2023届海南省琼海市高三模拟考试数学试题含解析

这是一份2023届海南省琼海市高三模拟考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届海南省琼海市高三模拟考试数学试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的乘法规则求解.【详解】；故选：C.2．已知集合，，若，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.【详解】由，得，易知集合非空，则，解得．故选：B.3．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】.故选：B.4．如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方体的侧面展开图找出相对面，再由其特征得到结果.【详解】由图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心形”和“星星”相对．由图②可得，小正方体从如图②所示的位置翻到第6格时正面朝上的图案是．故选：C.5．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（    ）A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元【答案】C【分析】利用等差数列前n项和公式即可求得小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额．【详解】设小方第天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为元．故选：C6．如图，已知，，分别以为直径作半圆弧，D是半圆弧的中点，E为半圆弧上靠近点C的三等分点，则向量在向量上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由投影向量的定义求解即可.【详解】依题意可得，所以向量在向量上的投影向量为：故选：C.7．当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.【详解】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．故选：A.8．已知分别是双曲线的左､右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意画出图形，利用双曲线定义求出，再利用三角形相似，即可求解.【详解】如图，由题可知，又因为，所以，因为直线的斜率为，所以，设为的中点，连接，易知，所以，则，解得，所以双曲线的离心率为．故选：A. 二、多选题9．已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据题意通过赋值逐项分析判断.【详解】对于A：令，可得，故A错误；对于B：令，可得，故B正确；对于C：令，可得，结合选项B，两式作差，可得，即，故C正确；对于D：令，可得，故D正确.故选：BCD.10．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（    ）．A． B．直线是图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．是奇函数【答案】ACD【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.【详解】因为点在的图象上，所以．又，所以．因为图象的一个对称中心是，所以，则．又，所以，则，A正确．，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确．当时，，单调递减，C正确．，是奇函数，D正确．故选：ACD.11．若与y轴相切的圆C与直线也相切，且圆C经过点，则圆C的直径可能为（    ）A．2 B． C． D．【答案】AB【分析】由分析知，圆C的圆心在两切线所成角的角平分线上，设圆心，即可表示出圆C的方程，又因为圆C经过点，代入解得即可得出答案.【详解】因为直线的倾斜角为30°，所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线上.设圆心，则圆C的方程为，将点的坐标代入，得，解得或.故圆C的直径为2或.故选：AB.12．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在区间上有两个不同的平均值点，则m的取值不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有两个不同的交点，求导，利用导数判断单调性，结合图象分析判断.【详解】因为函数在区间上有两个不同的平均值点，则有两个不同的根，整理得，构建，则原题意等价于与有两个不同的交点，因为，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，且，所以，因为，所以m的取值不可能是.故选：AD. 三、填空题13．在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数（单位：万）如下表所示，则该组数据中的分位数为___________万.名称青岛济南泰安烟台临沂日照聊城威海济宁德州淄博滨州东营潍坊枣庄菏泽人口数/万10079205477101102297595291836561470393219939386880 【答案】880【分析】将16个城市的人口数从小到大排序，根据百分位数的计算方法，即可求解.【详解】由题意，将16个城市的人口数从小到大排序：219，291，297，386，393，470，547，561，595，710，836，880，920，939，1007，1102，因为，所以该组数据的分位数是第12个数，即为880，所以该组数据的分位数为.故答案为：.14．已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则的面积为_________．【答案】【分析】根据抛物线焦半径的求解可得，进而得，由面积公式即可求解.【详解】设，由，可得，所以，则，即，所以的面积为．故答案为：15．定义在R上的奇函数满足R，，且当时，，则_________．【答案】1012【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.【详解】因为是奇函数，且，所以，故是周期为4的周期函数．所以，令,可得，所以，因为函数为奇函数且周期为4，所以，则，则．故答案为:1012.16．在四面体中，，，向量与的夹角为，若，则该四面体外接球的表面积为_____________．【答案】【分析】利用条件，将四面体补成直三棱柱，再利用条件和球的截面圆的性质即可求出外接球的半径，从而求出结果.【详解】如图，过点作且，连，因为，所以，又，，平面，所以平面，将四面体补成如图所示的直三棱柱，则四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，因为向量与的夹角为，所以，又，所以三角形是等边三角形，设直三棱柱上下底面中心分别为，连接，则由球的截面圆的性质知，球心为的中点，设外接球的半径为，易知，，所以，所以该四面体外接球的表面积为．故答案为：. 四、解答题17．已知数列 满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和 .【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比即可求解；（2）由等比数列的求和公式以及裂项求和即可.【详解】（1）由，当时，，得，因为，所以是首项为4，公比也为4的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以18．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点．(1)证明：；(2)若二面角的余弦值为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证；（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出，利用空间向量的性质表示出二面角的余弦值，求得即可.【详解】（1）证明：过点A作，垂足为N，在等腰梯形中，因为，所以．在中，，则，则．因为底面，底面，所以．因为，所以平面．又平面，以．（2）解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，，则，则．设平面的法向量为，则令，得．由图可知，是平面的一个法向量．因为二面角的余弦值为，所以，解得．故当二面角的余弦值为时，．19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列.(1)若，求的面积.(2)是否存在正整数b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由结合正弦定理可得到，结合等差数列可求出a，b，c的值，然后用余弦定理求出，继而求出，即可求得面积；（2）先假设存在，由题意可得是钝角三角形，而通过可得，再结合两边之和大于第三边即求出，即可求解【详解】（1），由正弦定理得，a，b，c是公差为2的等差数列，，，，，，，，，且，，故的面积为.（2）假设存在正整数b，使得的外心在的外部，则为钝角三角形，依题意可知，则C为钝角，则，所以，解得，，，，存在正整数b，使得的外心在的外部，此时整数b的取值集合为.20．某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析； 【分析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得答案.（2）确定随机变量X的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.【详解】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了或或或.；；；，所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，故甲能进入“挑战答题”活动的概率.（2）随机变量X的所有可能取值为，；；；.所以X的分布列如下表所示：X2345P所以.21．已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由以及即可求解的值，（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解.【详解】（1）由，可得，解得，又因为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，，，所以椭圆的标准方程为．（2）证明：当与轴重合时，，所以当不与轴重合时，设，直线的方程为，由整理得，则，故圆心到直线的距离为，则，所以，即为定值．22．已知函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案；（2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案.【详解】（1），因为，所以，则，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）当时，恒成立，即恒成立，证明过程如下．今，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．当时，，所以，即在上单调递增，又因为，所以，即在上单调递增，所以成立．一般情况下探求：当时，，即，令，①当时，，所以．②当时，，令，则，可知在上单调递增．又因为，所以存在，使得，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以只需满足即可.