2023届辽宁省丹东市高三下学期总复习质量测试（二）数学试题含答案

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丹东市2023届高三总复习质量测试（二）

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．本试卷共22题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量，，则（    ）

A．-5 B．-3 C．3 D．5

2．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

3．直线x+ay-3=0与直线（a+1）x+2y-6=0平行，则a=（    ）

A．-2 B．1 C．-2或1 D．-1或2

4．古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”．在右图所示的平面直角坐标系xOy中，点A匀速离开坐标系原点O，同时又以固定的角速度绕坐标系原点O逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线与坐标轴交点依次为A1（-1，0），A2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），…按此规律继续，若四边形的面积为220，则n=（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

5．△ABC中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．设函数满足，当0≤x<1时，，则（    ）

A．-2 B． C． D．2

7．若，则（    ）

A． B． C． D．

8．设函数由关系式确定，函数，则（    ）

A．g（x）为增函数  B．g（x）为奇函数

C．g（x）值域为  D．函数没有正零点

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．在复平面内，O为坐标原点，A为z=1+i对应的点，则（    ）

A．z的虚部为i B． C． D．

10．如图，玻璃制成的长方体容器内部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平地面上，将容器以BC为轴进行旋转，水面形成四边形EFGH，忽略容器壁厚，则（    ）

A．始终与水面EFGH平行

B．四边形EFGH面积不变

C．有水部分组成的几何体不可能是三棱柱

D．AE+BF为定值

11．设，为抛物线C：x2=4y上两点，F为C的焦点，直线MN经过点D（0，6），则（    ）

A．若|MF|=3，则|NF|=19  B．C在点M处的切线经过点

C．∠MFN为钝角  D．若，则

12．已知函数f（x）=x3-6x2+9x+1，则（    ）

A． B．

C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若集合A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则A∩B真子集的个数为_________．

14．如图，电商平台售卖的木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，该四棱台侧棱与底面成角的余弦值为_______________．

15．等比数列{an}前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a3<0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则____________．

16．对20进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，得到的结果再进行“乘以2”或“减去3”的一种运算，…，一直进行这样运算，每进行一种运算记作一次运算，已知运算n次后，得到结果为49，则n的最小值为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=5，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：Sn≤20．

18．（12分）已知函数，．

（1）若π为f（x）的最小正周期，用“五点法”画f（x）在内的图象简图；

（2）若f（x）在上单调递减，求．

19．（12分）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点．

（1）证明：CD⊥AE；

（2）点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．

20．（12分）已知为函数的极值点．

（1）求a；

（2）证明：当时，．

21．（12分）某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲乙两地一些小白鼠体内，小白鼠血样某项指标X值满足12.2≤X≤21.8时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层抽样的方法抽取了210只进行X值检测，其中甲地120只小白鼠的X值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X值平均数与方差分别为，（与均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设．

（1）求，；

（2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作为N的估计值）；

（3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组n（n≤50）只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n只小白鼠混合血样的检测费用为n+9元．试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）．

附：若，则，．

参考数据：，，，．

22．（12分）已知椭圆的离心率为，C上点M到C外点的距离最小值为2．

（1）求C的方程；

（2）设A，B为C的左右顶点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线M1P相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记△AMN和△BMN的面积分别为S1，S2，求的最大值．

丹东市2023届高三总复习质量测试（二）

数学小题详解

1．答案：B．

2．答案：C．

3．答案：A．

4．答案：C．

5．答案：D．

6．答案：A．

7．答案：D．

8．答案：D．

9．答案：BC．

10．答案：AC．

11．答案：ABD．

12．答案：BCD．

13．答案：7．．

14．答案：．

15．答案：．

16．答案：16，

17．解：（1）当n≥2时，由得，两式相减得an+1-an=-1．

由a1=5，得a2=S1=5，从而{an+1}是以5为首项，-1为公差的等差数列．

故an+1=a2+（n-1）（-1）=6-n．

因为7-1=6≠a1，所以

（2）由题设及（1）可知．

当n=6和n=7时，Sn取最大值20，于是Sn≤20．
18．解：（1），由，得．

列表如下：

描点连线，得f（x）在[0，π）内的图象简图：

（2）解法1：

由f（x）在上是减函数知，因为，所以．

因为，，所以．

由得，，由题意只能，从而．

解法2：因为，，所以．

由题设知，，从而

解得．因为，所以

故，因为，所以k=0，于是．
19．解法1：（1）因为平面CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，所以AD⊥平面CDD1C1，∠D1DC是二面角D1-AD-C的平面角，故∠D1DC=120º．

连结DE，则DE⊥C1D1，从而DE⊥CD．又AD⊥CD，DE∩AD=D，所以CD⊥平面AED，因此CD⊥AE．
（2）设AB=2，则，所以．

连结AC交BD于点O，连结CE交交DF于点G，连结OG．因为平面BDF，所以，因为O为AC中点，所以G为CE中点，故．且直线OG与DF所成角等于直线AE与DF所成角．

在Rt△EDC中，，因为，所以．

因此直线AE与DF所成角的余弦值为．

解法2：（1）同解法1．

（2）设AB=2，则，所以．

取DC中点为G，连结EG交交DF于点H，则EG=DD1=2．

连结AG交BD于点I，连结HI，因为平面BDF，所以．

直线HI与DH所成角等于直线AE与DF所成角．

正方形ABCD中，，，所以，故．

在△DHG中，，GD=1，∠EGD=60º，

由余弦定理．在△DHI中，．

因此直线AE与DF所成角的余弦值为．

解法3：（1）同解法1．
（2）由（1）知BE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，为x轴正方向，为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．

由（1）知，得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，．

则，，，．

由，得．

因为平面BDF，所以存在唯一的，，使得，解得，从而．

所以直线AE与DF所成角的余弦值为．

20．解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），，由得a=2．

若a=2，当时，，f（x）单调递增；当时，，f（x）单调递减．

因此a=2．
（2）设，则．

因为，，所以存在唯一，使，

且当0<x<x0时，，g（x）单调递减；当时，，f（x）单调递增，当时，，g（x）单调递减．

由得，所以．

因此当时，．

而，于是当时，．

21．解：（1）法1：

记甲地小白鼠样本X值的平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本X值的平均数为，方差为，则，，，，所以
．

．

法2：记甲地小白鼠样本的X值为x1，x2，…，x120，平均数为，方差为；记乙地小白鼠样本的X值为y1，y2，…，y90，平均数为，方差为．

因为，，，．所以．

由，，可得

．

同理，于是

．

（2）法1：因为，所以．

从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K～B（N，0.68），
．

当N<102时，P（K=102）=0；当N≥102时，．

记，则．

由等价于N-101<0.32（N+1），当且仅当，知当103≤N≤148时，α（N）<α（N+1）；当N=149时，α（N）=α（N+1）；当N>149时，α（N）>α（N+1）；故N=149或N=150时，α（N）最大，所以N的估计值为149，或150．

法2：因为，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μ-σ≤X≤μ-σ）≈0.68．

从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有K只，则K～B（N，0.68），
．

当N<102时，P（K=102）=0；当N≥102时，．

若N=102，则．

若N≥103，则

化简得解得149≤N≤150．

综上，N的估计值为149，或150．

（3）记n只小白鼠检测费用为Y元，当n只小白鼠全部产生抗体时，Y=n+9，当n只小白鼠不都产生抗体时，Y=11n+9，则

P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=1-0.991n．

因此．

因为n≤50，所以．

故，当且仅当n=10时取等号．

于是每只小白鼠平均检测费用的最小值约为2.8元，n的估计值为10．

【注1】（2）等价于这个问题：

数列{an}中，，求使an取最大值时的n值．

【注2】（2）法2若N=102时的验证不可少．

【注3】（2）因为，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μ-σ≤X≤μ-σ）≈0.68．

从注射过疫苗的小白鼠取出N只，其中产生抗体的有Y只，则K～B（N，0.68），
．

【以下得0分】因为使P（K=k）取得最大值时的整数k=102，所以
化简得解得149≤N≤150.47．

因此N的估计值为149，或150．

22．解法1：（1）由题设4-a=2，a=2．由，得b=1．

所以C的方程为．

（2）A（-2，0），B（2，0），设M（x1，y1），则，所以直线AM与BM的斜率之积为．

因为直线BM与BN的斜率之积为，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为M1（x1，-y1），设N（x2，y2），由得，．

由对称性知MN经过x轴上的定点Q（t，0），因为，由，得t=1，所以MN经过定点Q（1，0）．

所以

．

设5-2x1=x，因为-2<x1<2，所以1<x<9．设，，因为当1<x<3时，，当3<x<9时，，所以6≤f（x）<10．

因此，当且仅当x=3取等号，取等号时，x1=1，．

于是当，时，取最大值．

解法2：（1）同解法1．

（2）A（-2，0），B（2，0），设M（x1，y1），则，所以直线AM与BM的斜率之积为．

因为直线BM与BN的斜率之积为，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍．
因为，设，由得，．

由，知，故点N在C上．

由对称性知MN经过x轴上的定点Q（t，0），因为，

由，得t=1，所以MN经过定点Q（1，0）．
可知MN不垂直于y轴，设MN：x=my+1，联立得（m2+4）y2+2my-3=0，

因为△=16（m2+3）>0，所以y1，，因此．

由，得，当，时等号成立，于是取最大值．