2023届四川省南充市高三三模数学（理）试题含解析

2023届四川省南充市高三三模数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面内，若复数对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义和复数的乘法运算即可求解.

【详解】因为复数对应的点为，则，

所以，

故选：D.

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】因为集合的代表元素都是，所以分别解关于的不等式可得集合，进而求出.

【详解】由得，由得，即，

所以，

所以.

故选：C.

3．“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】解出的取值范围即可得出结论.

【详解】由题意，

在中，解得：，

∴“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

4．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，由条件得出，求出的值，再根据诱导公式即可得出答案．

【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，

由直线得出斜率，

因为直线与直线垂直，

所以，即，解得，即，

所以，

故选：B．

5．在中，角的对边分别是，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由余弦定理即可求解.

【详解】由得，所以，

由于,

故选：A

6．若数列对任意的均有恒成立，则称数列为“数列”，下列数列是“数列”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据各选项的通项公式，直接验证是否恒成立即得．

【详解】若，

则，

即，不满足条件，不是“数列”；

若，

则，

即，不满足条件，不是“数列”；

若，则，

即，满足条件，是“数列”；

若，

则，

当时，，不满足条件，不是“数列”．

故选：C．

7．已知点是函数的一个对称中心，则为了得到函数的图像，可以将图像（    ）

A．向右平移个单位，再向上移动1个单位

B．向左平移个单位，再向上移动1个单位

C．向右平移个单位，再向下移动1个单位

D．向右平移个单位，再向下移动1个单位

【答案】A

【分析】利用点是函数的一个对称中心，求出，在分析图像平移即可.

【详解】因为点是函数的一个对称中心，

所以，

所以，

又，所以，

所以

所以要得到函数的图像则只需将图像：

向右平移个单位，再向上移动1个单位，

故选：A.

8．已知奇函数是上的增函数，，若，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性和奇偶性求出函数的单调性和奇偶性，进而判断即可求解.

【详解】因为奇函数是上的增函数，

所以，且.

又因为，所以当时，，

当时，，因为，

所以是上偶函数，

当时，因为，所以函数在上单调递增，

根据函数的奇偶性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

又因为，所以，

则，所以，

故选：D.

9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应t时），则下列说法中不正确的是（    ）

A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效

B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值

C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒

D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

【答案】C

【分析】根据所给图象及最低有效浓度、最低中毒浓度，逐项判断即可得解.

【详解】由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗效，故A正确；

由图象可知，首次服药1小时药物浓度达到峰值，故B正确；

首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，经过1小时后，血药浓度超过，会发生药物中毒，故C错误；

服用该药物5.5小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效浓度且不超过最低中毒浓度，药物持续发挥治疗作用，故D正确.

故选：C

10．我们知道：反比例函数的图象是双曲线，它关于直线对称，以轴，轴为渐近线．实际上，将的图象绕原点顺时针或逆时针旋转一个适当的角，就可以得到双曲线或．则关于曲线，下列说法正确的是（    ）

A．曲线上的任意点到两点，的距离之差为

B．该曲线可由绕原点顺时针旋转后得到

C．在曲线上任意一点处的切线与轴，轴围成的三角形的面积为8

D．该曲线的实轴长和虚轴长均为4

【答案】C

【分析】联立直线与函数求得交点坐标，结合双曲线的几何性质，可判定A、D错误；根据题设定义，结合旋转方向，得到得到反比例函数，可判定B错误，利用导数的几何意义求得切线方程，得出三角形的面积，可判定C正确.

【详解】对于A中，如图所示，不妨设曲线按顺时针旋转，可得，

此时双曲线为等轴双曲线，即，

联立方程组，解得，可得，

即，可得，，

所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，

根据双曲线的定义得到，所以A、D都不正确；

对于B中，由双曲线绕原点顺时针旋转后得到反比例函数，所以B不正确；

对于C中，设曲线上的任意一点，

由，可得，即切线的斜率为，

所以切线方程为，

令，可得，令，可得，

所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为，所以C正确.

故选：C.

11．已知中，，，为斜边上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，记，当最短时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得线线垂直，由锐角三角函数以及余弦定理分别表示的长度，进而由勾股定理，结合三角函数的形状即可求解最值.

【详解】如图2，过点作于点，连接，

由于平面平面，且两平面的交线为,平面，

所以平面，平面，故，

所以，

由于在直角三角形中，，

所以，

在中，由余弦定理得，

所以

，

故当时，最小，此时（由于），故.

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查了空间中垂直关系的转化：面面垂直-线面垂直-线线垂直.灵活利用垂直关系得新的垂直关系是解题的关键.在平面图形翻折形成立体几何体的过程中，要明确改变的量和不发生变化的量，注意把平面图形与立体图形结合起来找到解题的突破口.线段的长度的求解，多需要借助于直角三角形的勾股定理，必要时也可利用向量的模长求解.

12．已知函数，，，使（为常数）成立，则常数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】存在性问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值即可得解.

【详解】在上为增函数，

由知，，

令，则，

当时，，

即在上单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

不妨设，则，，

可化为，

即，

令，

则，

， 使能成立，

在上能成立，

即在上能成立，

，，

令，，

则，令，

则，当时，，

故在上单调递增，所以，

故，在上单调递增，

，

.

故选：D

【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在，使能成立是其一，其二需要构造函数后分离参数转化为在上能成立，再次构造函数，多次利用导数求其最大值.

二、填空题

13．展开式中的常数项为______（用数字作答）．

【答案】60

【分析】根据二项式展开式的通项公式可求得结果.

【详解】，

令，得，故展开式中的常数项为．

故答案为：60.

14．一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递___________万件.

【答案】1400

【分析】由两个条形图计算三年收发快递的总数，再计算平均数.

【详解】由图可知，三年共收发快递万件，

所以这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递万件.

故答案为：1400.

15．设抛物线的焦点为，若圆与抛物线有4个不同的交点，记轴上方的两个交点为.则的值是___________.

【答案】

【分析】联立圆的方程和抛物线方程，得，进而根据向量的模长公式即可代入求解.

【详解】由题意可知，联立或，

不妨,

所以

故答案为：

16．已知函数，有以下说法：

①的值域为；

②是周期函数；

③在上单调递增，在单调递减；

④对任意的，方程在区间上有无穷多个解．

其中所有正确的序号为________________．

【答案】①③④

【分析】设，则，于是问题转化成的函数的性质的研究问题，①③④可以借助正弦函数的性质说明，②可以通过反证法说明其错误.

【详解】对于①，设，由正弦函数的性质可知，的值域为，故①正确；

对于②，假设的周期为，于是，显然处有定义，故，但在处无定义，于是没有周期，故②错误；

对于③，设，由于，故，单调递减，，关于在上递减，由复合函数的单调性知关于在上递增，同理，，故，单调递减， ，关于在上递增，由复合函数的单调性知，关于在上递减，故③正确；

对于④，设，由得，则，由①，，根据正弦函数的性质，，在有无数多个解，也就是无数多个满足该方程，即有无数多个可以使得成立，故④正确.

故答案为：①③④

三、解答题

17．已知数列的前项和为.

(1)求的通项公式；

(2)设数列满足：，记的前项和为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系及等比数列通项公式求解；

（2）求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用分组求和法求解.

【详解】（1）①

当时，②

①－②得：即

，数列是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）.

所以的前项和.

18．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关．

(1)求收入的附加额与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）；

(2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望．

参考数据：，，．

附：在线性回归方程中，，．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据所给数据，利用参考公式计算，即可得出线性回归方程；

（2）根据超几何分布计算对应随机变量的概率，列出分布列、计算期望即可.

【详解】（1）由，，

得：，

由得，

所以年收入的附加额与投资额的线性回归方程为.

（2）8个投资额中，收入附加额大于投资额的企业个数为5，

故的所有可能取值为0，1，2，3，    

，，，，

则的分布列为：

故.

19．如图所示，已知，是圆锥底面的两条直径，为劣弧的中点，，．

(1)证明：；

(2)若为线段上的一点，且平面，求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接并延长交于，由线面垂直的判定定理可证平面，再由线面垂直的性质即可得证.

（2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可.

【详解】（1）连接并延长交于，如图，

为劣弧的中点．

是的角平分线，

平分，

，

，    

又在圆锥中，平面，平面，

，

、平面，且，

平面，

又平面，

故.

（2）以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，以过点且垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．

故，，，，，

，，，，

设，故，

，

设平面法向量为，

由得，

令得，所以，    

平面，

，即，解得，

，

又，

，    

设与平面所成角为，

.

即与平面所成角的正弦值为．

20．在平面直角坐标系中，动点到的距离之和为4.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)已知点，若点是曲线上异于顶点的两个不同的点，且，记的面积为，问是否定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，定值为1

【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，

（2）联立直线与椭圆的方程，求解的坐标，进而由弦长公式或者利用向量夹角求解面积，代入化简即可.

【详解】（1）由题意易知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且

动点的轨迹的方程为：.

（2）显然直线的斜率存在，设的方程为：

联立得：，

设，则得：，

，

由可设的方程为,，

联立得：，

，，

，

法1：

,故为定值1，

法2：的方程为：，即，

到的距离为，

，后同解法1.

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值或者定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由韦达定理得到的等量化简求解，解题中注意弦长公式以及点到线的距离，点到点的距离公式求解.

21．已知函数，．

(1)当时，求函数在上的极值；

(2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．

【答案】(1)极大值：，极小值：1

(2)答案见解析

【分析】（1）求出导函数零点，列表即可得出极值；

（2）由知，，分，，讨论零点，研究时的零点，时转化为研究零点即可.

【详解】（1）当时，，，

由，得或，则和随的变化如下表所示：

在上有2个极大值：，   

在上有1个极小值：.

（2）由，知.

（i）当时，，

，故在上无零点．    

（ii）当时，，．

故当时，即时，，是的零点；

当时，即时，，不是的零点.

（iii）当时，．

故在的零点就是在的零点，

，．

①当时，，故时，，在是减函数，

结合，可知，在有一个零点，

故在上有1个零点.

②当时，，故时，，在是增函数，

结合可知，在无零点，

故在上无零点．

③当时，，使得时，，在是增函数；

时，，在是减函数；

由知，．

当，即时，在上无零点，

故在上无零点．

当，即时，在上有1个零点，

故在上有1个零点.

综上所述，时，有2个零点；

时，有1个零点；

时，无零点.

【点睛】关键点点睛：首先要理解，将问题转化为，其次对按照与的大小分类讨论，当讨论到时，再转化为讨论的零点问题也就是的零点问题.

22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴，取同样的单位长度建立平面直角坐标系xoy，已知曲线的普通方程为.

(1)写出曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；

(2)设点，且曲线与曲线交于点两点，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化即可求解；

（2）设出曲线的参数方程，与曲线的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义即可求解.

【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为可化为，

即，将代入可得，

的直角坐标方程为.

又因为曲线的普通方程为可化为，

将代入可得，的极坐标方程，

所以曲线的直角坐标方程为，

曲线的极坐标方程.

（2）直线的参数方程为（为参数），

将（为参数）代入得：.

显然，设点在直线上对应的参数分别为，

则，

与的夹角为，

.

23．设函数，若关于的方程仅有两个不同的正实数根，.

(1)求的取值范围；

(2)求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出的图象，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题即可求解；

（2）利用柯西不等式求解即可.

【详解】（1）由

得函数图像如图所示，

∵，

∴，

（2）由图像可知：其图像关于对称，故

∴，

∴，当且仅当，即时等号成立.

∴的最大值为.