湖北省武汉市2023届高三5月模拟训练数学试题

武汉市2023届高三年级五月模拟训练试题

数学试卷

武汉市教育科学研究院命制    2023.5.24

本试题卷共5页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号，考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则

A.    B.    C.    D.

2.设复数满足为纯虚数，则

A.1   B.    C.    D.2

3.已知：，：，则是的

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.已知，为单位向量，若，则

A.    B.

C.    D.

5.函数的部分图象可能为

A.    B.

C.    D.

6.将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为

A.4   B.5   C.6   D.7

7.已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为

A.3   B.4   C.5   D.6

8.已知，，，则a，b，c的大小关系为

A.    B.    C.    D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆：，直线：，则

A.直线在y轴上的截距为1   B.直线的倾斜角为

C.直线与圆有2个交点    D.圆上的点到直线的最大距离为

10.在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，方差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，方差是0.4，下列说法正确的有

A.平均来说甲队比乙队防守技术好   B.乙队比甲队的防守技术更稳定

C.每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少  D.乙队可能有一半的场次不失球

11.已知函数，其中，，则

A.若存在最小正周期且，则

B.若，则存在最小正周期且

C.若，，则的所有零点之和为2

D.若，，则在上恰有2个极值点

12.在中，，，点D满足，将沿直线BD翻折到位置，则

A.若，则     B.异面直线PC和BD夹角的最大值为

C.三棱锥体积的最大值为  D.点Р到平面BCD距离的最大值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在的展开式中，含项的系数为_______.

14.如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器，，容器内装有高度为的水，现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转45°，容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形容器，不考虑容器厚度以及其它因素影响，则_______.

15.设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则A，B，C三个事件________（填“是”或“不是”）两两独立，且________.（第1个空2分，第2个空3分）

16.已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为，的面积.若，则椭圆的离心率为_________.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知各项均不为零的数列的前项和为，，.

（1）求的通项公式；

（2）若恒成立，求正整数的最大值.

18.（12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若，求的面积.

19.（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

（1）求证：平面平面PBC；

（2）求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.

20.（12分）

2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：

（1）补全2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联?

（2）现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中女“航天达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

附：

21.（12分）

新郦已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点.

（1）求双曲线和椭圆的方程；

（2）是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.

22.（12分）

已知，其中.

（1）若，讨论的单调性；

（2）已知，是的两个零点，且，证明：.

武汉市2023届高三年级五月模拟训练试题

数学试卷参考答案及评分标准

选择题：

填空题：

13.32  14.   15.是；2  16.

解答题：

17.（10分）解：

（1）当时，，即.

当时，.

所以.

因为数列中各项均不为零，即.

所以数列中奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；

偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.

当时，，即；

当时，，即.

综上，数列的通项公式为

（2）由（1）知数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即易知.

因为，所以，当时，不等式恒成立；

当时，.

故正整数的最大值为63.

18.（12分）解：

（1）在中有.

即.

因为，由正弦定理可得，即.

同理.

在中有.

解得，，.

由，得：.

（2）面积，代入，，整理得：.

由（1）知，，即，.

中由正弦定理可得，即.

所以.

19.（12分）解：

（1）中，E为PB的中点，所以.

在正方形ABCD中，.

因为平面ABCD，平面ABCD，即.

又因为，平面PAB，所以平面PAB.

平面PAB，即，又因为，，平面PBC.

所以平面PBC，平面AEF，

即平面平面PBC.

（2）因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直.

以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

有，，，，，

PB中点，设，.

，，，.

设平面PCD的法向量，由，

得，取.

设平面的法向量，由，

得，取.

所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为.

令，，

则，

所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值，

此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值.

20.（12分）解：

（1）补全2×2列联表如下表：

零假设：假设“航天达人”与性别无关.

根据表中的数据计算得到.

查表可知.

所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，

因此“航天达人”与性别无关.

（2）在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有（人），女航天达人有2人.

X所有可能取值为：0，1，2.

则，，.

所以X的分布列如下：

X的数学期望为.

21.（12分）解：

（1）已知双曲线渐近线为，即.

因为椭圆的长轴长，即，.

所以双曲线的方程为：.

椭圆的方程为：.

（2）当直线、的斜率不存在时，不满足题意.

故直线的方程设为：，直线过点，即.

与双曲线方程联立，得.

故，.

设，，有，.

设.

.

化简得.

代入韦达定理得：

.

将代入其中消去化简得：

.

由动直线、互不影响可知，要满足为定值，

则为定值，为定值.

因此要满足为定值，则有：

①若，，计算得，.

经检验满足，此时.

②若，即，，

有.

无解.

综上，当，.

下面只需验证当时，是否为定值.

设直线方程为：，直线过点，即.

椭圆方程联立，得.

故.

设，，有，.

.

化简得.

代入韦达定理化简可得：.

将代入其中可得：.

所以当，，，.

所以点坐标为.

22.（12分）解：

（1）若，即.

.

①若，则，即在单调递减；

②若，令有，即在上单调递减，上单调递增.

综上有，当，在单调递减.

当，在上单调递减，上单调递增.

（2）由题意知：已知，是的两个零点，.

即，.

所以，即.

要证：.

只需证：.

即证：.

即证：，令.

即证：.

令，有.

即在上单调递增，则，即.

设，有.

所以在上单调递减，则，即

综上可得：.