2023届河北省保定一中部分学校高三下学期5月高考临考信息卷数学试题含答案

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2023届河北省保定一中部分学校高三下学期5月高考临考信息卷

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数满足，则的共轭复数（    ）

A.    B.

C.    D.

3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（    ）

A.0.46    B.0.046    C.0.68    D.0.068

4.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，点到的准线的距离与的积为25，则（    ）

A.40    B.30    C.25    D.20

5.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（）（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（    ）

A.5周    B.6周    C.7周    D.8周

6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，且，延长交双曲线于点.若，则双曲线的离心率为（    ）

A.    B.2    C.    D.

8.在中，是平面上的动点，且，是边上一点，则的最小值为（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的有（    ）

A.若随机变量满足，则

B.若随机变量，且，则

C.若样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强

D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：.若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则

10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ）

A.椭圆的离心率为

B.的周长为

C.面积的最大值是

D.线段长度的取值范围是

11.如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱底面，三棱锥的体积是，底面和的中心分别是和是的中点，过点的平面分别交于点，且平面是线段上任意一点（含端点），是线段上任意一点（含端点），则（    ）

A.侧棱的长为

B.四棱柱的外接球的表面积是

C.当时，平面截四棱柱所得的截面是六边形

D.的最小值是5

12.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，则__________.

14.已知多项式，则__________.

15.已知函数和，若的极小值点是的唯一极值点，则实数的最大值为__________.

16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“”，中每个1都变为“”，所得到的新数列.例如数列，则数列.已知数列，且数列，记数列的所有项之和为，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

如图，在平面四边形中，.

（1）求边；

（2）若，求四边形的面积.

18.（本小题满分12分）

在各项均为正数的数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，证明：

19.（本小题满分12分）

2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.

（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；

（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），的内切圆半径的最大值是，椭圆的离心率是.

（1）求椭圆的方程；

（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值.

21.（本小题满分12分）

在三棱台中，平面，分别是的中点，是棱上的动点.

（1）求证：；

（2）若是线段的中点，平面与的交点记为，求平面与平面夹角的余弦值.

22.（本小题满分12分）

已知函数有两个零点，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：.

2023届河北省部分学校高三下学期5月高考临考信息卷

数学参考答案

13. 

14.74 

15. 

16.

17.解：（1）因为为锐角，所以.

因为，在中，由余弦定理得，

即，得.

（2）在中，由正弦定理得，即，所以.

在中，由余弦定理得，即，解得.

因为，

所以.

18.解：（1），则或，

，

数列为等比数列，公比为数列的通项公式为.

（2）证明：由（1）得，

则，

数列的前项和为，

当时，

当时，为递增数列，

，即，

19.解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件；

当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件.

由题知，3天的训练过程中，总共的可能情况为种，

所以，，

所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率.

（2）由题知，的可能取值为，

考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，

当时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，；

当时，共有种选择，所以，；

当时，共有种选择，所以，；

所以，，

所以，的分布列为

所以，.

20.解：（1）由题意知，又，则

设的内切圆半径为，则.

故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，

所以，把代入，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，

代入椭圆方程得，

设，则，

因此可得，

所以中点的坐标为，

因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，由题意可知关于轴对称，故，

的垂直平分线方程为，

令，得，即，所以

又

故，所以为定值，定值为4.

21.解：（1）证明：取线段的中点，连接，如图所示，

因为分别为的中点，所以，

在三棱台中，，

所以，，且，

故四点共面.

因为平面平面，所以，

因为，

所以四边形是正方形，所以.

又平面，

所以平面.

因为平面，所以.

（2）延长与相交于点，连接，则.

因为分别为和的中点，，所以，

则，所以，为的中点.

又因为为的中点，且，则为的重心，

所以，

因为平面平面，所以.

因为，所以.

又因为平面，

所以平面，所以两两垂直，

以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，

所以，.

设平面的法向量为，

则

取，则.

设平面的法向量为，

则

取，可得.

所以，，

故平面与平面夹角的余弦值为.

22.解：（1）的定义域为，

当时，恒成立，所以在上单调递增，不可能有两个零点，故舍去；

当时，令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

要使有两个零点，则，解得.

又，

所以当时，在和上各有一个零点

且，所以

由的单调性知，当时，，

当时，.

因为，所以，即，

所以，而，即，所以，而.

令，则，

因为，所以，所以，

所以在上单调递增，

所以，所以.

（2）因为，所以，当且仅当时取等号，

而，故，

要证，即证，即证，即证，

即证.

设，因为，所以，

由（1）得，两式作差，化简得，

所以.

令，则.

令，则，易知在上单调递增，

故，所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以，即得证.

所以不等式得证.