2023届河北省高三模拟（二）数学试题含解析

2023届河北省高三模拟（二）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合N，再利用交集定义即可求得.

【详解】，

则

故选：D

2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先利用题给条件求得复数的代数形式，进而求得在复平面内对应的点所在象限.

【详解】设，则，

即，，

则，解之得，则，

则在复平面内对应的点为，位于第三象限

故选：C

3．已知函数，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性比较函数值的大小.

【详解】函数的定义域为，

且，

所以为偶数，

又，

当时，所以在上单调递增，

所以，又，所以，

即.

故选：A

4．已知数列的前项和为，且，，，则（    ）

A． B．2 C．1011 D．2022

【答案】C

【分析】根据已知的递推关系式求得数列的周期，进而求解结论．

【详解】解：数列的前项和为，且，，，，

，即，

，

，

，

．

可得数列是周期为3的数列，且前三项为：2，，，

则，

故选：C．

5．《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的倍.已知方亭的体积为，则该方亭的表面积约为（    ）（，，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高，根据棱台的体积求出，再根据棱台的表面积公式计算可得.

【详解】设方亭相应的正四棱台的上底面边长，则，棱台的高，

所以，解得，

所以正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，棱台的高为，

所以方亭的斜高为，

由于各侧面均为相等的等腰梯形，所以，

所以方亭的表面积.

故选：C

6．在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于的方程，解之即可求得的值.

【详解】在正六边形ABCDEF中，以A为原点，

分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

不妨令，则，

,

由，可得，解之得

故选：B

7．在三棱柱中，点D、E分别为棱，的中点，则平面ADE截三棱柱所得两部分的体积比为（    ）

A．2：3 B．5：8 C．13：23 D．19：29

【答案】C

【分析】如图，作出截面，由面面平行得线面平行，设三棱柱底面面积为，高为，然后由棱锥、棱柱体积公式及棱锥的性质得出两部分体积，从而得出体积比．

【详解】设直线与直线分别交于点，如图，连接，，交于连接，由棱柱的上下底面平行得，结合，且分别是，中点得，，，

设，三棱柱的高为，则到底面的距离为，到底面的距离为，，

，，，

，

所以多面体的体积为，

从而多面体的体积为，

所以．

故选：C．

8．若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，设公切线与切于点，与曲线切于点，，即可得到，则或，从而得到，在令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；

【详解】因为，，

所以，，

设公切线与切于点，与曲线切于点，，

所以，

所以，所以，所以或，

因为，所以，所以，

所以，

令，，

则，所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以实数的最小值为.

故选：A

【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.

二、多选题

9．新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT、B超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（    ）

A．新增阳性人数每天都不超过100人

B．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数

C．新增阳性人数最多的一天是12日

D．每天新增确诊病例人数的中位数是43

【答案】ACD

【分析】由统计图提供的数据进行判断．

【详解】由统计图，知例如6日阳性人数为，A错；

由统计图，新增的无症状感染者总人数为，确诊总人数为，B正确；

10日新增阳性人数为多于12日的105，C错误；

每天新增确诊病例人数从小到大排列为：，中位数是46，D错，

故选：ACD．

10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则下列关于的说法错误的是（    ）

A．最小正周期为 B．图象关于点对称

C．在区间上单调递增 D．图象关于直线对称

【答案】ACD

【分析】根据函数图象平移法则，求出函数图象平移后得到的函数的解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可．

【详解】函数，的图象向右平移个单位长度，

得到函数的图象，

所以函数；

对于A，函数的最小正周期为，选项A错误；

对于B，时，，所以的图象关于点对称，选项B正确；

对于C，，，在上单调递减，选项C错误；

对于D，正切型函数的图象不是轴对称图形，所以选项D错误．

故选：ACD．

11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（    ）

A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧

C． D．

【答案】ACD

【分析】先证得焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为，进而可得点M在直线PQ上，则选项A判断正确；选项B判断错误；求得判断选项C；求得位置关系判断选项D.

【详解】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为.

过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心，

设圆P与的切点分别为，

则，

则，解之得

则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合，

则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M，

同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.

则直线的方程为，

双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上.

则选项A判断正确；选项B判断错误；

选项C：.判断正确；

选项D：由直线的方程为，可得.判断正确.

故选：ACD

12．已知函数，若直线与函数在上有1个公共点，在上有个公共点，则的值不可能为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】AD

【分析】作出函数的图象，由直线与函数在上有1个公共点，可得，又在上有2个公共点，可得且，计算可得的取值范围．

【详解】作出函数的图象如图所示，

直线与函数在上有个公共点，

与圆在轴上方的半圆相切，

，即，

直线与在上有个公共点，

且，

且，，，，

．

故选：AD．

三、填空题

13．若，，则a的一个可取的正整数值为___________.

【答案】1（或2，3）

【分析】由判别式大于0求解.

【详解】由题意，解得，

的正整数值为1或2或3，

故答案为：1（也可取2，3）．

14．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数大于”，则___________.

【答案】/

【分析】使用列举法，由古典概型概率公式进行计算即可.

【详解】方法一：

将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，表示出四位数，

样本空间为

，∴，

事件“表示的四位数大于”，则，∴，

∴.

方法二：

将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每位有两种拨动方法，

∴拨动方法共有种，

若要使表示的四位数大于，则需要在千位和百位都拨动上珠，个位、十位各有两种拨动方法，

∴表示的四位数大于的拨动方法有种，

∴表示的四位数大于的概率.

故答案为：.

15．已知M是抛物线上一点，过点M作圆的两条切线.切点分别为A，B，则的最小值为____.

【答案】/

【分析】设，利用向量数量积定义求得的表达式，进而利用三角函数求得其最小值.

【详解】圆圆心，半径，

设，则，

连接，设，

则，，

则

又，则

令，则为减函数，

则，

则的最小值为

故答案为：

16．已知圆锥的轴截面是正三角形，为圆锥的底面直径，球与圆锥的底面及每条母线都相切，，是圆锥底面圆上的两点，记圆锥底面圆的面积为，平面截球所得截面的面积为，若要使，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】设正三角形的边长为，，取的中点，连接，取的中点，连接、，过点作，垂足为，求出，即可表示出平面截球所得截面圆的半径为，从而得到截面的面积，由，求出的取值范围，再结合，即可得解.

【详解】设正三角形的边长为，，取的中点，连接，

由题意知为圆锥的高，且，易知球的半径，

取的中点，连接、，则，，又，

所以，

所以，

过点作，垂足为，易知，则，

，

则，

设平面截球所得截面圆的半径为，

则，

所以截面，

又圆锥底面圆的面积，

则，解得，又，所以，

所以，即 ，即的取值范围为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求出截面圆的半径，再根据面积比求出取值范围.

四、解答题

17．已知在公差为正数的等差数列中，，a1，a4，2a8构成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若 ，求数列的前n项和.

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）由题意可得出，代入化简即可求出，再由等差数列的通项公式即可得出答案.

（2）选①，由（1）知，，由分组求和法求出；选②，由（1）知，，由裂项相消法求出；选③由，（1）知，，由错位相减法求出.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由a1，a4，2a8构成等比数列得，

则，由，

所以，化简得：，

解得（舍去）或，

所以.

（2）若选①，，

所以；

若选②，，

所以

；

若选③，，

令，

则，

两式相减可得：

，

则，

则.

18．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)若，外接圆的半径为，求c；

(2)若，求周长的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由正弦定理求得，再由余弦定理列方程求得；

（2）由已知得出，由正弦定理把表示为的函数，然后利用两角和与差的正弦公式变形，结合正弦函数性质得取值范围，从而得周长的范围．

【详解】（1）根据条件，由正弦定理，得，解得，

由余弦定理，得，解得或；

（2），则，，

由正弦定理得，，，

因为，所以，

又

，

，则，所以，

所以，所以，

所以，即的周长的取值范围为．

19．在平行四边形ABCD中，，，将沿BD翻折，使点A到达点P处，平面平面PBC.

(1)证明：平面BCD；

(2)若点M满足，二面角的大小为60°.求实数λ的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）作，垂足为，由面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直，现证明平面，得，然后可得证平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得参数值．

【详解】（1）因为，，所以，从而即，

是平行四边形，所以，

在三棱锥中，，作，垂足为，

因为平面平面PBC，平面平面PBC，平面，所以平面，

又平面，所以，

，平面，所以平面，

因为平面，所以，

而，，平面，所以平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

，

，

设平面的一个法向量是，

则，取，得，

设平面即平面的一个法向量是，

则，取，得，

由已知，解得．

20．某工厂从生产出的产品中随机抽取100件，测量一项质量指标，将测量结果落到质量指标的各区间内的产品频率绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求这100件产品质量指标的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若认为该产品质量指标，认为是样本平均值.

（i）在交货前，该产品的客户随机抽取了10件，记X表示这10件产品中质量指标在（219.6，279.6）之间的产品件数，求；

（ii）为了保证产品质量，质量检查员每天在当天生产的该产品中，随机抽取15件，若出现质量指标值在之外的产品，则认为生产过程出现问题，需要检查整个生产过程，否则不需要检查.在质量检查员当天抽取的15件该产品的质量指标中，质量指标最小值为180.9，质量指标最大值为299.8，根据近似值判断是否需要检查整个生产过程.

附：若，则，，.

【答案】(1)239.6；

(2)（i）8；（ii）不需要检查整个生产过程．

【分析】（1）由各组数据中点值乘以相应频率再求和可得；

（2）（i）由正态分布性质求得概率，再乘以10即得；（ii）由正态分布特殊区间概率公式得，再乘以15得合格产品数量，从而得出不合格产品数量，可判断出结论．

【详解】（1）；

（2）（i）由题意该产品质量指标，

，

；

（ii）由已知，

，因此不合格产量数量差为0，不需要检查整个生产过程．

21．已知点，，动点满足，轴于点，点为线段的中点，点为坐标原点.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)直线交曲线于，两点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，，依题意可得，再根据由距离公式得到方程，整理得到，最后将代入计算可得；

（2）若直线的斜率不存在，设直线的方程为（且），即可表示出，再利用基本不等式求出面积的最大值，若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示，最后利用基本不等式求出面积的最大值，即可得解.

【详解】（1）设，，

因为点为线段的中点，且，

所以，又，所以，

化简得，

所以，整理得，所以点的轨迹的方程为.

（2）若直线的斜率不存在，设直线的方程为（且），

由，得到，则，

所以，当且仅当时取等号，

若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，

由，化简得，

则

所以，，

所以，

又原点到直线的距离，

所以，

当且仅当时取等号，且满足，

综上可得面积的最大值为.

22．已知函数，.

(1)若函数，求的最小值；

(2)证明：函数在上有唯一零点.

【答案】(1)

(2)证明见解析．

【分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性后可得最小值；

（2）对的值分段讨论，时，由证明，时，直接证明，时，利用导数确定单调性，然后由零点存在定理得证．

【详解】（1）由题意，，

，所以，所以，是减函数，

所以；

（2），

设，则，是增函数，

所以时，，即，从而，

由，解得，

所以时，，即，无零点；

时，，，所以，无零点；

时，，

，，所以，单调递减，

又，，

所以在上有唯一零点，也即在上有唯一零点．

【点睛】难点点睛：一般证明零点问题，可用导数确定函数的单调性，然后利用零点存在定理得出结论，本题的难点在于给定区间上，导函数的正负难以确定，即无法求解，因此对进行分段，区间的两段直接证明函数值为正或负，而中间一段利用导数确定单调性，再由零点存在定理得证，分段时可根据部分函数的单调性结合特殊值进行，如题中，．通过画函数和的图象证明的方法有些不恰当，图象不能代替文字的证明．