2023届新疆喀什地区叶城县第六中学高三下学期第四轮摸底强基数学试题含解析

2023届新疆叶城县第六中学高三下学期第四轮摸底强基数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】，

所以.

故选：B.

2．已知， 则在复平面内的坐标是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】设，根据已知求出、可得，再根据复数的几何意义可得答案.

【详解】设，由， 得

，，解得，，或，，

所以，或，则在复平面内的坐标是或.

故选：C.

3．已知，，若，，则x+y=（    ）

A．1 B．2 C．-1或1 D．-2或2

【答案】D

【分析】由平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】因为，，，所以.

因为，所以，联立解得：或.

所以或.

故选：D

4．德国天文学家开普勒在1609年发表了开普勒第一定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上.随后于1619年发表了开普勒第三定律：所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道半长轴的立方成比例.已知地球轨道的半长轴约为，木星绕太阳一周大约要花12年，那么木星轨道的长轴约为（    ）（）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，列出方程，结合指数的运算即可得到结果.

【详解】由题意，设木星轨道的半长轴为，则其长轴为，

由条件可得，，则，

因为，则，

所以其长轴为.

故选：C

5．已知扇形半径为3，圆心角为120°，则此扇形围成的圆锥体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求扇形的弧长，进而求出圆锥底面圆的半径与高，即可求出体积.

【详解】因为扇形半径为3，圆心角为120°，所以弧长为：.

所以圆锥底面圆的半径为，母线长为，因此高为.

所以圆锥的体积为.

故选：A

6．与的图象有（   ）个交点.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】当时，令，时，令，对函数求导，讨论函数的单调性和最值即可得出函数的零点个数，即可得出答案.

【详解】令，

则当时，，令，

，解得：，

当；当，

则在上单调递增，在上单调递减，

则，所以时，有1个零点，

即与的图象有1个交点，

则当时，，令，

，在上单调递减，

因为，

由零点存在性定理知，存在，使得，故时，有1个零点，

即与的图象有1个交点，

综上：与的图象有2个交点.

故选：C.

7．如图，在中 ，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（    ）.

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C

【分析】利用平面向量基本定理的推论表示向量，即可求解.

【详解】设，

，

则，解得：

所以，即

即，则.

故选：C

8．某超市做活动，采用旋转下图圆盘的方式抽奖，假如如果可以连抽两次，则中奖的概率是（    ）

A．0.36 B．0.48 C．0.6 D．0.84

【答案】D

【分析】求出两次均未中奖的概率，利用对立事件的概率关系求得答案.

【详解】∵两次均未中奖的概率是，

∴如果可以连抽两次，则中奖的概率是.

故选：D．

9．若，则（    ）

A．55 B．56 C．45 D．46

【答案】D

【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案.

【详解】由，

得，，

，，，

累加得，

，

当时，上式成立，

则，

所以.

故选：D

10．已知 若，则z的最小值为（    ）

A．1 B．- C．-1 D．-3

【答案】B

【分析】画出可行域及目标函数，由几何意义得到的最小值.

【详解】画出可行域及目标函数，

中的几何意义为与轴交点的纵坐标，显然当经过点时，取得最小值，

联立，解得，故点坐标为，

代入中，.

故选：B.

11．已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意列式解得，进而可得.

【详解】由题意可得：，解得，

所以C的离心率为.

故选：A.

12．已知，，，则(    )

A．2 B．3 C．2023 D．0

【答案】B

【分析】由已知条件可得的周期为2，的周期为4，利用周期性求解即可.

【详解】∵，∴，

∴，即的周期为2，

，

∵，∴，

∴，即的周期为4，

又，∴，

，

则．

故选：B．

二、填空题

13．已知向量，，则=________.

【答案】0

【分析】由平行向量的坐标表示可求出，即可求出的值.

【详解】由向量，可得：，

解得：，所以，

，所以.

故答案为：0

14．语文某小组有4个男生，3个女生，现语文老师要从这一组抽3名同学背书，请问抽到男生人数多于女生的概率是______.

【答案】

【分析】根据题意，由古典概型的概率公式代入计算即可得到结果.

【详解】由题意，抽到男生人数多于女生人数的情况包括：3个男生0个女生，2个男生1个女生两种情况，即,而总情况数为，

设事件表示抽到男生人数多于女生，则.

故答案为:

15．已知，则线段AB的垂直平分线的一般方程为______.

【答案】

【分析】先求出直线AB的斜率与AB的中点坐标，由点斜式方程求解即可.

【详解】因为，所以直线AB的斜率为，

所以AB的垂直平分线的斜率为，AB的中点坐标为，

故线段AB的垂直平分线的方程为：，化为一般式为：.

故答案为：.

16．以函数的图象上相邻四个极值点为顶点的四边形对角线互相垂直，则______.

【答案】/

【分析】作出函数的图象，取点、、、，可知四边形为菱形，可得出，可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】作出函数的图象如下图所示：

函数的最小正周期为，

不妨取点、、、，

则且，又因为，则四边形为菱形，

所以，，即，解得.

故答案为：.

三、解答题

17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求∠C.

(2)若，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合正余弦定理分析运算；

（2）根据题意利用正弦定理可得，结合基本不等式解得，进而可得结果.

【详解】（1）因为，

即，

整理得，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

且，可得

（2）因为，由正弦定理可得，

整理得，当且仅当时，等号成立，

解得，

则面积，

所以面积的最小值为.

18．五四来临之际，某中学组织了一场象棋比赛，现有甲乙两位学生打进决赛，决赛采用三局两胜制，已知甲每局获胜的概率为0.6.

(1)求甲获得冠军的概率；

(2)设X为乙获胜的场次，写出X的分布列，并求出期望.

【答案】(1)0.648

(2)分布列见解析，0.992

【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式分析运算；

（2）根据题意结合独立事件的概率乘法公式求分布列，进而可求期望.

【详解】（1）由题意可知：甲每局获胜的概率为0.6，则乙每局获胜的概率为0.4，

甲获得冠军有三种可能：“前两局获胜”，“前两局胜一局，第三局获胜”，

所以甲获得冠军的概率.

（2）由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有：

，

，

X的分布列为：

X的期望.

19．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2.

(1)求证：DE∥平面A1BC；

(2)求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判断定理，即可证明；

（2）根据垂直关系，构造线面角，即可求解.

【详解】（1）证明：∵点D、E分别为AC、AA1的中点，

∴DE为三角形ACA1的中位线，即DE∥CA1，

平面，平面，

∴DE∥平面A1BC

（2）过点A1作B1C1的垂线，垂足为F，连结，

因为平面平面，且平面平面，

，所以平面，所以为在平面的射影，

即为所求角，，，

所以.

20．已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.

【答案】(1)=1

(2)3

【分析】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.

（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可.

【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，

所以该双曲线的焦点在横轴上，

因为双曲线C两条准线之间的距离为1，

所以有，

又因为离心率为2，

所以有代入中，可得，

∴C的标准方程为：；

（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为，

所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，

所以两条直线与双曲线的相交弦相等.

又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，

所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，

方程为与双曲线方程联立为：

，

设，则有，

21．已知函数.

(1)求该函数在处的切线方程；

(2)求该函数过原点的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入得到切点坐标，再求导代入得出斜率，写出切线方程即可；

（2）设切点，切线方程为，根据导数含义得， ，代入切点横坐标得到其纵坐标为1，再代回函数解析式得到切点坐标，最后写出切方程即可.

【详解】（1）当时，，所以此时切点为，

由可得，

所以切线的斜率为，

则利用点斜式方程可得到，即，

（2）显然切线斜率不存在时，不合题意，

故设切线方程为，切点，斜率，

，又因为切点在上，

，当时，，

，切线方程为，即.

22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．

(1)写出C的普通方程并说明是什么曲线；

(2)求l与C交点的直角坐标．

【答案】(1)或者写成，该曲线是关于x轴对称，顶点在且开口向右的抛物线的一部分

(2)

【分析】（1）根据题意消参求普通方程，分析理解；

（2）根据极坐标与直角坐标之间的关系，求l的普通方程，进而联立求交点坐标.

【详解】（1）因为，可得，

则，整理得，

所以C的普通方程为，表示关于x轴对称，顶点在且开口向右的抛物线的一部分.

（2）因为，则，

所以直线l的普通方程为，

联立方程，解得或（舍去），

所有l与C交点的直角坐标为.

23．已知都是正数，且，证明：

(1)证明：；

(2)若，证明：.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据给定条件，利用三元均值不等式推理作答.

（2）利用柯西不等式，结合题意推理作答.

【详解】（1）因为a，b，c都是正数，则有，

当且仅当时取等号，所以.

（2）由柯西不等式可得：，

所以，又因为，，

所以，所以.