2023届四川省成都市石室中学高考适应性考试（一）文科数学试题Word版含解析

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  高考适应性考试（一）文科数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定以域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，1. 设集合，，则（    ）A. A=B B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合，再判断各选项的对错.【详解】因为，，所以且，所以A错，B错，，C错，，D对，故选：D.2. 已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】化简，求出，找到对应的坐标即可.【详解】对应的点的坐标为，在第三象限故选：C3. 在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是（    ）   A. 在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的中位数为 B. 在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3C. 在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的均值为 D. 在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为 【答案】C【解析】【分析】根据统计图分别求出消费价格月度同比数据的中位数和平均值；求出月度环比数据为正数的个数、月度环比数据为负数的个数，再求出月度环比数据的众数，即可得答案.【详解】在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为，，中位数为，平均数为,由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，有6个月的数据为正数，3个月的数据为，3个月的数据为负数，所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3，且出现次数最多，故众数 ，故选项A，B，D正确，C错误，故选：C.4. 直线被圆所截得弦长的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.【详解】解：易知直线l过定点，圆心，因为，所以直线l与圆C相交，当时，l被圆C所截得的弦最短，此时弦长．故选：A．5. 函数是（    ）A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为【答案】C【解析】【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，且，而，即函数为偶函数；所以，又，即，可得函数最小值0，无最大值.故选：C6. 考拉兹猜想由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出．其内容是：任意正整数s，如果s是奇数就乘3加1．如果s是偶数就除以2，如此循环，最终都能够得到1．如图所示的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5，则输出i的值为（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，模拟程序运算即可得解.【详解】模拟程序运行，第一次循环，不成立，不成立；第二次循环，成立，不成立；第三次循环，成立，则不成立；第四次循环，成立，则不成立；第五次循环，成立，则成立.跳出循环体，输出.故选：C.7. 已知双曲线为，其右焦点为F，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H，且与另一条渐近线交于点Q，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】设过右焦点垂直于渐近线的直线：，与垂直的渐近线联立得到点的坐标，再根据得到点的坐标，利用点在另一条渐近线上得到，进而求出渐近线方程.【详解】由题意知：双曲线C：的渐近线方程为：，不妨设过右焦点垂直于渐近线的直线的方程为：，联立方程组解得：，又因为，所以为的中点，因，则有，由题意知：点在直线，代入可得：，整理可得：，则，即，所以双曲线C：的渐近线方程为.故选：D8. 已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件列式，由此求得的取值集合.【详解】关于点对称，所以，所以①；，而在上单调，所以，②；由①②得的取值集合为.故选：C9. 已知，，，则的最小值为（    ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 12【答案】B【解析】【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为6.故选：B.10. 设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜率以及求得，从而求得抛物线的方程.【详解】直线的斜率为，倾斜角为，过作，垂足为，连接，由于，所以三角形是等边三角形，所以，由于，所以，所以抛物线方程为.故选：B11. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．【详解】令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，所以，又，所以，所以，，所以，故．故选：B12. 已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】设点、，其中，，则、，分析可知，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，则，，设点，则，作差可得，所以，，所以，，则不互相垂直，所以，则，所以，，又因为，所以，，所以，该椭圆的离心率为.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知实数、满足约束条件，则的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为_________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理变形得出，在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，因此当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大，由此可求得三角形面积最大值．【详解】, ，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上），如图以为轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，则，所以，当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大为，所以的最大值为，故答案为：．15. 如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.【答案】【解析】【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得的面积，从而求体积.【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径，则，取的中点，连接易知：底面中∥，，则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故所以故答案为：16. 已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．【答案】【解析】【分析】根据奇函数性质可求得；由已知抽象函数关系式可知周期为，由周期性可推导求得结果.【详解】为定义域为的奇函数，，解得：；由得：，是周期为的周期函数，.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数得分（1）请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；（2）若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任意选取人，求两人得分之和大于分的概率．【答案】（1）中位数为，平均数为    （2）【解析】【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：设学生的跳绳个数的中位数为，因为，则，由中位数的定义可得，解得，平均数（个）．【小问2详解】解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为个，按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、、、，从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种，两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、，共种，则两人得分之和大于分的概率．18. 在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为边长为2的正三角形，且平面平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.（1）证明：；（2）求证：平面平面PBC.【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB中点O，连接PO、OE，为PE与平面ABCD所成角，借助直角三角形可求与的长度；（2）先证平面PBC，从而得证平面平面PBC.【小问1详解】取AB中点O，连接PO、OE，因为平面平面ABCD，为边长为2的正三角形，所以，从而平面ABCD∴为PE与平面ABCD所成角，∴，即∴又∵所以在中，，∴；【小问2详解】在中，，取PC的中点F，所以，取PB中点G，连接AG，易得，又所以,且∴平面PBC，又平面PEC，所以平面平面PBC.19. 已知正项数列的前项和，其中，，为常数.（1）若，证明：数列是等比数列；（2）若，，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；    （2）【解析】【分析】（1）由退位相减法求得数列的通项公式，再由等比数列的定义进行判断即可；（2）先由求得，再由求得，即得数列的通项公式，再由错位相减求和即可.【小问1详解】当时，，则，又正项数列，则且，当时，，又，则，也符合，则，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）知：当时，，则，由可得，又正项数列可得，则，，则，又，可得，则，时也符合，则，则，，两式相减得，则.20. 已知函数，且曲线在处的切线为.（1）求m，n的值和的单调区间；（2）若，证明：.【答案】（1）；在与上单调递增，在上单调递减    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数得几何意义列出方程组即可求得的值，再将带入原函数及导函数中分别求得解析式，由函数单调性与导函数的关系即可求得的单调区间；（2）若，要证明：，由（1）可知函数的单调区间，属于典型的极值点偏移问题，由移向构造新函数，求得新函数的单调性即可证明.【小问1详解】因为，所以.由题意可得即解得因为，所以当或时，，当时，，则在与上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】证明：由（1）可知，，.设，则.设，则.因为，所以，则在上单调递增.因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，则在上单调递增.因为，所以在上恒成立，即对一切恒成立.因为，所以.因为，所以.因为在上单调递增，且，所以，即证：.21. 已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．【答案】（1）    （2）5【解析】【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.【小问1详解】由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．【小问2详解】由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．设直线：，若，则则不满足，所以．设，，，由得：，，．因为，即，则，，所以，解得，则，即，直线：，联立，解得，∴，当且仅当或时等号成立∴最小值为5．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 .与曲线相交于P，Q两点.（1）写出曲线的直角坐标方程，并求出的取值范围；（2）求 的取值范围.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）由，代入曲线求解，然后根据直线与圆有两个交点，由圆心到直线的距离小于半径求解；（2）设P，Q两点对应的极径由，利用韦达定理求解.【小问1详解】解：因为，且曲线，所以其直角坐标方程为，即；当时，显然成立；当时，设直线方程为，圆心到直线的距离为，因为直线与圆有两个交点，所以，解得或，因为，所以，综上，【小问2详解】设P，Q两点对应的极径分别为将，代入，得，则，所以 ，因为，所以，则，所以 的取值范围是 .[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数，不等式的解集为．（1）求的值；（2）若三个实数，，，满足．证明：【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可知，则，利用柯西不等式即可证明.小问1详解】∵不等式解集为，∴，即，∴，经检验得符合题意.【小问2详解】∵，∴，由柯西不等式可知：，∴，即，当且仅当，，时等号成立.