2023届北京市海淀区高三查缺补漏数学试题含解析

2023届北京市海淀区高三查缺补漏数学试题

一、单选题

1．已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由求出的范围，进而可得结果.

【详解】因为为单位向量，所以由两边平方得，

所以得，而，所以夹角为0或锐角；

所以“”是“为锐角”的必要而不充分条件.

故选：B.

2．设为数列的前n项和．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】为数列的前n项和，且，

当时，，，，，则，

当时，有，，，则，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．已知数列满足，，若，则（    ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】A

【分析】首先赋值，判断数列是等差数列，并求通项公式，利用等差数列的前项和公式，即可求解.

【详解】因为，令，所以，故数列

是首项和公差均为2的等差数列，所以，

所以，解得k=10.

故选：A

4．已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（    ）

A． B． C． D．的大小关系不能确定

【答案】C

【分析】由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.

【详解】由题意可得四个正数满足，，

由等差数列和等比数列的性质可得，，

由基本不等式可得，

又公比，故，上式取不到等号，

所以，即.

故选：C

5．已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】首先得到曲线所表示的图形为半圆，然后利用几何法求出直线与圆相切时的值，再将代入直线，利用几何法检验此时是否相切即可.

【详解】对曲线，两边同平方得，即，其中，

其表示的图形是以为圆心，半径为的圆的上半部分，包括轴上的点，

当直线与曲线相切时，则有，或，

显然由图形知，则，故充分性成立，

若，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，故此时直线与相切，故必要性成立.

则“与相切”是“”的充分必要条件.

故选：C.

6．已知点.若点在函数的图象上，记的面积为，则使得的点的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】先求出直线AB的方程，然后利用点到直线距离求出，解方程即可判断点的个数.

【详解】因为，所以直线AB：即，

则点到直线AB：的距离为，

又，

所以，

则，由题意，

所以，即，所以或，

即或，解得或或，

故使得的点有3个.

故选：B

7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若是线段的中点，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】依据题意可知线段为抛物线的通径可得结果.

【详解】由题可知：线段为抛物线的通径

所以

故选：D

8．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】D

【分析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.

【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，

设，，则，

当，即时等号成立.

故选：.

【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

9．设，则“是第一象限角”是“”的             

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】充分性：若是第一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.

【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

10．若角是锐角三角形的两个内角，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由角是锐角三角形的两个内角可知，且均为锐角，再利用诱导公式及充分必要条件的定义求解即可.

【详解】因为角是锐角三角形的两个内角，所以，

所以，且均为锐角，

所以，即，

，即，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：C

11．函数，则（    ）

A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数

C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数

【答案】B

【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.

【详解】的定义域为，

对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；

对B：若，，

，故为偶函数，B正确；

对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；

对D：若，，

若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；

故选：B

12．函数，则“对任意的实数”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】换元法，将原函数转化为为二次函数，分类讨论求二次函数在给定区间的最大值，再结合充分必要条件的定义求解.

【详解】,

令,则,对称轴为，

当，即时，，

因为对任意的实数，所以，

解得；

当，即时，，

满足对任意的实数；

当，即时，，

因为对任意的实数，所以，

解得；

综上，“对任意的实数”等价于，

所以“对任意的实数”是“”的充分不必要条件，

故选:A.

13．已知，则“存在使得”是“”的（    ）．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.

【详解】(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选：C.

【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.

14．已知则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】先由求得或，进而得到“”与“”之间的逻辑关系.

【详解】由，

可得或，

即或，

又可化为

或，

则当时成立，

不成立；

当时，成立，

不成立.

则“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D

15．在中，，则“”是“的面积为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理可判断“”和“的面积为”之间的逻辑推理关系，即得答案.

【详解】由已知在中，，

若，则为正三角形，故，

若的面积为，则，

又,即，

解得，故，

所以“”是“的面积为”的充分必要条件，

故选：C

二、填空题

16．与双曲线渐近线相同，且一个焦点坐标是的双曲线的标准方程是__________．

【答案】

【分析】设所求双曲线的方程为，由题意有且，解出即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为，

由焦点坐标是，可设所求双曲线的方程为，得，

双曲线渐近线的方程为，由题意有，

解得，，

所以双曲线的方程为.

故答案为：.

17．已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是__________．

【答案】34

【分析】由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长.

【详解】因为，所以，

故，则，

又，故，则，，

所以的周长为.

故答案为：34.

18．已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是__________．

【答案】

【分析】设，利用向量的数量积运算求得，再利用向量夹角余弦的表示，结合基本不等式即可得解.

【详解】因为，

所以，

设，则当与同向时，取得最大值为，

当与反向时，取得最小值为，故，

又，则，

所以，

设与的夹角为，则，

由于在上单调递减，故要求的最大值，则求的最小值即可，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，即的最小值为，

因为，所以此时，即向量与夹角的最大值为.

故答案为：

19．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________．

【答案】

【分析】根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解.

【详解】由题意可得，，,

,

故答案为: .

三、双空题

20．函数在的图象如图所示．则

（1）的最小正周期为__________；

（2）距离轴最近的对称轴方程__________．

【答案】         

【分析】根据图象过点可得，再由图象分析周期范围可得范围，据此求周期，得出函数解析式，求对称轴即可.

【详解】由函数图象知，，

所以根据五点法作图可得，，解得，

又由函数图象得，即，

解得，所以时，，

故，

故，由，解得，

当时，满足条件.

故答案为：，

四、填空题

21．将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则__________．

【答案】

【分析】利用三角函数图象的对称性，找到关于，的方程即可求解.

【详解】将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数，

因为为偶函数，图象关于轴对称，所以函数的图象的一条对称轴为，

所以有，解得.

故答案为：

五、双空题

22．设函数若,则的单调递增区间是___________;若的值域为,则的取值范围是_____________．

【答案】         

【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果;

(2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围.

【详解】解:由题知当时,

,

故在上单调递减,

在上单调递增,

在上单调递减,

故的单调递增区间是;

由于在上的值域为,

若的值域为,

只需在上的值域包含即可,

故需,即,

此时在上的值域为,

故需,即,

综上: .

故答案为:;

六、填空题

23．已知函数有2个零点，且过点，则常数t的一个取值为______．

【答案】（不唯一）．

【分析】由条件求出的范围，然后取一个值即可.

【详解】由可得或

由可得

因为函数有2个零点，且过点，所以

故答案为：（不唯一）

24．已知数列的前项和为，则__________．

【答案】36

【分析】根据条件分奇偶项讨论得，计算求和即可.

【详解】由题意可得为奇数时，，

两式相减得；

为偶数时，，两式相加得，

故.

故答案为：36

七、双空题

25．设等差数列的前项和为，若，则公差__________；__________．

【答案】         

【分析】根据，利用数列通项和前n项和的关系，求得即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

所以，

解得代入即得，

故答案为：1，4

26．设函数，

（1）当时，的值域为__________；

（2）若恰有2个解，则的取值范围为__________．

【答案】         

【分析】（1）当时，利用倍角公式得到，从而得到；当时，利用倍角公式与换元法，结合二次函数的性质得到，从而得解.

（2）先分析得当时，无解；再讨论当，利用换元法与对勾函数的性质，将问题转化为与的图像有两个交点，作出图像即可得解.

【详解】（1）因为，，

所以当时，，又，

所以，由易得；

当时，，令，则，

所以，

因为的对称轴为，开口向上，

所以在单调递减，故，则；

综上：当时，的值域为；

（2）当时，，显然与恰有2个解矛盾，故，

当时，，由得，即，

故，即，

因为，所以，故，显然在上无解；

当时，，由得，故，

若，即，此时，则，

显然此时不成立，故，则，

所以，令，则，，

故，

则恰有2个解转化为与的图像有两个交点，

因为，所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

且当时，，当时，，故的图像如下：

所以.

故答案为：；.

【点睛】关键点睛：第2小问的关键在于先分析得当时，无解，从而只需分析时的情况即可，再利用换元法将问题转化为与的图像有两个交点，从而得解.

八、填空题

27．已知平面直角坐标系中的点集，给出下列四个结论：

（1）当直线为时，与没有公共点；

（2）存在直线与有且只有一个公共点；

（3）存在直线经过中的无穷个点；

（4）存在直线与没有公共点，且中存在两点在的两侧．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】（2）（4）

【分析】令，由直线与圆的位置关系的判定可判断（1）；分别找两条直线，可判断（2）、（4）；用极限思想判断（3）.

【详解】令，点集即为圆，圆心为，半径为2，

直线的方程即为，则圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交，故（1）错误；

取直线：，时，点集为，显然直线与无交点；

当时，点集表示以为圆心，为半径的圆，

则圆心到直线的距离，

当时，，则，

又，

因为，所以，

所以当时有；

当时，即时，，

当且仅当时取“=”号，

综上有，当且仅当时取“=”号，

所以，当且仅当时取“=”号，

即当时，直线与圆相切，有一个公共点，

当时，直线与圆相离，没有公共点，故（2）正确；

设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，

当时，，

所以直线只能与有限个圆相交，故（3）错误；

取直线：，

则对于任意的，有，

故此时圆均在直线的下方；

对于任意的，有，

故此时圆均在直线的上方；

而时，点集表示原点，在直线的下方，

综上，点集中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧，

故（4）正确.

故答案为：（2）（4）