【全套专题】初中数学同步学案 7年级下册 第14课 平面直角坐标系全章复习与巩固（含解析）

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第14课  平面直角坐标系全章复习与巩固 课程标准1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想． 知识点01  有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点02  平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：注意：(1)在平面内，       且       的数轴组成了        ；(2)坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对           ()一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；(3)轴上的点，纵坐标等于       ；轴上的点，横坐标等于       ；   坐标轴上的点       任何象限；(4)四个象限的点的坐标具有如下特征：象限横坐标纵坐标第一象限  第二象限  第三象限  第四象限        小结：(1)点P()所在的象限      横、纵坐标、的取值的正负性； (2)点P()所在的数轴      横、纵坐标、中必有一数为零；(5)在平面直角坐标系中，已知点P，则①点P到轴的距离为          ； ②点P到轴的距离为          ；③点P到原点O的距离为PO＝ ④平行直线上的点的坐标特征：a)       在与轴平行的直线上， 所有点的       相等；b)       在与轴平行的直线上，所有点的       相等；                         5、 对称点的坐标特征：a)       点P关于轴的对称点为          ， 即横坐标       ，纵坐标       ；b)       点P关于轴的对称点为          ， 即纵坐标       ，横坐标       ；c)       点P关于原点的对称点为          ，即横、纵坐标都互为       ；         关于x轴对称                关于y轴对称                  关于原点对称 6、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a)       若点P()在第一、三象限的角平分线上，则          ，即       相等；b)       若点P()在第二、四象限的角平分线上，则          ，即横、纵坐标            ；            在第一、三象限的角平分线上              在第二、四象限的角平分线上知识点03  特殊点坐标的关系(1)要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为      ；y轴上的点横坐标为      ．② 平行于x轴直线上的点横坐标       ，纵坐标      ；平行于y轴直线上的点横坐标      ，纵坐标      ．     ③ 关于x轴对称的点      相等，纵坐标      ；        关于y轴对称的点      相等，横坐标      ；        关于原点对称的点横、纵坐标分别      ．④ 象限角平分线上的点的坐标特征：        一、三象限角平分线上的点横、纵坐标       ；        二、四象限角平分线上的点横、纵坐标      ．注：反之亦成立．(2)理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：      ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为      ，到y轴的距离为       ．      ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=       ；         y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=       ．③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=       ；         平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=       ．(5)利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：      . 知识点04  坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置   (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；   (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；   (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．注意：   (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．   (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点      (或      )；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点       (或      )． 注意：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．  (2)图形的平移    在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．注意：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 考法01   有序数对【典例1】数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数：．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m，再将数对(m，1)放入其中，得到的数是________． 【即学即练】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________．考法02  平面直角坐标系【典例2】第三象限内的点P(x，y)，满足|x|＝5，y2＝9，则点P的坐标为________． 【即学即练】在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为(   ) ．    A．3    B．-3    C．4    D．-4【即学即练】 如图所示，小手盖住的点的坐标可能为(   ) ．A．(5，2)    B．(-6，3)    C．(-4，-6)    D．(3，-4)考法03  坐标方法的简单应用【典例3】如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为(﹣3，2)，(2，3)．完成以下问题：(1)请根据题意在图上建立直角坐标系；(2)写出图上其他地点的坐标(3)在图中用点P表示体育馆(﹣1，﹣3)的位置． 【典例4】如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求这个四边形的面积．【典例5】△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)． (1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么? (2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? 【即学即练】在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3，2)重合，则点A的坐标是(　　)　 A．(2，5) B．(﹣8，5) C．(﹣8，﹣1) D．(2，﹣1)考法04  综合应用【典例6】三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2，-1)、B(1，-3)、C(4，-3.5)．(1)在直角坐标系中画出三角形ABC；(2)把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；(3)求出三角形A1B1C1的面积． 【即学即练】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为(    )．    A．32    B．24    C．6    D．8
第14课  平面直角坐标系全章复习与巩固 课程标准1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想． 知识点01  有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点02  平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：注意：(1)在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；(2)坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对()一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；(3)轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；   坐标轴上的点不属于任何象限；(4)四个象限的点的坐标具有如下特征：象限横坐标纵坐标第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负      小结：(1)点P()所在的象限      横、纵坐标、的取值的正负性； (2)点P()所在的数轴      横、纵坐标、中必有一数为零；(5)在平面直角坐标系中，已知点P，则①点P到轴的距离为； ②点P到轴的距离为；③点P到原点O的距离为PO＝ ④平行直线上的点的坐标特征：c)       在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；d)       在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；                         7、 对称点的坐标特征：a)       点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；b)       点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；c)       点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；         关于x轴对称                关于y轴对称                  关于原点对称 8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a)       若点P()在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；b)       若点P()在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；            在第一、三象限的角平分线上              在第二、四象限的角平分线上知识点03  特殊点坐标的关系(1)要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．     ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；        关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；        关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④ 象限角平分线上的点的坐标特征：        一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；        二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．(2)理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：      ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．      ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；         y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；         平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．(5)利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 知识点04  坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置   (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；   (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；   (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．注意：   (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．   (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移 (1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 注意：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．  (2)图形的平移    在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．注意：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 考法01   有序数对【典例1】数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数：．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m，再将数对(m，1)放入其中，得到的数是________．【分析】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入求值即可．【答案】66 .  【解析】解：将(-2，3)代入，，得(-2)2+3+1＝8，    再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66，    故填：66．【点睛】解答此题的关键是把实数对(-2，3)放入其中得到实数m，解出m的值，即可求出把(m，1)放入其中得到的数． 【即学即练】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________．【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米.考法02  平面直角坐标系【典例2】第三象限内的点P(x，y)，满足|x|＝5，y2＝9，则点P的坐标为________．【分析】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x，y的具体值．【答案】(-5，-3).【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为(-5，-3)．【点睛】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)． 【即学即练】在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为(   ) ．    A．3    B．-3    C．4    D．-4【答案】C.【即学即练】 如图所示，小手盖住的点的坐标可能为(   ) ．A．(5，2)    B．(-6，3)    C．(-4，-6)    D．(3，-4)【答案】D.考法03  坐标方法的简单应用【典例3】如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为(﹣3，2)，(2，3)．完成以下问题：(1)请根据题意在图上建立直角坐标系；(2)写出图上其他地点的坐标(3)在图中用点P表示体育馆(﹣1，﹣3)的位置．【分析】(1)根据图书馆、行政楼的坐标分别为(﹣3，2)，(2，3)，可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；(2)根据(1)中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；(3)根据点P(﹣1，﹣3)可以在直角坐标系中表示出来．【答案与解析】解：(1)由题意可得，(2)由(1)中的平面直角坐标系可得，校门口的坐标是(1，0)，信息楼的坐标是(1，﹣2)，综合楼的坐标是(﹣5，﹣3)，实验楼的坐标是(﹣4，0)；(3)在图中用点P表示体育馆(﹣1，﹣3)的位置，如下图所示，【点睛】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系． 【典例4】如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求这个四边形的面积．【分析】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF进行计算．【答案与解析】解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，则E(5，3)，所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=．【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．【典例5】△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)． (1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么? (2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?【答案与解析】解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．    (2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．    (3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．【点睛】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移． 【即学即练】在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3，2)重合，则点A的坐标是(　　)　 A．(2，5) B．(﹣8，5) C．(﹣8，﹣1) D．(2，﹣1)【答案】D．解：在坐标系中，点(﹣3，2)先向右平移5个单位得(2，2)，再把(2，2)向下平移3个单位后的坐标为(2，﹣1)，则A点的坐标为(2，﹣1)．故选：D．考法04  综合应用【典例6】三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2，-1)、B(1，-3)、C(4，-3.5)．
(1)在直角坐标系中画出三角形ABC；
(2)把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；
(3)求出三角形A1B1C1的面积．【分析】(1)建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可．
(2)把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形．
(3)把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．【答案与解析】解：(1)如图1，
(2)如图2，A1(-2，2)，B1(-3，0)，C1(0，-0.5)；
 (3)把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．
∴△A1B1C1的面积=3.25．【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。 【即学即练】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为(    )．    A．32    B．24    C．6    D．8【答案】B.