2)由(1)可知,又正弦定理可得解得则由余弦定理得,当且仅当时取等号,,所以所以所以面积的最大值为19.如图,在正三棱台中,,正三棱台的体积为(1)求侧棱的长;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】1)由三棱台体积公式可求出正三棱台的高,即可利用勾股定理求出侧棱长;2)建立空间直角坐标系,利用向量法求线面角的正弦即可.【详解】1)由题知,,且为正三角形,所以设正三棱台的高为解得设正三棱台的上、下底面的中心分别为,连接所以即侧棱长为.2)延长COAB于点E,则EAB的中点,所以OEAB,过点OOF//ABBC于点F,则OEOF,连接,则OEOF两两垂直.所以以为坐标原点,分别以OE, OF, 所在直线为xy, z轴建立空间直角坐标系,如图,,,,,,所以,,设平面BCC1B1的法向量为 ,令,则所以设直线AA1与平面BCC1B1所成角为即直线与平面所成角的正弦值为.202022世界机器人大会在北京召开,来自各个领域的参展机器人给参观者带来了不同的高科技体验.现有AB两种型号的小型家庭生活废品处理机器人,其工作程序依次分为三个步骤:分捡,归类,处理,每个步骤完成后进入下一步骤.若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为20分,若归类步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为30分,若处理步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为50分.若各步骤完成但效能没有达到95%,则该步骤得分为0分,在第三个步骤完成后,机器人停止工作.现已知A款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为B款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为,每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立.(1)B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率;(2)若准备在AB两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人,从最后总得分的期望角度来分析,你会选择哪一种型号?【答案】(1)(2)应该选择种型号的机器人. 【分析】1)记B款机器人只有一个步骤的效能达到及以上为事件,利用独立重复性试验的概率公式求解;2)设款机器人完成所有工作总得分为,求出;设款机器人完成所有工作总得分为,求出,比较即得解.【详解】1)记B款机器人只有一个步骤的效能达到及以上为事件2)设款机器人完成所有工作总得分为的可能取值为所以所以的分布列为:02030507080100款机器人完成所有工作总得分为的可能取值为所以所以的分布列为:02030507080100因为所以所以从最后总得分的期望角度来分析,应该选择种型号的机器人.21.已知点在双曲线上,且的离心率为,直线的左支于两点,直线的斜率之和为0(1)求直线的斜率;(2),直线轴的交点分别为,求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】1)由题意列出关于的方程组,求出椭圆方程,设直线的方程为,联立方程,利用韦达定理求出,再根据直线的斜率之和为0,化简整理即可得出答案;2)由直线APAQ的斜率之和为0,得它们的倾斜角互补,从而由已知正切值求得两直线斜率,得直线方程,从而求得两点的坐标,然后可计算出三角形面积.【详解】1)由题意得,解得所以双曲线的方程为由题意直线的斜率存在,设其方程为联立,得,则,即整理得整理得因为直线不过点,所以,即所以,所以即直线的斜率为2)不妨设直线APAQ的倾斜角分别为因为所以,则,故因为所以,解得(舍),所以直线直线在直线中,令,得所以同理得所以所以的面积为【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种:1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.22.已知函数(1)时,证明:恒成立;(2)时,证明:【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】1)分两种情况求出函数最值证明不等式;2)构造函数证明,结合对数运算及裂项相消证明不等式【详解】1)函数,,单调递减,,单调递减,,,,单调递增,,恒成立,,所以时, 恒成立;2,,单调递减,,恒成立,l,,,可得 ,可得 ,可得 两边相加可得  

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