2023届四川省江油市太白中学高三下学期高考模拟（三）数学试题含解析

这是一份2023届四川省江油市太白中学高三下学期高考模拟（三）数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省江油市太白中学高三下学期高考模拟（三）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解分式不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由，则，即，解得，所以，由，即，解得，即，所以.故选：D2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及余弦的2倍角公式可得答案.【详解】．故选：A3．已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中点，连接，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】取的中点，连接则，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设直线与直线夹角为，则，即直线与直线夹角的余弦值为.故选：A4．“”是“方程表示椭圆”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆，列出不等式组，求出的取值范围，然后根据题意和充分条件和必要条件的判断即可求解.【详解】若方程表示椭圆，则有，解得且，因为且是集合的真子集，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.5．的展开式中，常数项为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出展开式的通项公式，然后求出其一次项系数和常数项，从而可求得结果.【详解】展开式的通项公式为，所以的展开式中，常数项为，故选：D6．“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是，球冠的高度是，则球冠的面积）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（    ）（参考数值）A．52米 B．104米 C．130米 D．156米【答案】C【分析】由，结合求解.【详解】由题意得：，则，则，所以，所以，故选：C7．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）A．24 B．27 C．30 D．36【答案】C【分析】分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可.【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有个奇数， 第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有个奇数， 综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为个， 故选C．【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.8．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用正弦定理可得，进而整理，并求的取值范围，结合正弦函数分析运算即可.【详解】因为，由正弦定理可得，则，因为，，则，所以，即，则，因为，解得，所以，则，即的取值范围是.故选：B.9．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（    ）A． B． C． D．5【答案】A【分析】根据三视图还原几何体，将几何体放入长方体中，进而得出该几何体的外接球与长方体的外接球相同，再利用长方体的体对角线等于外接球的直径即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4长方体中，如图所示,所以该几何体的外接球与长方体的外接球相同，即长方体的体对角线等于外接球的直径，设该几何体的外接球半径为，则，解得.所以该几何体的外接球半径为.故选：A.10．中是外接圆圆心，是的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得的代数式，进而求得其最大值.【详解】过点 作，垂足分别为，如图，因 是外接圆圆心，则分别为的中点，在 中，，则 ，即 ，同理则由正弦定理得：，当且仅当 时取“=”，所以的最大值为.故选：A.11．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】设，，则，解得，，，，又因为，所以有，解得，则该双曲线的离心率为．故选：A12．设，则下列关系正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将三个值中的共同量0.05用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小.【详解】记，因为，当时，，所以在上单调递增，则当时，，即，取，所以，记，因为，所以在上单调递减，则当时，，即，取，所以，故，即；记，因为，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即，取，所以，即；所以.故选：C. 二、填空题13．已知向量，，若，则______．【答案】/【分析】由向量垂直的坐标表示直接构造方程求解即可.【详解】由题意得：，，，解得：.故答案为：.14．若离散型随机变量满足：，则______.【答案】【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得.【详解】因为，所以，所以.故答案为：15．函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，…，，则__________．【答案】4【详解】因为，两个函数对称中心均 为 ； 画出，的图象，由图可知共有四个交点，且关于对称，，,故，故答案为.16．如图，已知正方体的棱长为2，P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点，则下列结论正确的序号有______.①存在点P，使得平面；②三棱锥的体积为定值；③当点P在棱CD上时，的最小值为；④若点P到直线与到直线AD的距离相等，CD的中点为E，则点P到直线AE的最短距离是．【答案】①②④【分析】对于①，当点为与交点时，利用线面平行的判定定理即可判断；对于②，由到上底面的距离是定值即可判断；对于③，将平面沿旋转至平面共面，即可得到的最小值，从而得以判断；对于④，先得到点的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离，从而得解.【详解】对于①，连接，交点为，连接，连接，交点为，连接，如图，因为在正方体中，，所以四边形是平行四边形，所以，易知是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，故①正确;对于②，三棱锥的体积就是三棱锥的体积，而到上底面的距离是定值，所以三棱锥的体积是定值，故②正确；对于③，当点在棱CD上时，把平面沿旋转，使得旋转面与平面共面，连接，如图，此时取得最小值，在中，，，则，故③错误；对于④，由点到直线与到直线的距离相等，可知在以为准线，为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，则，的轨迹是抛物线，其方程为，因为的中点为，，所以的方程:，与平行的抛物线的切线方程设为，联立，可得，则由，解得，可得切线方程为，则点到直线的最短距离为，故④正确；故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：本题第④结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点的轨迹方程，从而将问题转化为抛物线上的点到直线的距离的最值，从而得解. 三、解答题17．已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，且数列的前n项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；（2）求出，然后运用裂项相消法求出可得结论.【详解】（1）设数列的公比为q，由，，成等差数列可得，故，解得，由可得，解得，故，即数列的通项公式为.（2）由（1）可得，故.当时，取得最大值，当时，， 故.18．小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为.年份代码12345市场规模0.91.21.51.41.6(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）.参考数据：；参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；（2）利用最小二乘法求出，，即可得到关于的经验回归方程.【详解】（1）由已知得,.因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由题可得，，故关于的经验回归方程为.19．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，或 【分析】（1）根据底面是正方形，且平面，可得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，得平面的一个法向量，由数量积公式得，从而得，即可证明得平面；（2）求解平面的法向量，设存在点，，设，代入表示出点，从而写出，再根据向量夹角的计算公式列式化简计算求出值，即可得答案.【详解】（1）因为底面是正方形，且平面，所以两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，易知平面的一个法向量为，所以，，又平面，所以平面.（2）设平面的法向量为，则，当，可取，假设存在点，，设，所以，所以，得，所以，得，解得或，所以或20．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，根据导函数的正负求出函数的单调性；（2）先确定，不等式变形，只需证明，且得到，接下来证明对数平均不等式，得到，从而得到，所以，.【详解】（1）的定义域为，且，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，要想有两个不相同的零点，则，解得：，，故要证，即证，即证：，因为在上单调递增，所以只需证，不妨设，两式相减得：，变形为，下面证明在上成立，只需证，即，令，即证，构造，，则恒成立，故在上单调递增，故，所以，，故，即，所以，，证毕.【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明.21．已知椭圆经过点，其右焦点为.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出，则椭圆方程可求；（2）设，与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理计算，可得的关系，利用的关系表示出，利用二次函数的性质求出最值.【详解】（1）依题可得解得所以椭圆的方程为；（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，由可得，，所以，即，而，即，化简可得，，化简得，所以或，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点.所以直线的方程为，易知，设定点，因为，且，所以，所以，设，所以，当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为.【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时，常常有三种求解三角形面积的方法：（1）常规面积公式：底高；（2）正弦面积公式：；（3）铅锤水平面面积公式：过轴上的定点：（为轴上定长）过轴上的定点（为轴上定长）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线，（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的普通方程；(2)在极坐标系中，射线与直线l和曲线C分别交于点A，B，若，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）消去参数即可得到曲线的普通方程；（2）写出直线l的极坐标方程为，得到，曲线C的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为，，代入条件结合二倍角公式及同角三角函数关系即可得到的值.【详解】（1），，则，故曲线C的普通方程为，.（2）直线l的极坐标方程为，易得.曲线C的极坐标方程为，易得.由已知，得，，，，两边平方并整理得.又，即，所以，则.23．已知存在，使得成立，，.(1)求的取值范围；(2)求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用绝对值不等式即可；（2）利用柯西不等式即可.【详解】（1）由题意，知.因为存在，使得，所以只需，即的取值范围是.（2）由柯西不等式，得，当，时，取得最小值.