2023届广东省华南师范大学附属中学高三下学期5月保温考数学试题含解析

这是一份2023届广东省华南师范大学附属中学高三下学期5月保温考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
华附南海实高2023届高三下学期5月保温考数   学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A．  B． C． D．与的关系不确定2．已知i为虚数单位，复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C．  D．无解3．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ） A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C．样本中男生人数少于女生人数           D．样本中选择物理学科的人数较多4．如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（    ）A．       B．      C．      D．5．有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，此圆柱部分高度为，已知沙漏总高度为，，则初始状态的沙子高度为（    ）A． B． C． D． 6．设函数，方程恰有5个实数解，则正实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 7．根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ）A． B． C． D．8．如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（    ）A．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立10．若，其中为实数，则（    ）A． B． C． D．11．已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是（    ）A．异面直线、所成角的大小为   B．直线与平面所成角的正弦值为C．周长的最小值为      D．存在点使得平面 12．已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（    ）A．是奇函数 B．是周期函数C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．123456P13．设随机变量的分布列如下：   其中，，…，构成等差数列，则 ___________.14. 已知函数为偶函数，则的值为___________.15. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________.16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化.为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率.(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y，求随机变量Y的期望.   18．如图，在平面内四边形的对角线交点位于四边形内部，，，设.(1)若，求与；(2)当变化时，求的最大值.   19．已知数列的前项和为(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.    20．如图，在几何体ABCDE中，面，，，．(1)求证：平面平面DAE；(2)，，几何体ABCDE的体积，求直线与平面所成角的正弦值．    21．已知双曲线的渐近线与曲线相切.横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点.(1)求双曲线的离心率；(2)记的中垂线交轴于点.是否存在实数，使得? 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.  22．已知函数.(1)若函数为增函数，求的取值范围；(2)已知.（i）证明：；（ii）若，证明：.
华附南海实高2023届高三下学期5月保温考数学参考答案1．A【详解】∵，且，k+2是整数，2k+1是奇数∴，2．A【详解】解：化简可得：复数，因为其对应的点在第三象限内，所以，解得．3．D【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故D正确；根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故C错误；样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.4．C【详解】设，则，又，设，则，故，即，故.5．C【详解】如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为，沙漏下半部分的圆柱高度为，圆雉高度为，上、下底面半径为，则，又沙漏总高度为，则，所以，即，解得，所以初始状态的沙子高度为.6．B【详解】当时，，因为函数在区间上恰好有5个，使得，故在上恰有5条对称轴．令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．7. B【详解】解：由已知可得，在第一象限，将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，又由双曲线的方程可得，，所以，则，所以，且点，都在直线上，又，所以，所以，设的角平分线为，则，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，8. B【详解】因为球的表面积为，所以，由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点到底面的距离最大即可，又因为平面平面，可知当时，点到底面的距离最大，外接圆的半径，则到面的距离为，且到面的距离为，设点到平面的距离为，则，解得，此时体积最大值为.9．ACD【详解】A.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，A正确；B.线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；对C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；对于D：由独立性检验可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为与独立，即D正确.10．BC【详解】依题意，令，对于A，，A错误；对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；对于C，，，所以，C正确；对于D，，D错误.11．BC【详解】如图，取的中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，则，又正四棱锥的所有棱长均为，则，所以异面直线，所成角为，故A错误；设正方形的中心为，连接，，则平面，，设的中点为，连接，，则，且平面，所以为直线与平面所成角，所以，中，，，，所以由余弦定理可得，所以 ，所以，故B正确；将正和沿翻折到一个平面内，如图，当，，三点共线时，取得最小值，此时，点为的中点，，所以周长的最小值为，故C正确；若平面，则，此时点为上靠近点的四等分点，而此时，与显然不垂直，故D错误；12. BCD【详解】由知函数为偶函数，又，，则的图像关于轴对称，所以的图像关于直线对称，有，即，设，则，（c为常数），，，所以；由，两边同时求导，有，可知为奇函数，函数仍然是奇函数，图像关于原点对称，又，所以的图像关于点中心对称，有；函数满足以上函数的性质，但不是奇函数，A选项错误；和，得，令，则有，所以函数为周期函数，B选项正确；为的一个周期，则，所以，，所以，D选项正确；由周期为4知也是的一个周期，所以，即，即，C选项正确.13．【详解】解：因为，，…，构成等差数列，所以，，因为，所以， 14. 【详解】函数（）是偶函数，，，15. 【详解】圆，所以圆心为，半径为4，设，由线段AB的中点为D，可得，即有，即，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；故答案为：.16．【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．17.【详解】（1）记随机抽取一名学生分别来自高一、高二和高三为事件A，B，C，随机一名学生每周运动总时间超过5小时为事件E.  则，，，，，.根据全概率公式，，即该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65.（2）因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且，所以，由（1）知，，所以，所以，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，因此，所以，即：随机变量Y的期望为.18.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，，则为等腰直角三角形，，在中，由余弦定理，；（2）在中，，即，，在中，由余弦定理可得，，当时，的最大值为.19.【详解】（1）由得，又，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，，即当时，，又不满足上式，所以；（2）由（1）知，当时，；当时，，即所以的最大值为，依题意，即，解得或.20．【详解】（1）如图，取的中点M、N，连接、、，则知，且，又，且，所以，且，则四边形为平行四边形，所以．∵，M为的中点，∴，∵平面，平面，∴．又，平面,平面，∴平面从而可得平面，由于平面，所以平面平面，命题得证．（2）由（1）知，平面DAE于，则为CE与平面DAE所成角.且在中，，由且，得，又已知平面，平面，∴，∵平面ABCD，∴平面ABCD，设，则，那么有，则，解得，即有．从而易得，在中，；又在中，，则知；∴，即CE与平面DAE所成角的正弦值为．21．【详解】（1）由题意，与曲线相切，消得：有唯一解，所以得：，离心率.（2）由，故点作曲线的切线的斜率为，则，所以方程为代入中，并整理得，设，在，易得的中点，故中垂线，则点.若，则，即得，此时当，即时，存在实数，使得；当，即时，不存在实数，使得.22．【详解】（1）∵，则，若是增函数，则，且，可得，故原题意等价于对恒成立，构建，则，令，解得；令，解得；则在上递增，在递减，故，∴的取值范围为.（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，∵，则，即，整理得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上递减，在递增，故，即，当且仅当时等号成立，令，可得，故；（ii）∵，则，可知有两个不同实数根，由（1）知，可得，同理可得，构建，则，当时，；当时，；当时，；且，故对恒成立，故在上单调递减，∵，则，即，且，则，故，可得；又∵，由（i）可得，即，则，且，则，可得；综上所述：.可得，则故.