2023届广东省广州市高三冲刺训练（二）数学试题含解析

这是一份2023届广东省广州市高三冲刺训练（二）数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省广州市高三冲刺训练（二）数学试题 一、单选题1．复数（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数的运算法则化简求解.【详解】，故选：D2．已知集合，则集合的子集个数为（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】集合A代表直线上点的集合，集合B代表圆上的点的集合，判断直线与圆的位置关系确定直线与圆的交点个数，即为集合中元素的个数【详解】集合B中圆的半径为1，圆心到集合A中直线的距离，所以直线与圆相交，有两个交点，所以集合中有两个元素，其子集个数为4.故选：A.3．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形梯形的高为，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，这个刍童为棱台，求出棱台的高，从而求得上水面的边长和水的高度，再根据棱台的体积公式即可得出答案.【详解】解：根据题意可知，这个刍童为棱台，如图，为垂直底面的截面，则棱台的高为2，若盆中积水深为池盆高度的一半，则上水面的边长为4，水的高度为1，所以该盆中积水的体积为.故选：B.4．已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于0求得和的关系式，同时椭圆的焦点坐标求得半焦距得到和的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得和，则椭圆的长轴可得．【详解】设椭圆方程为，直线代入椭圆方程，消得：，，整理，得又，由焦点在轴上，所以，联立解得：，,故椭圆方程为，则长轴长为；故选：C5．在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果.【详解】由，得出，由得，因为三点共线，所以，解得.故选：D.6．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，，．若，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据欧拉函数的定义结合可求得的值，再结合欧拉函数的定义可求得的值.【详解】与互素且不超过的正整数为，与互素且不超过的正整数为、，与互素且不超过的正整数为、，与互素且不超过的正整数为、、、，与互素且不超过的正整数为、、、，因为，，，，，所以，，则，因为与互素且不超过的正整数为、、、，所以，.故选：B.7．已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.【详解】，而，当且仅当，即取等.故选：C.8．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义判断出函数为奇函数，然后求导判断出其单调性，由此可将不等式化为，解不等式即可得到结果.【详解】当时，，则，同理，当时，，则，且，可知函数为奇函数；当时，，则，令，则，所以在单调递增，即，即，所以在单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.则，即，即，可得，且，所以，解得，所以解集为.故选:A 二、多选题9．为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测．某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．乙同学体温的极差为B．甲同学体温的中位数与平均数相等C．乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小D．甲同学体温的第60百分位数为【答案】BCD【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.【详解】由乙同学的体温折线图可知体温的极差为：，故A错误；甲同学的体温由低到高分别为：，所以中位数为：，平均数为：，故选项B正确，根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数为，但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；对于D选项，由，在B选项中甲同学的体温从小到大排列知，甲同学体温的第60百分位数为，故D选项正确.故选：BCD.10．已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（    ）A．的最大值为B．在上的图像与直线没有交点C．在上没有对称轴D．在上有一个零点【答案】BCD【分析】根据已知得出，则，后根据余弦函数的图像和性质，即可逐一判断选项.【详解】图像上相邻的两个最高点之间的距离为，可得，，则，因在上是单调函数，则，所以，，则，又，则，A正确；因为函数周期为，所以在上的图像与直线必有交点，B错；因为，所以函数在半个周期内定有对称轴，C错；因为，则，，当时，，所以在上的图像都在轴下方，D错.故选：BCD11．函数，则下列结论正确的是（    ）A．若函数在上为减函数，则B．若函数的对称中心为，则C．当时，若有三个根，且，则D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则【答案】ACD【分析】求导得到导函数，根据单调区间解得A正确，代入点计算得到，B错误，求导得到函数的单调区间，确定，，代入计算得到C正确，设出切点，计算切线方程，得到，构造函数，计算极值得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，，函数在上为减函数，则，解得，正确；对选项B：函数的对称中心为，则，，错误；对选项C：，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，，，故，，要证，即，整理得到，，不等式成立，正确；对选项D：设切点为，则，，则切线方程为，将代入上式，整理得，方程有三个不同解，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；极小值，极大值，故，正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的切线问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将参数的范围转化为求函数的极值是解题的关键.12．已知正四面体的棱长为分别为正四面体棱的中点，为面内任意一点，则下列结论正确的是（    ）A．平面截正四面体的外接球所得截面的面积为B．若存在，使得，则线段长度的最小值为C．过点作平面平面，若平面平面，平面平面，则所成角的正弦值为D．平面与平面夹角的余弦值为【答案】ABD【分析】A选项，求出外接球半径，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到平面距离公式得到球心在平面上，从而求出截面面积；B选项，设，由，可得，求出，得到当时，线段长度的最小值；C选项，由平面平行的性质得到，，所成角的正弦值即为与所成角的正弦值，利用空间向量求出异面直线的夹角余弦值，从而得到所成角的正弦值；D选项，求出两平面的法向量，得到两平面的夹角的余弦值.【详解】A选项，连接，过点作⊥平面，则点在线段上，且，球心在上，连接，设正四面体的外接球半径为，则，因为正四面体的棱长为1，所以，，由勾股定理，得，即，解得，过点作⊥交于点，则以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，则，则点到平面的距离为，即球心在平面上，则平面截正四面体的外接球所得截面的面积为，A正确；B选项，设，则，由，可得，解得，，故，故当时，取得最小值，故线段长度的最小值为，B正确；C选项，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，，所以所成角的正弦值即为与所成的角的正弦值，其中，所以，故所成角的正弦值为，C错误；D选项，设平面的法向量为，则，令，则，则，其中平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 三、填空题13．已知且，的展开式中存在常数项，写出的一个值为__________．【答案】5或者)【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于，求出与的关系,可得的值.【详解】二项式的展开式的通项为，因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，即，可得n的一个值为5.故答案为：5（答案不唯一）.14．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．【答案】【分析】由曲线在点处的切线与直线垂直可以求得曲线在切点处的导数值，将函数求导，代入解方程即可.【详解】因为曲线在点处的切线与直线垂直，又直线的斜率为所以；由，，，即，所以解得，，由，解得或(舍去).故答案为：15．已知点的坐标为，点是圆上任意两个不同的点，且满足，设为线段的中点，则的最大值为__________．【答案】【分析】由题意可得，再由基本不等式，带入求解即可得出答案.【详解】如图，连接，因为，所以，因为为线段的中点，所以，由垂径定理可得，则，所以，所以的最大值为.当且仅当时取等.故答案为：.16．在中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为__________．【答案】【分析】先求出在中随机选取三个数的方法总数，再求能构成公差不小于5的等差数列的方法总数，由古典概率的公式求解即可.【详解】在中随机选取三个数有：，公差为5的等差数列有：，，……，，共个；公差为6的等差数列有：，，……，，共个；……，公差为24的等差数列有：，，共个；所以共有：，所以能构成公差不小于5的等差数列的概率为：.故答案为：. 四、解答题17．设为数列的前项和，已知．(1)求；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）当，将代入已知式化简可证得数列是首项为，公差为1的等差数列，即可求出，再根据的关系式求出；（2），对其分母有理化可证得，即可得出答案.【详解】（1）由题意知，，又，得．当时，由，得，得．则数列是首项为，公差为1的等差数列．所以．又，则．当时，，又满足上式，所以．（2）证明：由于又，所以．18．如图，在四棱锥中，，，点为的中点．(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接．先证明，再证明平面．（2）利用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）取中点，连接．因为点为的中点，所以且，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形．所以．又平面平面，所以平面．（2）在平面中，过作，在平面中，过作．因为平面平面，平面平面，平面所以平面．所以，所以两两互相垂直．以为原点，向量的方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则，所以，设是平面的一个法向量，则即取，得．设直线与平面所成角为．则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100人，访问结果如下表所示． 使用人数未使用人数女性顾客4020男性顾客2020(1)从被访问的100人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；(2)用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为，问为何值时，的值最大？【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由二项分布的概率计算公式列出式子，然后即可得到其最大值.【详解】（1）设事件为“从被访问的100人中随机抽取2名，所抽取的都是女性顾客且使用该软件”，从被访问的100人中随机抽取2名，共有个基本事件，事件共有个基本事件，则．（2）由题意，服从二项分布，且使用该软件的概率为，则．所以．设．若，则；若，则．所以时，最大．20．记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若的面积为，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）运用二倍角公式、诱导公式及积化和差公式及正弦定理角化边即可证明.（2）运用余弦定理及基本不等式可求得B范围，方法1：运用基本不等式求得的最大值，方法2：由等量代换及二倍角公式化简即可求得结果.【详解】（1）证明：由，得，由于，则．故．所以，即．由正弦定理得．（2）解：由（1）得，则，当且仅当时等号成立．由于，则，所以，所以，当且仅当时等号成立．所以的最大值为．另法：由（1）得，则，当且仅当时等号成立．由于，则，所以，所以由，得．所以．所以的最大值为．21．已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．(1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；(2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)圆过定点 【分析】（1）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，根据弦长公式表示，再代入求得结果.（2）表示圆的方程，由对称性可知定点在轴上，令进行求解即可.【详解】（1）如图，由，设，直线，代入，整理得：，由解得：由韦达定理：，由，同理，．为定值．另法：由，同理，．由于，不妨设，则．由，得．所以为定值．（2）由题意：圆的方程为即由对称性可知：若存在定点，则必在轴上令，有由（1）可知，代入方程后有：，即，令即．故圆过定点．22．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)证明：当时，对任意，总有．【答案】(1)单调递减区间为上，单调递增区间为(2)证明见解析 【分析】（1）代入a值求导，根据导数取值范围判断函数单调区间；（2）观察函数，根据题意可判断出，可对不等式进行适当放缩简化不等式，再将新函数求导，根据导数求出新函数最小值，进而证明不等式.【详解】（1）当时，的定义域是，则．当时，；当时，，故的单调递减区间为上，单调递增区间为．（2）证法1：当时，，由于在上单调递增，则时，有．要证，只要证，只要证，只要证，设，在上单调递增令，下面证明，设，则在上单调递增．，则．．，（*）式成立，命题得证．证法2：当时，，由于在上单调递增，则时，有．要证，只要证，只要证，只要证，可证，证明如下：设，则，，在上单调递增．，则，要证成立，只要证，只要证．显然，命题得证．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．