2023届陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高三下学期三模数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高三下学期三模数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高三下学期三模数学（理）试题 一、单选题1．是虚数单位，若复数，则的共轭复数（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数定义可得结果.【详解】，.故选：A.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】逐一验证集合中的元素是否也属于集合即可.【详解】因为集合，可得时，；时，；时，；时，；时，；综上，集合的公共元素为1,3,5，所以，故选：C.3．若、是非零向量，且，，则函数是A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数【答案】A【详解】∵ ，∴.∴∴f(x)为一次函数,且是奇函数.故选A.4．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.【详解】设“甲、乙在同一组”为事件，教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，而甲、乙在同一组的分法有，故，故选：A.5．已知等比数列满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等比数列的公比为，由可得，再由可得，从而利用可求.【详解】设等比数列的公比为， 若，则，所以，又由，即，则，故 .故选：C6．若二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（    ）A．10 B．15 C．25 D．30【答案】B【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.【详解】令，则所有的项的系数和为，由于，所以，展开式的通项为，故当时，即，此时展开式中的常数项为,故选：B7．设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则．下列命题中为真命题的是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在性定理判断命题p真假，由恒成立求出a的取值范围判断q,再由复合命题的真值表判断即可求解.【详解】令，则在为连续函数，且，，故在上存在零点，故方程在上有解，故命题p为真命题，对任意恒成立，则，解得，故命题q为假命题，所以为真命题，，，为假命题．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为，圆台的下底面半径为，所以该几何体的体积．故选：C． 9．已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且当时，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式，再得到的解析式，并求得在上的最小值，进而构造关于的不等式，解之即可求得的取值范围.【详解】又图象的相邻两对称轴间的距离为，则的周期为，则，则将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则当时，，当时，不等式恒成立，则恒成立，解之得故选：B10．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，所以，故；同理，，故.因为，故.故最低费用为.故选B. 11．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用求得点的坐标，代入抛物线的方程求得p的值，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.【详解】抛物线焦点，则直线的方程可设为，设点关于直线对称点，则，解之得则，又点在抛物线上，则，整理得，解之得或（舍），则物线的焦点到准线的距离为6.故选：D12．已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由恒成立，可得.注意到，则的零点为.函数零点为.后分四种情况讨论即可.【详解】因恒成立，则，则，又，则的零点为，1.又函数零点为.①当时，在上无零点，在上有零点，则符合题意；②当时，在上有零点，在上有零点，则不合题意；③当时，在上有零点，在上无零点，则符合题意；④当时，在上有零点，1，在上无零点，则不合题意.综上：.故选：C 二、填空题13．设向量，且,则_________．【答案】【分析】根据向量模长的坐标公式即可代入求解.【详解】由得，根据得，解得 ，故答案为：14．写出一个离心率与双曲线的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______．【答案】（答案不唯一）【分析】求出双曲线的离心率，进而求出椭圆的离心率，写出符合要求的椭圆方程.【详解】双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，所以椭圆的标准方程可以为．故答案为：15．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____．【答案】【分析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.【详解】正方形的面积为，如下图所示：阴影部分的面积为: ，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.16．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．【答案】/【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，的最小值即为的最小值减去半径．因为，，设，，由于恒成立，所以函数在上递减，在上递增，即，所以，即的最小值为．故答案为：． 三、解答题17．已知的三个内角的对边分别为，内角成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知内角成等差数列求得，可得，利用通项公式即可得出结果；（2）由（1）可得，利用错位相减法可求前项和．【详解】解：（1）成等差数列又．．∴数列首项为，公比为的等比数列．（2）整理得故18．如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，.(1)求证：平面平面ABC；(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先利用直径所对圆周角为直角和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量法进行求解.【详解】（1）证明：由题意知，则，所以.又，所以，所以，又，所以平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解：以C为坐标原点，CA，CB在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面AEF的法向量为，则则，取，得.设直线AB与平面AEF所成的角为，则，所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为.19．某大型企业生产的产品细分为个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀，检测到级到6级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:等级12345678910频数10901001501502001001005050(1)从这件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品，设这件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）先求得样本优良的频率，进而得到这件产品产品评分为优良的概率；（2）先求得的每个取值对应的概率，进而得到的分布列及期望.【详解】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件：产品的评分为良好.根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得，   .因为互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为.（2）由(1)知，评分为优秀的概率为，由题意得，则当时，；当时，； 当时， ；当时，；当时，.所以的分布列为01234数学期望.20． 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.(1)求双曲线的标准方程;(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由通径长、离心率列方程组求得得双曲线方程；（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围各结论．【详解】（1）由题可知，，解得，所以双曲线的标准方程为；（2）由题可知，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，联立消去，得，所以，解得，且，所以    .联立可得，同理可得，所以，所以，其中，则，所以.【点睛】方法点睛：直线与双曲线相交弦长问题，一般由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，再由弦长公式得弦长，不需要求得两交点的具体坐标．21．已知函数(1)求f（x）的单调区间；(2)若当x> -1时f（x）≤ax2 ，求实数a的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）(2) 【分析】(1)求导，根据导函数的符号即可判断；(2)构造函数 ，对a分类讨论，求的最大值即可.【详解】（1） ，     令，得，当 时，，当时， ，所以的单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）；（2）令 ，由条件知， ，设 ，当 时， ， 有2个零点；∴当，由韦达定理知 有一正一负两个零点，不妨设 ，则当时，，，所以h（x）在（0，x2）上单调递增，所以当时，，不符合条件，若，因为x> -1，所以，则当时，，当时，，所以在（ -1，0）上单调递增，在（0， +∞）上单调递减，. 所以，符合条件，综上可得，的单调递增区间为（ -1 ，0） ，单调递减区间为（0， +∞）；实数a的取值范围是.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程是.(1)求曲线的直角坐标方程与参数方程;(2)设点为直线上个不同的动点，且，点为曲线上的任意一点，求面积的取值范围.【答案】(1)，为参数(2) 【分析】（1）根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出其参数方程；（2）将直线的参数方程化为普通方程，再的坐标为，求出到直线的距离的取值范围，即可得解.【详解】（1）曲线的极坐标方程是，整理得，由，可得曲线的直角坐标方程为，化参数方程为为参数.（2）将直线的参数方程(为参数化为普通方程为，设的坐标为，所以到直线的距离为.因为，所以，所以面积为.23．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以.[方法二]：基本不等式由，，， ，当且仅当时，取等号，所以.（2）证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．