2023年福建省福州三十二中中考数学第一次适应性试卷（含解析）

2023年福建省福州三十二中中考数学第一次适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各组数中，互为相反数的是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.  下列立体图形中，主视图是圆的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  台湾省自古以来就是中国领土不可分割的一部分，祖国统一是两岸人民的共同心愿据统计，年台湾省常住人口总数约为人，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列手机中的图标是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，数轴的单位长度是，若点表示的数是，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  中国的射击项目在世界上居于领先地位某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示：

射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知圆的半径为，的圆心角所对的弧长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形已知，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  一个正边形的每一外角都等于，则的值是        ．

12.  如图，中，，，是的中点，则的长为        ．

13.  写出一个无理数，使得，则可以是______ 只要写出一个满足条件的即可

14.  不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为______．

15.  已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，随的增大而减小，则的取值范围为______．

16.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，矩形中，点、分别在边、上，且求证：．

19.  本小题分
下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．

第一步
第二步
第三步
第四步
问题：从第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
以上化简步骤中，第三步用到的运算是______ 填“整式乘法”或“因式分解”
请写出此题正确的解题过程，并从中，取一个合适的整数值求分式的值．

20.  本小题分
我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“周末学生回家玩手机”现象的看法，通过统计整理并制作了如图的统计图．

接受这次调查的家长人数为______ 人；
在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为______ ；
在四名三男一女持赞同意见的家长当中随机抽查了两名，利用树形图或列表方式求恰好抽到一男一女家长的概率．

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径的分别交、于点、求证：请用两种方法证明．

22.  本小题分
为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买论语和弟子规两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如表：

论语和弟子规每本的价格分别是多少元？
若学校计划购买论语和弟子规两种图书共本，弟子规的数量不超过论语数量的倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．

23.  本小题分
如图，是的切线，切点为，点在上，连接交于点，
尺规作图：过点作的另一条切线，切点为点保留作图痕迹，不写作法；
若，，，则的半径长是多少？

24.  本小题分
如图，等腰三角形中，，点，分别在，上，．

操作发现：
将图中的绕点逆时针旋转，当点落在边上时，交于点，如图发现：请证明这个结论．
实践探究：
将图中的绕点顺时针旋转，当，，三点在同一条直线上时，连接，如图请解答以下问题：
求证：≌；
探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，连接，．
求抛物线的表达式；
点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，连接当时，求点的坐标；
点为抛物线上的点，当时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：和互为相反数，符合题意；
B.的相反数是，不符合题意；
C.和互为倒数，不符合题意；
D.和互为倒数，不符合题意；
故选：．
相反数定义：只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个数的相反数．由此可求解．
本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；
B.三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C.圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D.球的主视图是圆，因此选项D符合题意；
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：数轴的单位长度为，如果点表示的数是，
点表示的数是：，故D正确．
故选：．
直接利用数轴结合，点位置进而得出答案．
本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，正确应用数形结合分析是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
由得，
不等式组的解集为．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，
丁的成绩最稳定，
综合平均数和方差两个方面说明丁成绩既高又稳定，
最合适的人选是丁．
故选：．
根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，说明丁的成绩最稳定，得到丁最合适的人选．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
故选：．
直接利用锐角三角函数的定义得出的值．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：半径为，圆心角为所对的弧长为．
故选：．
根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为的扇形的弧长为．
 

10.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知，，，
，
，
，
故选：．
证明阴影部分的面积梯形的面积，即可解答．
本题考查平移的性质，解题的关键是证明影部分的面积梯形的面积．
 

11.【答案】 

【解析】解：正边形的每一外角都等于，则，
故答案为：．
正多边形的每个外角相等，多边形外角和是，由此即可计算．
本题考查正多边形，关键是掌握正多边形的每个外角相等，多边形外角和是．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，
，，是的中点，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：因为，
所以，
所以是无理数，
故答案为：．
根据即可得解．
此题考查了估算无理数的大小，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别，
有种等可能事件，其中红球的有种，
恰好是红球，
故答案为：．
根据概率公式直接求解即可．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：反比例函数，在其图象所在的每个象限内，随的增大而减小，
，
解得，，
故答案为：．
根据题意和反比例函数的性质，可知，从而可以得到的取值范围．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．
本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
【解答】
解：如图所示，

当点在点的左侧时，
，，                                              
，
，
，
，
；
当点在点的右侧时，
，，
，
，
，
，
；
由上可得，的度数是或，
故答案为：或．  

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形性质得出，，求出，，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等．
 

19.【答案】一  分式的减法计算错误  因式分解 

【解析】解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是分式的减法计算错误；
故答案为：一，分式的减法计算错误；
以上化简步骤中，第三步用到的运算是因式分解；
故答案为：因式分解；
原式

，
，
整数，，，
当，时，原式没有意义；
当时，原式．
观察分式化简过程，找出出错的步骤，分析原因即可；
观察第三步运算，判断即可；
写出正确解题过程即可．
此题考查了分式的化简求值，因式分解的意义，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：接受这次调查的家长人数为：人，
故答案为：；
在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为：，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有种，
恰好抽到一男一女家长的概率为．
由“赞同”的家长人数除以所占百分比即可；
由乘以“不赞同”的家长所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：方法一，如图，
连接，
是圆的直径，
，

，
；
方法二，如图，
连接，
，
，
，
，
，
，
：：，
，
． 

【解析】方法一，如图，连接，由圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质得到；
方法二，如图，连接，由等腰三角形的性质推出，得到，因此：：，又，得到．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握以上知识点是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元．
设购买论语本，则购买弟子规本，
依题意得：，
解得：．
设学校购买论语和弟子规的总费用为元，则．
，
随的增大而增大，
又且为正整数，
当时，取得最小值，最小值，此时．
答：当购买论语本，弟子规本时，总费用最少，最少总费用为元． 

【解析】设每本论语的价格为元，每本弟子规的价格为元，利用总费用单价数量，结合表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买论语本，则购买弟子规本，根据购买弟子规的数量不超过论语数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校购买论语和弟子规的总费用为元，利用总费用单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】解如图，为所作；

连接，如图，设的半径为，则，，
、是的切线，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
整理得，
解得舍去，，
即的半径为． 

【解析】以点为圆心，为半径画弧交于点，连接、，根据切线的性质得到，再利用，，而为公共边，则可证明≌，
所以，从而根据切线的判定方法可判断为的切线；
连接，如图，设的半径为，则，根据切线的性质和切线长定理得，，再利用平行线的性质可证明，所以，则，然后在中利用勾股定理得到，从而解方程求出即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．
 

24.【答案】解：在图中，
，
；
在图中，根据旋转的性质，
易得，
，，
，
，
，
∽，
，
；
在图中，
，
，
，
，
，
在图中，，
，
在和中，
，
≌；
，
理由：
≌，
，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，可得，进而可证；
由，，可证；，，可证：≌；
≌，，可得，由，可得．
本题考查了三角形的相似，熟练掌握等腰三角形的性质以及等腰三角形共点旋转模型是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
 

25.【答案】解：由题意得，
；
如图，

，
，
作轴，交于，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，
；
如图，

设交轴与，作，交直线于，过点作轴，作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
设，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
由得，
舍去，，
当时，，
，
如图，

设射线交轴于，
，，
，
由上知：，，，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为，
由得，
舍去，，
当时，，
，
综上所述：或． 

【解析】根据交点式直接得出结果；
作轴，交于，先求得，根据得出，设出点的坐标，表示出点的坐标，进而表示出，从而得出方程，进一步得出结果；
当在的下方时，设交轴与，作，交直线于，过点作轴，作于，作于，可推出，可推出≌，进而表示出点的坐标，将其代入直线的解析式，从而求得点的坐标，进一步得出结果；当在直线上方时，借助在上方时的结果，得出与轴夹角的锐角的正切值为，进一步得出结果．
本题考查了求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．