2023届高三5月大联考（全国乙卷）数学（理）试题含解析

这是一份2023届高三5月大联考（全国乙卷）数学（理）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三5月大联考（全国乙卷）数学（理）试题

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合M,N，根据交集运算得解.
【详解】因为，，
所以．
故选：D．
2．在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（    ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】由于知道复数对应点的坐标，所以根据复数的几何意义可得复数，然后求出，再根据复数模的定义可得结果.
【详解】由题意，知，，所以，所以．
故选：C.
3．映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则：
等级原始分占比赋分区间
A
3%
[91,100]
B+
79%
[81,90]
B
16%
[71,80]
C+
24%
[61,70]
C
24%
[51,60]
D+
16%
[41,50]
D
7%
[31,40]
E
3%
[21,30]
转换对应赋分T的公式：
其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）
若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（    ）
A．91 B．92 C．93 D．94
【答案】C
【分析】根据赋分公式，分别代入数据等级A赋分区间[91,100]及原始分区间[81,87]的端点即可得出结果.
【详解】等级A赋分区间[91,100]，原始分区间为[81,87]，
据赋分公式，得，解得．
故选：C．
4．已知不共线的平面向量，满足，，则平面向量，的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设向量，的夹角为，由可得出，再由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】设向量，的夹角为，
∵，∴，即，
∴，∴．
∵，∴向量，的夹角为．
故选：D．
5．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由，得．作出直线，然后平移该直线，
当直线经过点A(1,0)时，z取得最大值，即．

故选：B．
6．学校安排老师到小区对指定的学生进行家访．甲、乙两位老师被安排从A，B，C，D，E五个小区中各选两个小区进行家访，且甲、乙两位老师选择的小区最多可以有一个相同．若甲必须去A小区，则甲、乙两位老师不同的安排方法有（    ）
A．48种 B．36种 C．32种 D．24种
【答案】B
【分析】由于甲、乙两位老师选择的小区最多可以有一个相同，所以可分为都不相同和有一个相同两种情况；又由于甲必须去A小区，所以当有一个相同时，再分相同的是A小区和不是A小区两种，然后分别计算各种情况，相加即可.
【详解】分两种情况：（1）若甲、乙两位老师选择的家访小区完全不同，则有种安排方法．
（2）若甲、乙两位老师选择的家访小区有一个相同：①若甲、乙两位老师都选择了A小区，则有种安排方法；
②若甲、乙两位老师选择的相同小区不是A小区，则有种安排方法．
综上，甲、乙两位老师不同的安排方法有种.
故选：B．
7．已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图像知函数是偶函数，并且在轴右侧先减后增，且时函数值大于0，然后根据这些特点对每个选项中的函数逐一判断即可.
【详解】由题图，知函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故排除A；
对于B，，虽然函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，但，与图像不吻合，排除B；
对于D，因为，所以函数是偶函数，但，与图像不吻合，排除D；
对于C，函数为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当时，，，
令，求导，得．当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以在处取得最大值．
又因为，，，所以，使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，与图像吻合.
故选：C．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（    ）

A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出几何体各个面的面积即可得出答案.
【详解】如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥A-BCD即为该几何体．
其中为直角三角形，，BD=4，AB⊥BD，所以其面积为；
为等腰三角形，BC=CD，BD=4，点C到边BD的距离为4，所以其面积为；
为等腰三角形，，，所以点C到边AB的距离为，
所以其面积为；
为等腰三角形，，，所以点C到边AD的距离为，
所以其面积为．
综上，该几何体各个面中面积最大的面为，其面积为．
故选：A．

9．设等差数列的前n项和为，，，则满足的正整数n的最大值为（    ）
A．16 B．15 C．12 D．8
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式求解，再求解不等式得出结果.
【详解】设等差数列公差为d，则，解得，
所以，．
由，得，
即，解得10，所以p=4，
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意，知直线l的斜率存在且不为0，
因为M（-2，0），所以可设直线l的方程为x=my-2．
设，，则点．
由，消去x，得，所以，,
根据根与系数的关系，得，．
直线BP的斜率，
所以直线BP的方程为，
所以

，
即直线BP的方程可表示为．
所以直线BP过定点，且定点坐标为（2，0）．
20．已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)当a=1时，若关于x的方程（m为实数）有两个不相等的实数根，且，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，再对分类讨论，利用导数与单调性的关系即可得解；
（2）方法一：由（1）可知，当a=1时，，由于是f（x）=m的实数根，所以，令，对求导，可得，即可得证；
方法二：曲线y=f（x）在点处的切线方程，令，对求导，可证得，即，整理化简即可得证.
【详解】（1）．
①当a0时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当a0时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）方法一：当a=1时，，
由（1）可知，的单调递减区间为，单调递增区间为，
因为方程=m（m为实数）有两个不相等的实数根，，且，因此．
由于是=m的实数根，所以，整理得．
令，且，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
而，因此，即．
方法二：当a=1时，，
，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
又．
令，则．
令，解得，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，因此．
因为=m（m为实数）有两个不相等的实数根，，且，
所以，即．
因为，所以，所以．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
21．某公司生产A，B两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒有12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式．
(1)小明看中了A型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他己经拥有．小明从中随机购买2款，若他购买到1款他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式玩偶，积1分．设X表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X的分布列和数学期望；
(2)五一前，该公司推出C，D两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买C，D两种型号盲盒的概率都是．如果上次购买C型号盲盒，则这次购买C型号盲盒的概率为，购买D型号盲盒的概率为；如果上次购买D型号盲盒，那么这次购买C，D型号盲盒的概率都为．如此重复．设一名爱好者第n次购买C型号盲盒的概率为Pn．
①求Pn；
②如果这名爱好者长期购买C，D型号盲盒，试判断该爱好者购买C型号盲盒的概率能否达到．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)①；②不能

【分析】(1)由题知，的可能取值为-4，-2，0，2，4，6，分别求出对应的概率，即可得出分布列，求出期望.
(2)分析得，继而判断出是以为首项，为公比的等比数列，然后求出，即可得出结论.
【详解】（1）由题意，知的所有可能取值为-4，-2，0，2，4，6，
，，，，，，
所以X的分布列为
X
-4
-2
0
2
4
6
P






所以．
（2）①记一名爱好者第n+1次购买C型号盲盒的概率为，则，
即，所以．
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
②因为，
所以这名爱好者购买C型号盲盒的概率不能达到．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的直角坐标为，若直线l与曲线C交于M，N两点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)．

【分析】（1）根据，，转化即可得解；
（2）根据直线的参数方程代入圆的方程，利用参数的几何意义及三角函数的恒等变换求最值.
【详解】（1）因为，所以，
即．
又，，，
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）依题意，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得．
设点M，N所对应的参数分别为，，则，．
因为点P的坐标为，所以，．
因为，
所以，
其中，．
由，得，
所以当时，最大，且最大值为．
23．已知a，b，c都是正实数．
(1)若，求证：；
(2)若，求a+b+c的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．

【分析】（1）由基本不等式即可证明；
（2）方法一：将变为，则，再由基本不等式证明即可；方法二：将变为，根据已知条件结合柯西不等式即可证明结果．
【详解】（1）因为a，b，c都是正实数，所以，
，所以，
当且仅当时，等号成立，即．
又因为，所以．
（2）方法一：因为，所以，
所以


，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以a+b+c的最小值为．
方法二：因为，所以．
由柯西不等式，得，
即，即，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以a+b+c的最小值为．