2023届海南省高三下学期5月学业水平诊断（五）数学试题word版含答案

海南省2023届高三下学期5月学业水平诊断（五）

数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．答案  C

2．答案  D

3．答案  B

4．答案  A

5．答案  C

6．答案  C

7．答案  B

8．答案  A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．答案  BC

10．答案  BD

11．答案  ACD

12．答案  ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．答案  7

14．答案  47（或50）

15．答案 

16．答案  4

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．命题意图  本题考查正余弦定理和三角恒等变换的应用．

解析  （Ⅰ）由条件可得，

整理得

（2分）

，（3分）

再由正弦定理可得．（5分）

（Ⅱ）由余弦定理可得，（6分）

再由（Ⅰ）可得，整理得．（8分）

令，则，即，（9分）

解得，即的值为．（10分）

18．命题意图  本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角问题．

解析  （Ⅰ）设的中点为O，连接，．

因为为等腰直角三角形，且，

所以，，且．（1分）

因为S在以为直径的圆上，所以．（2分）

故，故．（3分）

又因为，故平面，（4分）

因为平面，所以平面平面．（5分）

（Ⅱ）以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，

过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，．（6分）

由得，

所以，

从而得，所以．（7分）

所以，，，（8分）

设平面的法向量为，则，，（9分）

不妨取，则．（10分）

因为，

故直线与平面所成角的正弦值为．（12分）

19．命题意图  本题考查数列的递推关系，以及等比数列的性质．

解析  （Ⅰ），即，

所以，（1分）

，（4分）

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．（6分）

因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，（7分）

即，解得．（8分）

所以．（9分）

经检验，当时，，当时，，所以先增后减，

在和时取得最大值，符合题意．（10分）

此时．（12分）

20．命题意图  本题考查概率与条件概率，数学期望的应用．

解析  （Ⅰ）设事件“该4S店一名销售员的绩效工资大于”为A，

则事件A等价于“该销售员月售车台数不小于3”，．（3分）

（Ⅱ）设事件“该4S店一名销售员上个月工资大于”为B，

事件“该销售员上个月卖出去3台车”为C，

则，（4分）

，（5分）

故．（7分）

（Ⅲ）该4S店一名销售员月工资X的分布列为

（9分）

所以，（10分）

由，得，

即基础工资至少应定为6300元．（12分）

21．命题意图  本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数性质，证明不等式．

解析  （Ⅰ）由已知得，（1分）

所以，又，（2分）

所以曲线在点处的切线方程为，即．（4分）

（Ⅱ）由题意知，则，（5分）

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．（6分）

因为，，，

所以有两个零点，，且，．（7分）

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

即是唯一极小值点，（8分）

所以．（9分）

由得，所以，（10分）

设函数，易知在上单调递减，（11分）

所以．

综上，2．（12分）

22．命题意图  本题考查双曲线的方程与性质．

解析  （Ⅰ）因为C的渐近线方程为，所以．①（1分）

设，直线的方程为，

将其代入C的方程得，所以．②（3分）

由①②可解得，，（4分）

所以C的方程为．（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以l的方程为，

因为l与直线相交，故，方程整理为．（6分）

直线的方程为，所以l与直线的交点为，

l与直线的交点为，（7分）

则．（8分）

因为在C上，所以，即，

所以．（9分）

由题意知：当变化时上式为定值，则分子、分母中对应项的系数成比例，

则，解得（舍去），（11分）

此时，即，

因此，存在符合条件．（12分）