2023届江西省抚州市金溪县高三下学期5月高考仿真模拟考试数学（文）试题含解析

金溪县2023届高三下学期5月高考仿真模拟

文科数学

考生注意：

1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本试卷主要命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合，则

A．    B.

C．    D.

2.已知复数z满足，则=

A．   B．    C.    D.

3.甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下：

甲 7   8   9   5   4   9

乙 7   8   a   8   7   7

则下列说法正确的是

A． 若，则甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数

B．若，则甲射击成绩的极差小于乙射击成绩的极差

C．若，则乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定

D．若，则乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定

4.已知函数，则f（x）的大致图象为

5.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”的概率为

A．   B．   C．    D．

6.已知数列{}为递增的等比数列，且，则{}的公比为

A．   B．  C．   D． 2

7.设f（x）是定义域为R的奇函数，且。若，则

A．  B．   C．-2     D． 2

8.已知函数，则下列结论错误的是

A． f（x）为偶函数      B． f（x）的最小正周期为π

C． f（x）的最小值为    D． f（x）的最大值为2

9.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”。“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列{}，令，则数列{}的前2023项和为

A．   B．    C．    D．

10.在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为

A．   B．   C．    D．

11.已知函数，且，则的最小值为

A． 1   B． e    C．    D． 2-ln2

12.如图，已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且切线在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则

A．直线OA与双曲线C有交点

B．若，则

C． 若，则C的渐近线方程为

D．若，则C的离心率为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件的最小值为___________。

14.已知a，b是单位向量，且满足，则___________。

15.已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且与直线相切，则抛物线C的一个方程是___________。

16.如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为___________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为

（1）若，求B；

（2）若，求△ABC的面积。

18.（12分）

如图，三棱柱的底面为等边三角形，侧面为菱形，点D，E分别为BC，的中点，

（1）求证：AD⊥平面；

（2）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求。

19.（12分）

随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观。某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间[50，100]内，学校将初赛成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。

（1）试估计这1000名学生初赛成绩的平均数（同一组的数据以该组区间的中间值作代表）；

（2）为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在[60，70）内的概率。

20.（12分）

已知椭圆C：过点A（2，），且C的离心率为。

（1）求C的方程；

（2）设直线l交C于不同于点A的M，N两点，直线AM，AN的倾斜角分别为，，若，求△AMN面积的最大值。

21.（12分）

已知函数

（1）若，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若，函数f（x）在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若l与C交于M，N两点，点P（-1，1），求的值。

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

（1）求不等式的解集；

（2）设函数f（x）的最大值为M，若a，b，c均为正数，且，求的最小值。

高三文科数学参考答案、提示及评分细则

1.A 因为，所以。故选A。

2. B  ，所以故选B。

3.C 甲射击成绩的中位数为，极差为，平均成绩为，方差为；当时，乙射击成绩的中位数为错误；当时，乙射击成绩的极差为，B错误；当时，乙平均成绩为，方差为，故，由此可知乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定，C正确，D错误。故选C。

4.B   因为x定义域为R，所以x，所以当时，当或时，所以f（x）在上单调递减，在和上单调递增，又，故符合条件的函数图象为B。

5.B 因为，所以，故所求概率。故选B。

6.D 由题意，得，解得或（因为{}递增，故舍去），所以{}的公比故选D。

7.C 因为f（x）为R上的奇函数，所以，所以，所以f（x）是周期为2的周期函数，所以故选C。

8.B 因为，所以f（x）是偶函数，则A正确；若f（x）的最小正周期为π，则恒成立，即，亦即恒成立。令，得，显然不成立，所以“f（x）的最小正周期为π”是错误的，则B错误；由f（x）是偶函数，只需考虑时的最值即可。当时，，因为[-1，1]，所以，即f（x）值域为[-，2]，则C和D正确。故选B。

9.C 由题意，可知，所以，则，所以故选C。

10.C如图，取AC的中点F，连结BF，EF，因为△ACE为等边三角形，E是CD中点，所以ED，所以在Rt△ACD中，由勾股定理，得，因为，所以AC=2.因为，所以AD⊥平面ABC，所以，又，所以BC⊥平面ABD，所以。在Rt△ABC中，，所以。所以。又△ACE为等边三角形，所以，因为，所以AC⊥平面BEF，所以，则直线AC与BE所成角为。故选C．

11.A 由，得，化简整理得，因为g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为R，所以的取值范围也是R，令，令，解得。当时，，即h（x）在（-∞，0）上单调递减；当时，，即（x）在（0，+∞）上单调递增；所以，故故选A。

12.D 设（-c，0），（c，0），由题意可知，所以，从而直线的斜率为，由此，直线OA的斜率为，其方程为，恰好是C的一条渐近线，所以直线OA与双曲线C无交点，A错误；由双曲线的定义及2a，又，则，B错误；由，得，再由双曲线的定义，得；在中，由余弦定理，得，化简得，所以C的渐近线方程为，C错误；由及，得；设直线ON的倾斜角为α，则=，又，又，所以，解得，所以，D正确。故选D。

13.-3 作出不等式组，表示的平面区域，如图中阴影部分（含边界），其中A（1，），B（-2，-1），C（0，1）。当直线过点C时，z取最小值

14. 由，显然；两边平方，得，整理，得0，解得或

15（也可以是因为抛物线C与直线相切，所以抛物线C的方程为或=；由得，所以，解得，所以抛物线C的方程可以为；由得，所以，解得，所以抛物线C的方程可以为。

16、20  如图，取AP的中点为O，连接CO，OB．因为三棱柱为直棱柱，故⊥平面ABC，而AC平面ABC，故，又，故AC⊥平面，因为平面，故，因为平面ACP，因为CP平面ACP，故。设，在直角三角形PCB中，，同理，所以，整理得到。又A，当且仅当时等号成立，也就是时，的面积取最小值。因为AC⊥平面，CP平面，故，故，而△PAB为直角三角形，故，故O为三棱锥P-ABC的外接球的球心，故外接球的直径为，所以外接球的体积为。

17.解：（1）由条件与正弦定理得，。。。。。。。。。1分

由C得

sin。。。。。。。。。。3分

又，所以，或，

所以或C=（舍去）。

当时，，所以。。。。。。。。。。。。5分

（2）法一：由（1）知，，

由正弦定理，得，则。。。。。。6分

由余弦定理，得B，即

整理得，解得或。。。。。。。。。8分

当时，，此时，所以，又因为，所以与矛盾，舍去；。。。。10分

当时，，

此时△ABC的面积为。。。。。。12分

法二：由（1）知，。。。。。。。。。。6分

由正弦定理，得。

结合，代入

解得，从而

此时△ABC的面积为。。。。。12分

18.（1）证明：连接，，因为侧面为菱形，，

所以△为等边三角形，

因为点D为BC的中点，所以，。

设，则

因为△ABC为等边三角形，所以，则

因为，所以，则，

因为，所以AD⊥平面；

（2）解：由（1）知

所以⊥平面ABC．。。。。。7分

因为侧面为菱形，则。

因为点D，E分别为BC，的中点，所以，则

设，则，

设，则。。。。。。。。。9分

所以三棱柱积

三棱锥的体积

故

19.解：（1）；。。。。。4分

（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在[50，60）和[60，70）内的人数比例为，所以抽取的6人中，成绩在[50，60）内的有人，记为，；成绩在[60，70）内的有人，记为，，

从6人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，，，共15种可能；

其中选取的2人中恰有1人成绩在区间[60，70）内的有，}，，，，，共8种可能，

所以所求概率

20.解：（1）因为C过点A（2，），所以。。。。。。。。。1

设C的焦距为2c，由得，所以，。。。。。2分

代入上式，解得，

所以C的方程为。

（2）设M（，），N（，），易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，

由得

则

。。。。。。。。

由得，

又，所以，则，。。。。。。。6分

由题意知直线AM，AN的斜率存在，所以

则0，。。。。。。。。7分

所以，

则

即，

整理得，

又知l不过点A（2，），则，

所以

所以直线l的方程为，则，所以

则点A（2，）到直线l的距离为。。。。。。。。。

|

则,

当且仅当，即时取等号。。。。11分

故△AMN面积的最大值为2.

21.解：（1）时，

所以

所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为，即；。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）由题意，得，只考虑。

①当时，，则

所以，且当时，；当时，，

所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，

所以f（x）仅在处取得极小值，且极小值为，不符合题意；。。。。6分

②当时，令，则

（i）若，即，则，所以恒成立，此时f（x）在（0，2）上无极值，不符合意。

（ii）若，即，则h（x）图象的对称轴为，所以h（x）在（0，2）上单调递增。。。。。。。8分

因为，由函数单调性和零点存在性定理得，在（1，2）上存在唯一的实数，使得h（）=0，从而

且当时，，从而；当时，，从而。10分

所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增，

所以f（x）仅在处取得极小值，极小值为f（）

因为f（x）在（0，）上单调递减，且，所以，符合题意。

综上，实数a的取值范围为（，0）。

22.解：（1）由，消去参数t，得。

将代入，得；

所以曲线C的直角坐标方程为，直线l的普通方程为。。5分

（2）依题意，点P（-1，1）在l上，

将l的参数方程代入C的直角坐标方程并整理，得，首先，可设M，N对应的参数分别是，，则，显然，均为正数，

所以。。。。。10分

23.解：（1）

当时，化为，解得；

当时，化为，解得

当时，化为，无解；

综上所述，的解集为。。。。5分

（2）由（1）知，,

因为（当且仅当时，等号成立），

2，（当且仅当，即，C=2时，等号成立），

所以的最小值为为12.