2023年山东省烟台市中考数学一模试卷(含解析）

2023年山东省烟台市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  按如图所示的程序进行计算，若输入的值为，则输出的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  一名射击运动员统计了次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是

6.  如图，在方格纸中，和的顶点都在格点上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，将一张矩形纸片按图，图所示方法折叠，得到图，再将图按虚线剪裁得到图，将图展开，则展开图是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，电路图上有个电源，个开关和个完好的小灯泡，随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与轴交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论：
无论取何值，恒小于；
可由向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到；
当时，随着的增大，的值先增大后减小；
四边形的面积为．
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇宽的门若要使羊圈的面积为，则所围矩形与墙垂直的一边长为______

12.  如图，点，在反比例函数的图象上，延长与轴负半轴交于点，连接，若点是的中点，的面积等于，则的值为______ ．

13.  两个平面镜和如图摆放，从点处向平面镜射出一束平行于的光线，经过两次反射后，光线与平面镜垂直，则两平面镜的夹角的度数为______ ．

14.  对于正数，规定，例如，则的值是______ ．

15.  关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是______ ．

16.  如图，，是的切线，是的直径，延长，与的延长线交于点，过点作弦，连接并延长与圆交于点，连接，若，，则的长度为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求不等式组的整数解．

18.  本小题分
如图所示，是一个迷宫示意图，小明和小亮分别从入口进入，沿着虚线所示的路线行走，两人根据自己的选择随机进入，，三个房间中的某一个．
小明进入房间的概率是多少？
利用树状图或表格，求出两人在走迷宫结束后，房间至少有个人的概率．

19.  本小题分
如图，中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接，过点平行于的直线与过点平行于的直线交于点，连接，求的度数．

20.  本小题分
，两地之间的国道的长度为千米．
甲、乙两人均要从地前往地乙乘公交车先走了千米，甲才开车从地出发，甲出发分钟后刚好追上乙已知甲开车的速度是乙所乘公交车速度的倍，求乙所乘公交车的速度；
高速公路修通后，高速公路的全长比原来国道长减少了千米，某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了千米时，从地到地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度．

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接．
求证：；
若、，求的长．

22.  本小题分
梨花节期间，为了更好地记录梨乡美景，摄影协会特意请一名摄影师携带无人机进行航拍如图，摄影师在水平地面上点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影师迎着坡度为：的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影师在点处测得点的仰角，若米，米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且、、、四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度结果精确到，参考数据：，，

23.  本小题分
问题引入：如图，，，，是线段的中点．连结并延长交于点，连结判断与之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图，在正方形和正方形中，点、、在同一条直线上，点在上，是线段的中点，连结、．
判断与之间的数量关系，并说明理由．
连结，若，，则的长为______．

24.  本小题分
如图，抛物线经过点，点，交轴于点连接，为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．

求这条抛物线的表达式；
过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数等于．
故选：．
先化简，再求倒数即可．
本题考查了算术平方根的意义及倒数的定义，根据算术平方根的定义正确化简是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项正确，符合题意；
B.，故选项错误，不符合题意；
C.，不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意．
故选：．
根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项的运算法则计算即可得解．
本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据按键顺序可知算式为．
故选：．
根据按键的顺序即可得出算式．
本题考查了科学计算器的使用与平方根，掌握“”与“平方根”键组合表示求一个数的平方根是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入，得，
，
．
故选：．
把代入程序流程图进行计算即可．
本题考查了程序设计与实数运算，解题的关键是按照题中箭头的方向依次计算，遇到判断框时，注意判断清楚满足哪个路径的要求．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可知，将次射击成绩，从小到大依次排列，第个数为环，故中位数是，选项正确，不符合题意；
环出现次数最多，有次，故众数为，选项正确，不符合题意；
这组数据的平均数为，故C选项正确，不符合题意；
这组数据的方差为，故D选项不正确，符合题意．
故选：．
读懂折线统计图，根据中位数，众数，平均数，方差的定义求解即可．
本题考查了折线统计图，中位数，众数，平均数，方差，读懂折线图，熟练掌握中位数，众数，平均数，方差的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
∽，
，
，
故选：．
根据网格的特点，利用勾股定理求得、各边长，进而证明∽，根据相似三角形的性质得出，即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向下翻折，按按虚线剪裁，展开得到结论，
故选：．
对于此类问题，亲自动手操作，即可得出答案．
本题考查了剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中随机闭合个开关，小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，共种，
随机闭合个开关，小灯泡发光的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和随机闭合个开关，小灯泡发光的的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
，
，
如图，作点关于点的对称点，连接，
即为的最小值，
，，
，，
，
的最小值为，故A正确．
故选：．
先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
无论取何值，总是负数；
故正确；
抛物线：与：交于点，
当时，，
即，
解得：；
，
可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
故正确；
，
随着的增大，的值减小；
故错误；
设与交于点，
当时，，
解得：或，
点，
当时，，
解得：或，
点，
，，
当时，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
四边形的面积．
故正确．
故选：．
由非负数的性质，即可证得，即可得无论取何值，总是负数；
由抛物线：与：交于点，可求得的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
由，可得随着的增大，的值减小；
首先求得点，，，的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．
此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
，
所围矩形与墙垂直的一边长为．
故答案为：．
设所围矩形与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据羊圈的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过作，过作，分别交于点，，则，
∽，
，
为的中点，
，
，

点，在反比例函数的图象上，
，即：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过作，过作，得到∽，根据的几何意义和为的中点，得到，再根据的面积为，求出的面积即可解答．
本题主要考查了已知图形的面积求值，掌握反比例函数中的几何意义、构造与有关的几何图形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
，
．
由题意得：，
是的一个外角，
，
由题意得：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设，根据平行线的性质可得，由题意得：，，再利用三角形的外角得，然后利用垂直的定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可得出答案．
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，




，
故答案为：．
根据已知规定，可得，进而可以解决问题．
本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根是，，
，，
，
．
，
，
解得：．
该方程有两个实数根，
，
解得：，
．
故答案为：．
根据题意可得出，，整体代入，即可求出再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式，可求出，最后取其公共解即可．
本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的解的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点，连接，

是的切线，
，
，
设的半径为，则，，
在中，
由勾股定理得，即，
解得：，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
由勾股定理得，
，
故答案为：．
设交于点，连接，由切线的性质得，设的半径为，则，，由勾股定理求得，再根据圆周角定理得，由平行线的性质推出，利用垂径定理可得，由三角形的面积求得，再求出，利用勾股定理求得即可．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为，
该不等式组的整数解为． 

【解析】分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，进而即可得出其整数解．
本题考查求不等式组的整数解．掌握求不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
 

18.【答案】解：共有个房间，小明进入房间的概率为；
列表如下

由表格可知，共有种等可能性发生的结果，其中房间至少有个人的结果共有种，
所以房间至少有个人的概率为， 

【解析】根据概率公式直接求解即可；
根据列表法求概率即可求解．
本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，再利用平行线的性质可求得，最后利用等腰三角形的性质和三角形内角和推出，即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，正确的识别图形并会探索角之间的关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：设乙所乘公交车的速度为千米小时，则甲开车的速度为千米小时，
由题意得：，
解得：，
答：乙所乘公交车的速度为千米小时；
设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为千米小时，则该长途汽车在高速公路上行驶的速度为千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该长途汽车在原来国道上行驶的速度为千米小时． 

【解析】设乙所乘公交车的速度为千米小时，则甲开车的速度为千米小时，由题意：乙乘公交车先走了千米，甲才开车从地出发，甲出发分钟后刚好追上乙．列出一元一次方程，解方程即可；
设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为千米小时，由题意：某长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上提高了千米时，从地到地的行驶时间缩短了一半，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出分式方程．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，，
切于，
，
，
，，
，
，
，
，，
；
解：，，
，
，
，
由勾股定理得：，
由勾股定理得：． 

【解析】根据圆周角定理求出，，根据切线的性质得出，求出，根据角平分线性质得出即可；
求出，，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

22.【答案】解：过作地面于，
坡度为：，
设，则，
，
，即，
，
，，
过作地面于，交于，交于，过作地面于，交于，

，
和均为等腰直角三角形，
，，
设米，则米，
，且，
四边形为矩形，
，，
，
，，
，，
，
解得：，
米，
答：无人机距水平地面的高度约为米． 

【解析】过作地面于，求得，，过作地面于，交于，交于，过作地面于，交于，设，则，证明四边形为矩形，，，由推出，，根据，解得的值，进一步求解即可．
此题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是恰当引出辅助线构造直角三角形，以及熟记各三角函数的计算公式．
 

23.【答案】 

【解析】解：问题引入：
，理由如下：
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
为斜边上的中线，
，
；
问题延伸：
，理由如下：
如图，延长交于点，

四边形，为正方形，
，，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
为斜边上的中线，
，
；
四边形、为正方形，
，，，
设，
，
，
，
，
，
解得，
，，
．
故答案为：．
问题引入：
利用证明≌，可得，进而可以解决问题；
问题延伸：
延长交于点，根据正方形的性质证明≌，可得，，根据为斜边上的中线，进而可以解决问题；
根据正方形的性质设，可得，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，证明三角形全等是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得，
，
；
设直线的表达式为，
过点，，
，
，
直线的表达式为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
当时，有最大值；
存在
，，的坐标为，，
当∽时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
当∽时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
所以，点坐标为或 

【解析】将，，代入，即可求解；
利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点和点的坐标，从而得出再根据解直角三角形求得，根据二次函数的最值即可得出答案；
分∽和∽两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点的坐标．
本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．