2023届河北省高三模拟(四)数学试题含解析
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这是一份2023届河北省高三模拟(四)数学试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届河北省高三模拟(四)数学试题 一、单选题1.已知集合,,若.则实数的最大值为( )A. B.3 C. D.1【答案】C【分析】先化简集合A,再利用题给条件得到关于实数的不等式,进而得到实数的最大值.【详解】或,又或,则,则实数的最大值为故选:C2.设复数满足,若为纯虚数.则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】先根据复数的除法运算化简,再根据纯虚数的定义求出,即可得解.【详解】由,得,因为为纯虚数,所以,解得,所以.故选:B.3.已知,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用两角和正切公式得,再利用二倍角公式化简,根据同角三角函数的基本关系将弦化切,代入计算可得.【详解】因为,所以,则.故选:D4.山东烟台某地种植的苹果按果径(单位:)的大小分级,其中的苹果为特级,且该地种植的苹果果径.若在某一次采摘中,该地果农采摘了2万个苹果,则其中特级苹果的个数约为( )(参考数据:,.,)A.3000 B.13654 C.16800 D.19946【答案】C【分析】先根据原则求出的概率,再乘以即可得解.【详解】由,得,,,所以,所以特级苹果的个数约为个.故选:C.5.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列,现有二阶等差数列,其前七项分别为2,2,3,5,8,12,17.则该数列的第20项为( )A.173 B.171 C.155 D.151【答案】A【分析】根据题意得到的通项公式即可得到答案.【详解】根据题意得新数列为,则二阶等差数列 的通项公式为,则故选:A.6.已知椭圆的左、右焦点分别为,,A为左顶点,B为短轴的一个端点,若,,构成等比数列,则圆C的离心率为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】由等比数列性质得出关于的齐次方程,变形后可求得离心率.【详解】由题可知,因为,,构成等比数列,所以,即,即,所以,解得或(舍).故选:D.7.已知点在棱长为的正方体的外接球的球面上,当的面积最大时,过,,三点的平面截正方体各面所得截线的长度之和的值为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】设底面正方形的中心为,由球的截面性质结合条件确定截面的位置,由此确定平面,再求正方体被该平面截得的截线的长度.【详解】设底面正方形的中心为,因为,则当点到的距离最大时,的面积最大,当点P,O,三点共线时,点到的距离最大,则当的面积最大时,点P,O,三点共线,因为平面,所以平面,此时平面截正方体的截面即为矩形,所以.故选:A.8.已知抛物线的焦点为F,圆,过点F的直线与圆M交于C,D两点,交抛物线E于A,B两点,点A,C位于轴上方,则满足的直线的方程为( )A.B.C.或D.或或【答案】B【分析】易知直线的斜率不为0,设直线的方程为,设,,,,直线方程分别联立抛物线方程和圆的方程,利用韦达定理可得、,结合即列方程,解之即可.【详解】由题可知,当直线的斜率为0时,不适合题意;当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,由,得,则,设,,,则,,所以.由,得,设,,,则,因为,所以,若,则,此时,则直线为,符合题意;若,则,所以,此方程无解.综上所述,直线的方程为2.故选:B. 二、多选题9.下列结论错误的是( )A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】ABD【分析】根据不等式的性质即可判断AC;利用反例即可判断B;根据对数函数的单调性解不等式即可判断D.【详解】对于A,若,则,满足,故由,不一定能得到,故A错误;对于B,若,,则满足,但,故B错误;对于C,若,由不等式可得,故C正确;对于D,若,则,解得,故D错误.故选:ABD.10.已知.则( )A. B.C. D.【答案】AD【分析】A选项令求解判断;B选项利用的展开式的通项公式求解判断;CD选项利用赋值法令,求解判断.【详解】解:由,令得,故A正确;由的展开式的通项公式,得,故B错误;令,得①,再由,得,故C错误;令,得②,①②再除以2得,故D正确;故选:AD11.已知函数,若,且直线与函数的交点之间的最短距离为,则( )A.的最小正周期为B.在上单调递减C.的图象关于直线对称D.的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数【答案】AB【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为,所以,故A正确;由A可知,,所以,又由可知的图象关于点对称,所以,即,,又因为,所以当时,,所以,时,,,故B正确;因为,故C错误;函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数,故D错误.故选:AB.12.已知函数,,则( )A.当没有零点时,实数的取值范围为B.当恰有1个零点时,实数的取值范围为C.当恰有2个零点时,实数的取值范围为D.当恰有3个零点时,实数的取值范围为【答案】CD【分析】利用导数研究函数的性质,得到函数的图象,设,,将的零点问题,转化为的实根个数问题,分类讨论,结合的图象得的实根个数可得答案.【详解】由,得,当时,;当时,,在上为减函数,在上为增函数,,,时,,时,,的图象如图:令,,则,令,得,得或,当时,,,此时,即必有零点,故A错误;当时,有唯一实根,由的图象可知,恰有一个实根,此时有唯一实根;当时,因为,,则无实根,故有唯一实根;当时,,由的图象可知,只有一个实根,此时恰有2个零点,为和,当时,由得,由的图象可知,恰有一个正根,此时恰有2个零点,当时,方程有唯一实根,设为,则,由的图象可知,有两个非零实根,此时恰有3个零点,综上所述:当恰有1个零点时,实数的取值范围为,故B错误;当恰有2个零点时,实数的取值范围为,故C正确; 当恰有3个零点时,实数的取值范围为,故D正确.故选:CD【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解. 三、填空题13.2022年8月16日,航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学生对这一新闻的关注度,利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查,其中高一年级抽取了15人,高二年级抽取了12人,且高三年级共有学生900人,则该高中的学生总数为_________人.【答案】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率,结合分层抽样列出方程,即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查,其中高一、高二年级各抽取了15人,12人,可得高三年级抽取了9人,又由高三年级共有900名学生,则每个学生被抽到的概率为,设该校共有名学生,可得,解得(人),即该校共有名学生.故答案为:.14.已知函数,若,则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】令,易得函数为奇函数,且为增函数,则不等式,即为,再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】令,因为,所以函数为奇函数,由函数都是增函数,可得为增函数,,则不等式,即为,即,即,所以,解得,所以实数的取值范围为.故答案为:.15.如图,在边长为2的正方形中.以为圆心,1为半径的圆分别交,于点,.当点在劣弧上运动时,的最小值为_________.【答案】/【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系,设,利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.【详解】如图,以点为坐标原点建立平面直角坐标系,则,设,则,则,由,得,所以当,即时,取得最小值.故答案为:. 四、双空题16.中国有悠久的建筑文化,鲁班锁就是其中一种,鲁班锁的形状种类很多,其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构,利用了其拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,一般都是易拆难装.现有如图(1)的鲁班锁,其各个面是由正三角形与正八边形构成的,图(2)是该鲁班锁的直观图,则该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有________个,若该鲁班锁每条棱的长均为1,则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为________.【答案】 8; .【分析】(1)观察直观图可知各个面中为正三角形的面的个数;(2)画出正八边形的平面图,利用割补法求出每个正八边形的面积即得解.【详解】从图(2)的直观图中可知,各个面中为正三角形的面共有8个.由直观图可知表面为正八边形的面有6个,如图为正八边形的平面图,易得,分别过点,作,,垂足分别为M,N,则,则每个正八边形的面积为,所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为.故答案为:8;. 五、解答题17.在正项数列中,,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由题意因式分解可得,即,再根据等比数列的通项即可得解;(2)分和两种情况去绝对值符号,再根据等比数列的前项和公式即可得解.【详解】(1)由,得,因为,所以,又,则,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以;(2),当时,,当时,,综上所述,.18.已知的内角,,所对的边分别为,,,若_________.在以下两个条件中任选一个:①;②,并解答下列问题.(1)求角;(2)若的外接圆半径为.求面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答.则按第一个解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】(1)若选①利用正弦定理和余弦定理即可求解;若选②利用正弦定理将边化角即可求解;(2)结合(1)结论,利用正弦定理求出,再由余弦定理和基本不等式得到,再利用三角形面积公式即可求解.【详解】(1)若选①:因为,所以由正弦定理得,即,又由余弦定理得,所以,又因为,所以.选②:由得,则由正弦定理得,因为A,,所以,所以,所以.(2)由(1)可知,又正弦定理可得,解得,则由余弦定理得,当且仅当时取等号,又,所以,所以,所以面积的最大值为.19.如图,在正三棱台中,,正三棱台的体积为.(1)求侧棱的长;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由三棱台体积公式可求出正三棱台的高,即可利用勾股定理求出侧棱长;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求线面角的正弦即可.【详解】(1)由题知,,且为正三角形,所以,,设正三棱台的高为,则,解得,设正三棱台的上、下底面的中心分别为,连接,则,,所以,即侧棱长为.(2)延长CO交AB于点E,则E为AB的中点,所以OE⊥AB,过点O作OF//AB交BC于点F,则OE⊥OF,连接,则OE,OF,两两垂直.所以以为坐标原点,分别以OE, OF, 所在直线为x,y, z轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,,,所以,,设平面BCC1B1的法向量为,则 ,令,则,所以,设直线AA1与平面BCC1B1所成角为,则,即直线与平面所成角的正弦值为.20.2022世界机器人大会在北京召开,来自各个领域的参展机器人给参观者带来了不同的高科技体验.现有A,B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人,其工作程序依次分为三个步骤:分捡,归类,处理,每个步骤完成后进入下一步骤.若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为20分,若归类步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为30分,若处理步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为50分.若各步骤完成但效能没有达到95%,则该步骤得分为0分,在第三个步骤完成后,机器人停止工作.现已知A款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为,,,B款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为,每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立.(1)求B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率;(2)若准备在A,B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人,从最后总得分的期望角度来分析,你会选择哪一种型号?【答案】(1);(2)应该选择种型号的机器人. 【分析】(1)记“B款机器人只有一个步骤的效能达到及以上”为事件,利用独立重复性试验的概率公式求解;(2)设款机器人完成所有工作总得分为,求出;设款机器人完成所有工作总得分为,求出,比较和即得解.【详解】(1)记“B款机器人只有一个步骤的效能达到及以上”为事件,则.(2)设款机器人完成所有工作总得分为,则的可能取值为,所以,,,,,,,所以的分布列为:02030507080100则.设款机器人完成所有工作总得分为,则的可能取值为,所以,,所以的分布列为:02030507080100则因为,所以,所以从最后总得分的期望角度来分析,应该选择种型号的机器人.21.已知点在双曲线上,且的离心率为,直线交的左支于,两点,直线,的斜率之和为0.(1)求直线的斜率;(2)若,直线,与轴的交点分别为,,求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由题意列出关于的方程组,求出椭圆方程,设直线的方程为,联立方程,利用韦达定理求出,再根据直线,的斜率之和为0,化简整理即可得出答案;(2)由直线AP,AQ的斜率之和为0,得它们的倾斜角互补,从而由已知正切值求得两直线斜率,得直线方程,从而求得两点的坐标,然后可计算出三角形面积.【详解】(1)由题意得,解得,所以双曲线的方程为,由题意直线的斜率存在,设其方程为,联立,得,则,则,,由,得,即,即,整理得,则,整理得,即,因为直线不过点,所以,即,所以,所以,即直线的斜率为;(2)不妨设直线AP,AQ的倾斜角分别为,,因为,所以,则,故,因为,所以,即,解得或(舍),所以直线,直线.在直线中,令,得,所以,同理得,所以,所以的面积为.【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.22.已知函数.(1)当时,证明:恒成立;(2)当时,证明:.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】(1)分两种情况和求出函数最值证明不等式;(2)构造函数证明,结合对数运算及裂项相消证明不等式【详解】(1)函数时,,单调递减,当,单调递减,,令,,单调递增,,恒成立,当,所以时, 恒成立;(2),,单调递减,,恒成立,l,,令,可得 令,可得 令,可得 两边相加可得
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