2023届山西省三晋名校联盟高三下学期5月高阶段性测试（七）数学试题含解析

这是一份2023届山西省三晋名校联盟高三下学期5月高阶段性测试（七）数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山西省三晋名校联盟高三下学期5月高阶段性测试（七）数学试题 一、单选题1．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简集合，由条件可得，根据集合关系列不等式求的取值范围.【详解】因为，所以，即，因为，所以，又，所以，故实数的取值范围是.故选：A.2．已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再确定其在复平面所对应的点及其象限.【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点为，该点在第四象限.故选：D.3．已知是圆锥的一个轴截面，分别为母线的中点，，则圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴截面求出底面半径和母线长，再根据侧面积公式可求出结果.【详解】如图：因为，所以，则圆锥底面半径，，即母线，所以圆锥的侧面积.故选：D4．记为等差数列的前项和，若，则（    ）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【分析】根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，，，所以.故选：C5．函数的部分图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入特殊点及结合函数的性质分析即可.【详解】由解析式可得，，排除A；观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而，说明不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.故选：B6．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数的运算，分别利用对数的单调性、对数作商即可求解.【详解】因为，，，由，所以，由，而，则，所以，综上：，故选：A.7．已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设的外接圆的半径为，根据向量线性运算和数量积运算公式化简可得，根据正弦定理可求，再求出的范围，结合三角函数性质可求的范围.【详解】因为，所以所以，设的外接圆的半径为，则所以，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，又，所以，故，所以，所以，又在上都为增函数，所以，故，又，，，，故，所以，其中当时，即点与点重合时左侧等号成立，所以的取值范围为.故选：B.8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率.【详解】因为，为双曲线的左､右焦点，所以，因为所以，又为线段的中点，所以为线段的中点，且，又为线段的中点，所以，在中，，，所以，所以，因为点在双曲线的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故选：D.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 二、多选题9．如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（    ）A．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势B．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535C．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差D．2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%【答案】BC【分析】根据图表逐项进行判断即可求解.【详解】对于，由图知年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，所以A不正确；对于B，由图可知年全国城镇居民人均消费支出的中位数为，所以B正确；对于C，年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，人均消费支出的极差为，所以C正确；对于D，2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，小于，所以D不正确.故选：BC.10．已知为坐标原点，动点满足，记动点的轨迹为，设为轨迹上的两点，为直线上一动点，则下列结论中正确的是（    ）A．直线与轨迹有两个公共点B．若直线为轨迹的一条切线，则的最小值为1C．当时，的最大值是D．若为轨迹的两条切线，则四边形面积的最小值为1【答案】BD【分析】由条件求出点的轨迹方程，由此确定其轨迹，结合直线与圆的位置关系判断A，再求切线长的最小值，由此判断BD，结合向量的运算判断C.【详解】设点的坐标为，因为，所以，所以动点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，因为，所以直线的方程为，因为圆心到直线的距离，所以直线与轨迹没有公共点，A错误；因为直线为轨迹的一条切线，所以，所以，因为点到直线的距离，所以，当且仅当且在线段上时取等号，又，所以，当且仅当且在线段上时取等号，故的最小值为1，所以的面积，同理可得的面积，所以四边形面积，当且仅当且在线段上时取等号，所以四边形面积的最小值为1，所以B，D 正确；若，设圆心到直线的距离为，则，设的中点为，则，所以，因为为直线上一动点，所以无最大值，所以无最大值，C错误；故选：BD.11．已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则（    ）A．的取值范围是B．的图象在区间上有2条或3条对称轴C．在区间上的最大值不可能为2D．在区间上为增函数【答案】BD【分析】化简得，令，求出其对称中心的横坐标，由及有且只有三个整数值，可得，故A不正确；令，求出其对称轴，结合的范围分析可知B正确；利用得，由的范围分析可得C不正确；根据正弦函数的单调性可得D正确.【详解】，令，得，由结合，得，依题意有且只有三个整数值，所以，得，故A不正确；令，得，由结合，得，当时，，此时或，函数的图象在区间上有2条对称轴，为，，当时，，此时或或，函数的图象在区间上有2条对称轴，为，，，所以的图象在区间上有2条或3条对称轴，故B正确；当时，，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，故C不正确；由，得，因为，所以，因为，所以在区间上为增函数，故D正确.故选：BD12．如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（    ）A． B．C．的最大值为 D．当时，【答案】AD【分析】通过证明平面，可得A正确；以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得B不正确，C不正确，D正确.【详解】在等腰梯形中，因为，根据平面几何知识可得，，，在直棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；因为两两垂直，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，，，，则，故B不正确；，令，则，所以当，时，取得最小值，则，根据平面向量夹角的范围可知，的最大值为，故C不正确；当时，，，，所以，又与不相交，所以，故D正确.故选：AD 三、填空题13．已知，则__________.【答案】2【分析】利用两角和的正弦公式，化简求，再化简求值.【详解】已知，所以，，.故答案为：214．已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数为__________.【答案】【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数.【详解】因为随机变量服从正态分布，且，所以，故，二项式展开式的通项，令，可得，所以展开式中的系数为，故答案为：.15．已知在平面直角坐标系中椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段到，若在轴上存在一点，满足，垂足为，则__________.【答案】【分析】由条件结合离心率定义求，由条件证明，结合椭圆定义可得，利用中位线性质求.【详解】设椭圆的半焦距为，则，故，由题可知，解得.因为，所以为线段的中点，且是的垂直平分线，则.由椭圆定义可知.因为为的中点，所以.故答案为：.16．已知，且，则的最小值为__________.【答案】1【分析】由，得，构造函数，，用导数得在上为增函数，可得，即，代入后再构造函数，利用导数可求出最小值.【详解】因为，，所以，所以，且，所以，设，，则，因为，所以，在上为增函数，因为，所以，则，所以，所以，令，则，令，则，则在上为增函数，令得，即，则存在唯一实数，使得，即，所以当时，，，当时，，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：将变形为，再利用指对同构，设，，将化为是本题解题关键. 四、解答题17．从①，②，③前项和满足中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列的首项，且__________.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）选①因式分解得，则有，则可得到其通项，选②两边同加得，则可写出通项，选③移项整理有，则可得到其通项；（2），通过列项求和即可得到答案.【详解】（1）选①：由，可得.因为，所以所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以选②：由，得，所以，所以，故数列是常数列，所以，故.选③：由，得，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则.当时，，易知也满足上式，故的通项公式为.（2）由（1）可得，则18．乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣､亲近自然､寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿点甲乙丙丁戊己庚辛普通型民宿16812141318920品质型民宿6164101110912(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；(2)从这8家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件概率公式即可求解.(2)根据超几何分布，即可求出分布列和期望.【详解】（1）由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件，则，所以.（2）这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故的所有可能取值为.，，所以的分布列如下表：0123所以.19．如图，在四棱柱中，(1)求证：平面平面；(2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）由（1）的信息，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】（1）设交于点，连接，如图，因为，则点在线段的垂直平分线上，即有为的中点，又因为，则，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面，在平面内过作，又平面平面，因此平面，射线两两垂直，以为原点，射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，因为为棱的中点，则点是正的重心，又，平面，且，则，所以，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.20．如图，在中，分别为边上一点，.(1)若，求的长；(2)若，求的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的长；（2）设，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.【详解】（1）在中由余弦定理可得，又，所以，所以，解得或，因为为的斜边，，故，所以，且；（2）设，则，又，故，因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以，设，则，故，因为，所以，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以.21．已知点是抛物线的焦点，准线与轴的交点为，点是抛物线上任一动点.当点的横坐标为8时，的面积为.(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线的准线上的两个不同点，点的横坐标大于1，坐标原点到的边的距离都等于1，求的周长的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解.（2）设点，点，点，通过点到直线、的距离为1，得到是关于的方程的两个不等实根.从而得到根与系数的关系，从而求出面积的最小值，即可求出周长的最小值.【详解】（1）将代入抛物线方程，得.因为的面积为，所以，解得所以抛物线的方程为.（2）设点，点，点，则直线的方程为，即.由原点到直线的距离为1，可得，故.由条件知，上式化简得.同理有.所以是关于的方程的两个不等实根.由根与系数的关系可得.所以.因为，所以，又点到直线的距离为，所以的面积为.令，则.因为，上述两个不等式都当且仅当时取等号，所以，故面积的最小值为.因为原点到的三边距离都等于1，所以，所以的周长为，所以的周长的最小值为.22．已知函数.(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若的图象与直线恰有两个不同的公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）构造函数，利用导数探讨函数在上有两个零点即可.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以的图象在点处的切线方程为，即.（2）设，其定义域为，则，①若，即，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，因为时，时，，所以要使有两个零点，则，解得，故；②若，即，由，解得，所以有且仅有1个零点，则不符合题意；③若，即，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，因为时，时，，所以要使有两个零点，则或，若，解得，不符合题意；若，设，则化为，当时，，所以无解，即无解，故不符合题意；④若，即恒成立，则在上单调递增，从而最多有1个零点，则不符合题意.⑤若，即，由，得或，由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，因为时，时，，所以要使有两个零点，则或，若，解得，不符合题意，若，设，则化为，令，则，设，则当时，，所以在上单调递减，即在上单调递减，从而，所以在上单调递减，所以，则无解，即无解，故不符合题意，综上，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.