2023届辽宁省沈阳市第二中学高三第五次模拟考试数学试题含解析

2023届辽宁省沈阳市第二中学高三第五次模拟考试数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别化简集合，利用交集定义求解即可．

【详解】集合

集合，

则，

故选：D

2．已知复数（其中为虚数单位），则的共轭复数虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的概念，共轭复数的定义与运算法则即可求解.

【详解】依题意，

因为，

所以，其虚部为．

故选：D.

3．某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（    ）

A．220 B．240 C．250 D．300

【答案】B

【分析】因为第80百分位数是103分，所以小于103分的学生占总数最多为，即成绩不小于103分的人数至少为总数的.

【详解】由人，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有人.

故选：B

4．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算．

【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为，

则，

所以．

故选：D．

5．设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.

【详解】∵在上的投影向量为，

，

，又是两个单位向量，即，

.

故选：.

6．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）．

由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据“牟合方盖”产生的过程，将图中正方体的前面的面旋转至上面，易得椭圆的长轴长为，短轴长为求解，利用离心率公式计算.

【详解】由“牟合方盖”产生的过程可知，将图中正方体的前面的面旋转至上面，

可得图中标出的各点，，，，在原正方体中相对对应的位置为如图所示．

故图中的曲线所对应的椭圆的长轴长，短轴长，

于是可得此椭圆的半焦距，因此离心率．

故选：A

7．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若、是关于x的方程在内的两根，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】逆用二倍角公式及辅助角公式化简，根据图象平移变换求得解析式，运用整体思想研究在区间上的对称性及二倍角公式计算即可.

【详解】因为，其中θ为锐角，且，，

又因为将函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，

所以，

当时，，

所以，

所以，

所以．

故选：D.

8．已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，圆M的方程为，又圆，两式相减得直线的方程，设直线上的点为，则，又，以为主元，由题意二者有公共点，从而求得，然后逐项验证即可.

【详解】设，则，

所以，圆M的方程为，又圆，

两式相减，得，即为直线的方程，

设直线上的点为，则，整理得，

又M是圆上的动点，则，

以为主元，则表示直线，表示以为圆心，2为半径的圆，

由题意，二者有公共点，则到直线的距离，

即，得，

对于A，，

对于B，，

对于C，，

对于D，，

则各选项的点中，直线一定不经过.

故选：C.

二、多选题

9．已知双曲线，则不因的变化而变化的是（    ）

A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率

【答案】BD

【分析】将双曲线方程整理为标准方程，写出顶点坐标，渐近线方程，焦距和离心率，，判断是否因改变而变化，即可得解.

【详解】整理双曲线方程可得，

所以，， ，

所以顶点坐标为或，A错误；

渐近线方程为，B正确；

该双曲线焦距为：，C错误；

离心率为：，D正确；

不因改变而变化的是离心率与渐近线方程.

故选：BD.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，样本方差没有变化

B．在线性回归分析中，成对数据构成的点都在回归直线上的充要条件是相关系数r=1

C．在线性回归分析中，回归直线就是使所有数据的残差平方和最小的直线

D．在线性回归分析中，用最小二乘法求得的回归直线使所有数据的残差和为零

【答案】ACD

【分析】根据相关系数、残差平方和、残差和，以及方差性质直接判断可得.

【详解】由方差性质知，若将一组样本数据中的每个数据都减去同一个常数，数据的离散程度不变，则样本的方差不变，A正确.

线性回归分析中，成对数据构成的点都在回归直线上的充要条件是相关系数,B错误;

在线性回归分析中，回归直线就是使所有数据的残差平方和最小的直线,C正确;

在线性回归分析中，残差和为,

用最小二乘法求得的回归直线使所有数据的残差和为零,D正确.

故选:ACD.

11．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（    ）

A．圆台母线与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为

C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5

【答案】ACD

【分析】对于A：过A作交底面于F，判断出即为母线与底面所成角.即可求解；

对于B：作出圆台的侧面展开图，直接求出面积，即可判断；

对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由，求出；

对于D：圆台的侧面上，判断出从到的最短路径的长度为CE，利用勾股定理求解.

【详解】对于A：过A作交底面于F，则底面，所以即为母线与底面所成角.

在等腰梯形ABCD中，,所以.

因为为锐角，所以.故A正确；

对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，其面积为.故B错误；

对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由题意可得：.

设，则，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正确；

对于D：如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确.

故选：ACD

【点睛】立体几何中的折叠、展开问题：要把握折叠（展开）过程中的不变量.

12．已知函数，若直线与曲线和分别相交于点，且，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用导数研究f(x)和g(x)的单调性，画出图象，数形结合得出范围，利用和f(x)的单调性即可判断．

【详解】f(x)的定义域为R，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

时，；；时，；

的定义域为，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

时，；；时，；

作出f(x)和g(x)图象，

易知，，且，

∵，∴，

∵，f(x)在单调，

∴，同理，

∴，，

又，

∴，故A正确，B错误；

又，故D正确，C错误．

故选：AD．

【点睛】关键点点睛：利用导数研究f(x)和g(x)的性质，并作出其图象，数形结合，利用即可得到答案.

三、填空题

13．已知，，则______．

【答案】/

【分析】根据指对数互化可得，结合求参数值即可.

【详解】由题设，则且，

所以，即，故.

故答案为：

14．已知随机变量，若，则的最小值为__________.

【答案】/

【分析】根据正态分布的性质可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【详解】解：因为随机变量，且，

所以，

所以，

当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.

故答案为：.

15．求值：________.

【答案】

【分析】根据三角函数的基本关系式、倍角公式和两角和与差的正弦公式，准确运算，即可求解.

【详解】原式

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，倍角公式和两角差的正弦函数的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

16．已知表示不超过x的最大整数，记，则方程的整数解个数为__________．

【答案】24

【分析】根据的定义可得为整数，从而可求原方程整数解的个数.

【详解】根据题意，有，

因此x是的约数，个数为．

故答案为：24.

四、解答题

17．已知数列满足，.

（1）证明：为常数；

（2）设数列的前项和为，求.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）由，可得，两式相除即可得结果；（2）由（1）知数列是2为首项，2为公比的等比数列，数列是1为首项，2为公比的等比数列；利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得结果.

【详解】（1）因为，①

所以.②

②除以①式，得

，

所以为常数2.

（2）因为，，

所以，即.

由（1）知数列是2为首项，2为公比的等比数列；

数列是1为首项，2为公比的等比数列；

所以.

【点睛】本题主要考查数列的递推公式以及等比数列的求和公式，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比或首项不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.

18．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且，，米，如图所示：

(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；

(2)若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段上的点处截住足球，求此时线段的长．

【答案】(1)米

(2)7米

【分析】（1）直接由正弦定理即可得结果；

（2）设米，由题意米，利用余弦定求解即可.

【详解】（1）在中，由正弦定理得，

即，米.

故1号机器人和2号机器人之间的距离为米.

（2）如图，

设米．由题意，米．米.

在中，由余弦定理得，

整理得．解得，．

所以米，或米（不合题意，舍去）

所以线段的长为7米．

19．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC．

(1)证明：；

(2)若E为的中点，直线与平面所成的角为45°，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取AC的中点D，连接BD，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明平面ABC即可推理作答.

（2）由给定的线面角求出，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面的正弦作答.

【详解】（1）如图，在三棱柱中，取AC的中点D，连接BD，

因为是等边三角形，则，又平面ABC，

平面平面ABC，平面平面，则平面，

而平面，于是，又，，平面ABC，因此平面ABC，

又平面ABC，则，于是，

所以.

（2）取AB的中点F，连接CF．由（1）得平面ABC，

又，所以是直线与平面ABC所成的角，即，，

由（1）知，CF，AB两两互相垂直，以C为坐标原点，直线CF为x轴，

过点C且平行于AB的直线为y轴，直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

于是，，，

设平面的法向量为，则，即，令，得，

设直线与平面所成的角为，则，

即直线与平面所成的角的正弦值为.

20．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；

(2)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；

(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．

【答案】(1)，；

(2)分布列见解析，1.9；

(3)证明见解析.

【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明，由此证明.

【详解】（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，

事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，

因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，

乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，

所以，．

（2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，

乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，

记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，

所以，，

所以X的分布列为：

所以X的数学期望．

（3）由题知，

即，即，

即，

即，即，

即．

21．如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹.已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处时，.设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，以为单位长度，建立平面直角坐标系.

(1)求的方程；

(2)过点且斜率为的直线与交于两点，的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出.的取值范围，若不存在，说明理由.

【答案】(1)，

(2)存在，使得成立.

【分析】（1）根据给定条件，求得笔尖留下的轨迹，再结合抛物线的定义求出方程作答.

（2）求出直线的方程，并与曲线C的方程联立，利用韦达定理及共线向量建立函数关系即可求解作答.

【详解】（1）依题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，

因此笔尖留下的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，

设其方程为，

则，由，

得，

又，

所以 ，所以点到直线的距离为，

由得点的横坐标，

而抛物线的准线方程为，

则，解得，

所以轨迹的方程为.

（2）假设存在，使得，

设，

直线的方程为，

由消去y得：，

而，

，

，

，

由得，即，

于是，

令，，

因此，又，即，

解得或，

所以存在，使得成立.

【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.

22．已知曲线在点处的切线为，设，，2，…，，且.

(1)设是方程的一个实根，证明：为曲线和的公切线；

(2)当时，对任意的且，恒成立，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线为，再求出曲线的斜率为的切线方程，最后证明两切线重合；

（2）先将不等式转化为当时，恒成立，再根据函数在上的单调性，求出函数在上最小值，从而得到，然后再求对任意的且时的最小值即可.

【详解】（1）根据题意，切线的方程为，即.

设曲线在点处的切线斜率为，

则，，，即切点为，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

因为为方程的一个实根，所以，

所以，

所以这两条切线重合，即为曲线和的公切线.

（2）因为，，2，…，，且，

所以对，恒成立，

即对，恒成立，

所以对，恒成立.

因为在上单调递减，

所以在上单调递减，

所以当时，函数取最小值，

且，

即对任意且，恒成立，

显然当时，，所以，即，

所以的最小值为.