2023届四川省成都市石室中学高考适应性考试（一）数学（文）试题含解析

2023届四川省成都市石室中学高考适应性考试（一）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A．A=B B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合，再判断各选项的对错.

【详解】因为，，

所以且，所以A错，B错，

，C错，

，D对，

故选：D.

2．已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】化简，求出，找到对应的坐标即可.

【详解】

对应的点的坐标为，在第三象限

故选：C

3．在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是（    ）

A．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的中位数为

B．在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3

C．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的均值为

D．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为

【答案】C

【分析】根据统计图分别求出消费价格月度同比数据的中位数和平均值；求出月度环比数据为正数的个数、月度环比数据为负数的个数，再求出月度环比数据的众数，即可得答案.

【详解】在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为，

，

中位数为，

平均数为,

由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，

有6个月的数据为正数，3个月的数据为，3个月的数据为负数，

所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3，

且出现次数最多，故众数为 ，

故选项A，B，D正确，C错误，

故选：C.

4．直线被圆所截得弦长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断直线与圆的位置关系，再由圆心与直线过的定点与直线垂直求解.

【详解】解：易知直线l过定点，圆心，

因为，

所以直线l与圆C相交，

当时，l被圆C所截得的弦最短，

此时弦长．

故选：A．

5．函数是（    ）

A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为

C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为

【答案】C

【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.

【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，

且，

而，即函数为偶函数；

所以，又，

即，可得函数最小值为0，无最大值.

故选：C

6．考拉兹猜想由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出．其内容是：任意正整数s，如果s是奇数就乘3加1．如果s是偶数就除以2，如此循环，最终都能够得到1．如图所示的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5，则输出i的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据程序框图，模拟程序运算即可得解.

【详解】模拟程序运行，

第一次循环，不成立，不成

立；

第二次循环，成立，不成立；

第三次循环，成立，则不成立；

第四次循环，成立，则不成立；

第五次循环，成立，则成立.

跳出循环体，输出.

故选：C.

7．已知双曲线为，其右焦点为F，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H，且与另一条渐近线交于点Q，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设过右焦点垂直于渐近线的直线：，与垂直的渐近线联立得到点的坐标，再根据得到点的坐标，利用点在另一条渐近线上得到，进而求出渐近线方程.

【详解】由题意知：双曲线C：的渐近线方程为：，

不妨设过右焦点垂直于渐近线的直线的方程为：，

联立方程组解得：，

又因为，所以为的中点，

因，则有，

由题意知：点在直线，

代入可得：，整理可得：，则，即，

所以双曲线C：的渐近线方程为.

故选：D

8．已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件列式，由此求得的取值集合.

【详解】关于点对称，所以，

所以①；

，而在上单调，

所以，②；

由①②得的取值集合为.

故选：C

9．已知，，，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.

【详解】因为，所以，即，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为6.

故选：B.

10．设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线的斜率以及求得，从而求得抛物线的方程.

【详解】直线的斜率为，倾斜角为，

过作，垂足为，连接，

由于，所以三角形是等边三角形，

所以，

由于，所以，

所以抛物线方程为.

故选：B

11．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．

【详解】令，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

因为，所以，

又，所以，

所以，，

所以，

故．

故选：B

12．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设点、，其中，，则、，分析可知，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的值.

【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，

则，，

设点，则，作差可得，

所以，，

所以，，则不互相垂直，

所以，则，所以，，

又因为，所以，，

所以，该椭圆的离心率为.

故选：B.

二、填空题

13．已知实数、满足约束条件，则的最小值是______________．

【答案】

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，

此时取最小值，即.

故答案为：.

14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为_________．

【答案】

【分析】由余弦定理变形得出，在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，因此当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大，由此可求得三角形面积最大值．

【详解】, ，

由余弦定理得，

所以，

即，又，

所以在以为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上），

如图以为轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系，

设椭圆方程为，则，

所以，

当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大为，

所以的最大值为，

故答案为：．

15．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.

【答案】

【分析】底面正方形的对角线即球的直径，利用直三棱柱的性质及勾股定理可以求得的面积，从而求体积.

【详解】如图所示，由题意知，球心在底面的中心O上，故为截面圆的直径，

则，

取的中点，连接

易知：底面中∥，，

则面，即为直角三角形，由勾股定理可得：，故

所以

故答案为：

16．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．

【答案】

【分析】根据奇函数性质可求得；由已知抽象函数关系式可知周期为，由周期性可推导求得结果.

【详解】为定义域为的奇函数，，解得：；

由得：，

是周期为的周期函数，.

故答案为：.

三、解答题

17．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如表：

(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；

(2)若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任意选取人，求两人得分之和大于分的概率．

【答案】(1)中位数为，平均数为

(2)

【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；

（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为，

因为，则，

由中位数的定义可得，解得，

平均数（个）．

（2）解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为个，

按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，

在内抽取人，分别记为、、、，

从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、

、、、、、、、、、，共种，

两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、

、、、、、、、、，共种，

则两人得分之和大于分的概率．

18．在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为边长为2的正三角形，且平面平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.

(1)证明：；

(2)求证：平面平面PBC.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）取AB中点O，连接PO、OE，为PE与平面ABCD所成角，借助直角三角形可求与的长度；

（2）先证平面PBC，从而得证平面平面PBC.

【详解】（1）

取AB中点O，连接PO、OE，

因为平面平面ABCD，为边长为2的正三角形，

所以，

从而平面ABCD

∴为PE与平面ABCD所成角，

∴，即

∴

又∵

所以

在中，，

∴；

（2）在中，，取PC的中点F，

所以，

取PB中点G，连接AG，易得，又

所以,且

∴平面PBC，

又平面PEC，

所以平面平面PBC.

19．已知正项数列的前项和，其中，，为常数.

(1)若，证明：数列是等比数列；

(2)若，，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）由退位相减法求得数列的通项公式，再由等比数列的定义进行判断即可；

（2）先由求得，再由求得，即得数列的通项公式，再由错位相减求和即可.

【详解】（1）当时，，则，

又正项数列，则且，当时，，又，则，也符合，

则，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列；

（2）由（1）知：当时，，则，由可得，又正项数列可得，则，

，则，又，可得，则，时也符合，则，

则，，

两式相减得，则.

20．已知函数，且曲线在处的切线为.

(1)求m，n的值和的单调区间；

(2)若，证明：.

【答案】(1)；在与上单调递增，在上单调递减

(2)证明见解析

【分析】（1）由导数得几何意义列出方程组即可求得的值，再将带入原函数及导函数中分别求得解析式，由函数单调性与导函数的关系即可求得的单调区间；

（2）若，要证明：，由（1）可知函数的单调区间，属于典型的极值点偏移问题，由移向构造新函数，求得新函数的单调性即可证明.

【详解】（1）因为，

所以.

由题意可得即解得

因为，

所以当或时，，当时，，

则在与上单调递增，在上单调递减.

（2）证明：由（1）可知，，.

设，

则.

设，则.

因为，所以，则在上单调递增.

因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，

则在上单调递增.

因为，所以在上恒成立，即对一切恒成立.

因为，所以.

因为，所以.

因为在上单调递增，且，所以，

即证：.

21．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）由通径性质、离心率和椭圆参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；

（2）讨论直线斜率，设，，，为，注意情况，联立椭圆方程应用韦达定理求，，结合、坐标表示得到，进而有求，再求坐标，应用两点距离公式得到关于的表达式求最值，注意取值条件.

【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．

（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．

设直线：，若，则则不满足，所以．

设，，，

由得：，，．

因为，即，则，，

所以，解得，则，即，

直线：，联立，解得，

∴，当且仅当或时等号成立

∴的最小值为5．

22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 .与曲线相交于P，Q两点.

(1)写出曲线的直角坐标方程，并求出的取值范围；

(2)求 的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由，代入曲线求解，然后根据直线与圆有两个交点，由圆心到直线的距离小于半径求解；

（2）设P，Q两点对应的极径由，利用韦达定理求解.

【详解】（1）解：因为，且曲线，

所以其直角坐标方程为，即；

当时，显然成立；

当时，设直线方程为，圆心到直线的距离为，

因为直线与圆有两个交点，

所以，

解得或，

因为，所以，

综上，

（2）设P，Q两点对应的极径分别为

将，代入，

得，则，

所以 ，

因为，所以，则，

所以 的取值范围是 .

23．已知函数，不等式的解集为．

(1)求的值；

(2)若三个实数，，，满足．证明：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可知，则，利用柯西不等式即可证明.

【详解】（1）∵不等式的解集为，

∴，即，∴，经检验得符合题意.

（2）∵，

∴

，

由柯西不等式可知：

，

∴，

即，

当且仅当，，时等号成立.