2023届湖南省岳阳市平江县高三下学期5月教学质量监测（三）数学试题含答案

  平江县2023 届高三教学质量监测（三）

数　　学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则（      ）

A． B．  C．( D．

2．设复数满足，则复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．已知平面向量的夹角为，且，则（       ）

A． B． C． D．

4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（  ）

A． B． C． D．

5．平江县教育局为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在最后一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（       ）

A．18 B．24 C．36 D．60

6.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 γ .想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此山腰高为（     ）

7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，

， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（      ）

A． B． 

C． D．

8．已知函数，若有两个极值点，记过点，的直线的斜率为，若，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分。

9．2022年11月28日，平江-益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年12月22日至12月28日比较，得到同比增长率（）数据，绘制了如下统计图，则下列结论正确的是（       ）

A．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为25

B．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18

C．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天

D．2022年12月25日的高速公路车流量小于20万车次

10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（      ）

A．平面         B．与所成的角为30°

C．平面         D．平面截正方体的截面面积为

11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则（       ）

A． B．时，

C．S的最大值为 D．当时，

12．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（       ）

A． B．数列单调递减

C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为7

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．已知的展开式中含项的系数为1024，则______.

14.写出与圆和都相切的一条直线方程            .

15．已知函数的部分图象如图，，则          

16.若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为____________.

四、解答题：本题共 6 小题，第17题10分，其余每小题 12 分，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知等比数列的前n项和为，其公比，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和.

18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝sinC﹣sin（A﹣B）．

（1）求A；

（2）设a＝2，当b+c的值最大时，求△ABC的面积．

19．如图，在三棱柱中，D为AC的中点，AB=BC=2，.

(1)证明：；

(2)若，且满足：三棱柱的体积为，二面角的大小为60°，求二面角的正弦值.

20．某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.

21.已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B,C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0.

（1）求直线的斜率；

（2）若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P,Q，求△MPQ的面积。

22.已知函数.

(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.

平江县 2023 届高三教学质量监测（三）

数学参考答案

1、【答案】B

2、【答案】D，

3、【答案】D、

4、【答案】B

5、【答案】C

6、【答案】C

7、【答案】B

8.【答案】A

9、【答案】BC

10.【答案】ABD

11【答案】ABD

12【答案】AC

13、

故答案为：2

14.【答案】或中任何一个答案均可

15【答案】.

16.答案：

17、【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，

所以，解得，

由，可得，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）得，

当n为偶数时，

；

当n为奇数时；

综上所述：

18.【详解】（1）由正弦定理可得，

⇒＝sin（A+B）﹣sin（A﹣B）＝2cosAsinB，

因为sinB≠0，所以，即sin2A＝1，

∵0＜2A＜2π，∴，A＝．

（2）由题意及（1）得，在中， ，故外接圆直径。

故

其中 且

故，而，故 的最大值为1，

些时，故

故，

且

故

此时

19.【详解】（1）在三棱柱中，由题意可得，，，

∴，

又∵AD=DC，∴，

同时在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，

∴，∵，，平面，

∴平面，

又∵平面，∴

（2）∵且，∴平面ABC，

∵平面ABC，∴，又∵，

∴为二面角的平面角，即

，，取BC的中点O，则，

∴，

又∵三棱柱的体积为，∴

如图所示，建立空间直角坐标系，

设平面的一个法向量为，且，，

则，令，则，，

故，

设平面的一个法向量为，

且，，则，

令，则b=0，，故，

，故二面角的正弦值为.

20、解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，

所以的所有可能取值为，则,,

所以的分布列为

所以的数学期望.

（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，

则，

，

所以的分布列为

所以的数学期望为

（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，

即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，

回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.

回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.

21、【答案】（1）6   （2）4

【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，代入点的，

又点在双曲线上，即，联立解得，

故双曲线的方程为。

设点，，已知直线AB、AC的斜率一定存在，

所以设直线AB的方程为，即，

代入双曲线的方程得，

所以，则，

所以

由直线AB与AC斜率之和为0，可设AC的方程为：

同理可得

所以，所以直线l的斜率为6.

（2）设M点坐标为，过M作渐近线的平行线分别为，

由（1）知，双曲线E的渐近线方程为，故可设的方程分别为，。

联立解得

所以

同理可得

又由，得，所以

，又点M在双曲线E上，则，

所以，即

故△MPQ的面积为4.

22.答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)由题，，

因为在定义域内单调递增，因此恒成立.

当时，，不满足题意.

当时，，满足题意.

当时，即，得，

设，则，

注意到函数单调递减，

且时，，

因此在时，单调递增，

在时，单调递减，

得，从而，得.

综上，a的取值范围为.

(2)，当时，单调递增，

而，

因此存在，使得，

且时，单调递减，

当时，单调递增，

且，

故存在，使得.

要证明，只需证明，

即证.

由，得，

因此只需证明，

即证.

先证明：.

即证，

即证，

设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故，即.

接下来证明：.

即证，

设，

则，

设，

则

故单调递减，，

从而单调递减，故，即.

因此，

即不等式成立，故.