2023年河南省南阳市中考数学二模试卷(含解析）

2023年河南省南阳市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  纳米米，将纳米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  如图，直线，在中，点在直线上，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是(    )

A. 主视图的面积最小
B. 左视图的面积最小
C. 俯视图的面积最小
D. 三个视图面积一样大

5.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某校规定学生的学期数学成绩满分为分，其中研究性学习成绩占，期末卷面成绩占，小刚的两项成绩百分制依次是分，分，则小明这学期的数学成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

7.  如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一个不透明的袋子中装有个标号为，，，的小球，它们除标号外其余均相同，把第一次摸出的小球标号作为十位数字，放回后，第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是的倍数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，牵着绳索退行绳索头与地面接触，在离木柱根部尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为尺，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  将直角三角形纸板按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，，将三角形纸板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  ______．

12.  如图，平行四边形的周长是，其对角线，相交于点，过点的直线分别与，相交于点，，且，则四边形的周长是______ ．

13.  关于的方程有两个相等的实数根，则______．

14.  如图，点为的三等分点，，，，则图中阴影部分的面积为______．
 

15.  如图，在中，，，点是边的中点，点在边上，将沿翻折，使点落在点处，当线段的长为______时，．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  先化简，再求值：，其中满足．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某校为了解家长和学生“参与防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把调查的数据分为以下类情形：：仅学生自己参与；：家长与学生一起参与；：仅家长自己参与；：家长和学生都未参与；并把调查结果绘制成了以下两种统计图不完整．

根据以上统计图，解答下列问题：
本次接受调查的学生共有______人．
已知类人数是类人数的倍．
补全条形统计图；
求扇形统计图中类的圆心角度数；
根据调查结果，估计该校名学生中“家长和学生都未参与”的人数．

18.  本小题分
太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角确定玻璃吸热管的倾斜角太阳光与玻璃吸热管垂直已知：支架，，于，若，求的长．参考数据：，，

19.  本小题分
如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的圆与，分别交于点，，且．
判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
若，，求的半径．

20.  本小题分
如图，直线与反比例函数的图象交于点，已知点的横坐标为．
求反比例函数的解析式；
将直线向上平移个单位后的直线与的图象交于点；
求点的坐标；
记的图象在点，之间的部分与线段，围成的区域不含边界为，则区域内的整点横，纵坐标都是整数的点的个数为______．

21.  本小题分
母亲节前，某淘宝店从厂家购进某款网红礼盒，已知该款礼盒每个成本价为元．经市场调查发现，该礼盒每天的销售量个与销售单价元之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为元时，每天可卖出个；当该款礼盒每个售价为元时，每天可卖出个．
求与之间的函数解析式不要求写出的取值范围；
若该店老板想达到每天不低于个的销售量，则该礼盒每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？

22.  本小题分
问题发现：如图，在四边形中，，是的中点，若是的平分线，则，，之间的数量关系为______．
问题探究：如图，在四边形中，，是的中点，点是的延长线上一点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论
问题解决：如图，，点在线段上，且：：点在线段上，且，直接写出，，之间的数量关系．
 

23.  本小题分
如图，直线与轴，轴分别交于点，，点在轴负半轴上，且，抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
点是第一象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，过点作，垂足为，用含的代数式表示线段的长，并求出线段的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：将纳米用科学记数法表示为米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
先根据对顶角的定义得出的度数，再由三角形内角与外角的关系求出的度数．
【解答】
解：如图，
，，
．
，，
．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：主视图是四个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，
故左视图的面积最小，
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形，可得三视图，根据三视图面积的大小，可得答案．
本题考查了三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式
，故D错误；
故选：．
根据实数运算法则以及整式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：小明这学期的数学成绩是分，
故选：．
利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案．
本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【解答】
解：在中，，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意画图如下：

由树状图可知，一共有种等可能的情况，其中组成的数是的倍数的有种，分别是，，，，，
所组成的数是的倍数；
故选：．
利用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出所组成的数是的倍数的可能结果数，再利用等可能事件概率公式求解即可．
此题考查用列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】
解：设绳索长为尺，可列方程为，
故选C．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据的长度结合旋转的性质即可得出第秒时，点的对应点的坐标为，再由三角板每秒旋转，可得出点的位置秒一循环，由此即可得出第秒时，点的对应点的坐标与第秒时相同，此题得解．
本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点的位置秒一循环是解题的关键．
【解答】
解：，，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，
第秒时，点的对应点的坐标为
三角板每秒旋转，
点的位置秒一循环．
，
第秒时，点的对应点的坐标为
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：▱的对角线，交于点，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
四边形的周长．
故答案为：．
利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用求出≌，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：熟记方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．若一元二次方程有两等根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的取值．
【解答】
解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：连接，，
点为的三等分点，，
，，
，
，
，，，
，，
图中阴影部分的面积．
故答案为．
连接，，由点为的三等分点，，得到，，根据，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图所示，当时，，
由折叠可得，，
又中，，
，
，即，
∽，
，
又，
，，，
设，则，
中，，
解得，
；
如图所示，当时，，
，
设，
∽，
，
，，
由折叠可得，，，
，，
中，，
解得，
，
综上所述，线段的长为或．
故答案为：或．
分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求得线段的长，再根据勾股定理即可得到方程，进而得到线段的长．
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

16.【答案】解：原式，，
，
，
将代入化简后的式子得：． 

【解析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由，求出，再把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．
 

17.【答案】 

【解析】解：本次接受调查的学生共有人，
故答案为：；

、的人数和为人，
类别人数为人，类别人数为人，
补全图形如下：

扇形统计图中类的圆心角度数为；
估计该校名学生中“家长和学生都未参与”的人数为人．
由类别人数及其所占百分比；
先求出、的人数和，结合类人数是类人数的倍可得答案；
用乘以人数占被调查人数的比例即可得；
总人数乘以样本中类别人数的比例．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

18.【答案】解：地面水平线与吸热管夹角与互余，
延长交的延长线于点，则，
在中，，
，
在中，
答：的长为． 

【解析】地面水平线与吸热管夹角与互余，延长交的延长线于点，则，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

19.【答案】直线与相切，
证明：连接，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即，
为半径，
直线与相切；

解：四边形是矩形，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
设的半径为，
在中，，
，
解得：，
即的半径是． 

【解析】连接，求出，求出，根据切线的判定求出即可；
解直角三角形求出，根据勾股定理求出，同理求出、，根据勾股定理得出关于的方程，求出方程的解即可．
本题考查了矩形的性质、切线的判定、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：将代入，
得，
，
将点代入，
，
；
根据题意可知，的解析式为，
，
或舍去，
；
如图：
个；
故答案为；
将代入，可求，将点代入，可求；
根据题意可知，的解析式为，联立方程组，求；
画出图象即可观察出；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式，数形结合求点的个数是解题的关键．
 

21.【答案】解：设与之间的函数解析式为，
由题意得，
解得：，
与之间的函数解析式为；
设每天的销售利润为元，
，
，
解得：，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大利润是，
答：该礼盒每个售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数性质分析解决实际问题的能力．
依题意直接设，将数据带入求得．
依题意可得，设利润为，则，将其化为顶点式，利用二次函数的性质即可求出最大值．
 

22.【答案】． 

【解析】解：结论：．
理由：如图中，

，
，
，，
≌，
．
平分，
，，
，
，
，
．
故答案为．

结论：．
理由：延长交的延长线于．

，
，
，，
≌，
，
平分，
，，
，
，
，
．

结论：．
理由：如图中，延长交的延长线于．

，
∽，
，，
，
，
，
，
，
．
结论：只要证明≌，推出，再证明即可解决问题．
结论：只要证明≌，推出，再证明即可解决问题．
结论：如图中，延长交的延长线于证明∽，推出，再证明即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：由，当时，；当时，，
，，
，
，
，
把，代入抛物线中得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
点在二次函数图象上且横坐标为，

，
过作轴，交于，则，
，
于点，
在中，，
，
轴，
，
，
，，
当时，最大，最大值为． 

【解析】由直线得出，，即可得出，将与坐标代入抛物线解析式求出与的值，即可确定出抛物线解析式；
已知点横坐标，根据直线、抛物线的解析式，求出、的坐标，由此得到线段的长；在中，，根据平行线的性质得出，解直角三角形即可求出的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值即可．
本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定以及解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强．